Признаки и свойства параллелограмма. Решение задач

Презентация к уроку по учебному предмету «Геометрия» в 8 классе на тему: «Признаки и свойства параллелограмма. Решение задач»

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник,

у которого противоположные стороны попарно параллельны.

ABCD - параллелограмм

Существенные признаки понятия «Параллелограмм»

1. Противоположные стороны попарно равны

2. Противоположные стороны попарно параллельны

3.Имеет центр симметрии

4. Диагонали в точке пересечения делятся пополам

Свойства параллелограмма

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°

АB=CD, AD=DC ,

∠ A = ∠C, ∠B = ∠D

AO=OC, BO=OD

BD- диагональ

∠ A + ∠B = 180°,

ABD= BCD (BD –общая, ∠ABD = ∠BDC, ∠CBD = ∠ADC –(накрест-лежащие)

Пусть О точка пересечения диагоналей.

АОВ= COD (AB=CD, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 –накрест лежащие при параллельных Ави CD и секущих BD и AC

т.к. они являются односторонними при параллельных прямых BC и AD , и секущей AB

B

C

3

O

2

1

4

A

D

• Четырехугольник
• Выпуклый четырехугольник
• Плоская фигура
• Имеет площадь, имеет центр
• Существует такая точка, через которую можно провести отрезок, которая поделит фигуру на две равные фигуры
• Противоположные стороны попарно равны
• Противоположные углы попарно равны
• Две противоположные стороны равны и параллельны

• Диагонали точкой пересечения делятся по палам

Найдите характеристические свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

• Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм
• Если в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм
• Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм

Существенные признаки

Несущественные признаки

Противоположные стороны попарно параллельны

Имеет четыре стороны

Противоположные стороны попарно равны

Имеет четыре угла

Имеет центр симметрии

Имеет две диагонали

Диагонали в точке пересечения делятся пополам

Диагонали пересекаются

Выпуклый четырехугольник

Геометрическая фигура

Решение задач

Задача1 : В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. ∠BCA = 30°, ∠BAC = 40°.

Найдите все углы параллелограмма.

Решение :

Рассмотрим ΔBAC.

1) У него ∠BCA = 30°, ∠BAC = 40°,

значит ∠B = 180° .

2) ∠B = ∠D = 110°

(по свойству противоположных углов)

3) ∠A+∠B=180° (по свойству углов параллелограмма), ⇒

∠ A=180°-110°=70°, ∠C=∠A=70°

(по свойству противоположных

углов параллелограмма)

Ответ : ∠C=∠A=70°, ∠B = ∠D = 110°

Решение задач

В

Задача 2 : ABCD – параллелограмм. Высота BK равна 2 см, ∠A=30°, сторона BC=13 см.

Найти периметр параллелограмма.

С

Решение.

30°

А

К

D

• ΔABK – прямоугольный, ∠A=30°, ⇒

BK = ½ AB, ⇒ AB=2 BK, AB=4см

• P=2· (AB+BC), Р=2·(4+13)=34(см).

Ответ : 34 см

ВС || AD , ∠KAD= ∠ВKА - накрест лежащие ∠ ВAК= ∠КАD , т.к. АК - биссектриса = ∠ВAК= ∠ВKА = ΔABK – равнобедренный = АВ=ВК=7 см 2) ВС= 7 см +14 см = 21 см Р= (7 + 21)· 2 =56 (см) Ответ : Р = 56 см " width="640"

Решение задач

Задача 375 (учебник Л.С. Атанасян):

Дано: ABCD – параллелограмм,

АК –биссектриса,

ВК= 7 см, КС=14 см

Найти: Р

7

К

С

14

В

А

D

Решение.

1) ABСD – Параллелограмм =ВС || AD , ∠KAD= ∠ВKА - накрест лежащие

∠ ВAК= ∠КАD , т.к. АК - биссектриса

= ∠ВAК= ∠ВKА = ΔABK – равнобедренный = АВ=ВК=7 см

2) ВС= 7 см +14 см = 21 см

Р= (7 + 21)· 2 =56 (см)

Ответ : Р = 56 см

Задача для самостоятельного решения

Задача: ABCD – параллелограмм. Найти периметр ΔCOD.

Ответ : Р=28 см

Решение задач по готовым чертежам с последующей самопроверкой

Задача : в параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А. Она разбивает сторону ВС на отрезки BH =6 см и HC =4 см. Найдите периметр параллелограмма.

Решение :

∠ 3=∠2, т.к. АH – биссектриса ,

∠ 1=∠3 (накрест лежащие

при BC∥AD и секущей AH), ⇒ ∠1=∠2,

ΔABH – равнобедренный ( по признаку),

⇒ AB = BH = 6cм.

BC = AD = 10 cм, AB = CD = 6 cм.

Р = 2·(10+6) = 32 см.

Ответ : P=32 см.

Задача: Найдите стороны параллелограмма, если две его стороны относятся как 4:5, а периметр равен 72 см.

Решение :

Т. к. отношение сторон равно 4: 5, то речь в условии задачи идет о соседних сторонах параллелограмма.

4+5 = 9 – частей на сумму

сторон AB и BC.

AB + BC = Р : 2 =72: 2 = 36 (см),

С

В

А

D

36 : 9 = 4 (см) – одна часть,

AB = 4·4=16 (см), BC = 4·5=20 (см).

CD = AB = 16 см, AD = BC = 20 см

(по свойству сторон параллелограмма)

Ответ: CD = AB = 16 см,

AD = BC = 20 см

∠С=30° = ВС=2ВЕ=4 см АD=ВС=4 см (как противоположные стороны параллелограмма) DС=АВ=10 см (как противоположные стороны параллелограмма) Ответ: DC=10 см, AD=4 см. " width="640"

Задача: ABCD – параллелограмм, . Найти AD и DC.

Решение:

Рассмотрим Δ ВСЕ –прямоугольный, ∠СВЕ= 60°С = ∠С=30° = ВС=2ВЕ=4 см

АD=ВС=4 см (как противоположные стороны параллелограмма)

DС=АВ=10 см (как противоположные стороны параллелограмма)

Ответ: DC=10 см, AD=4 см.

Самостоятельная работа

2Вариант

1Вариант

Задача: ABCD – параллелограмм Найти периметр AВСD.

Задача: ABCD – параллелограмм Найти AD.

Домашняя работа

Учебник с. 100-102 , выучить признаки и свойства параллелограмма.

№ 374, 376 (в), 377 с. 103