Меню
Разработки
Разработки  /  Алгебра  /  Презентации  /  9 класс  /  Презентация по алгебре по теме: «Примеры комбинаторных задач» в 9 классе

Презентация по алгебре по теме: «Примеры комбинаторных задач» в 9 классе

Комбинаторные задачи, из раздела математики. Комбинаторика История ее происхождения. Знакомство учащихся с разделом математики – комбинаторикой. Показать решение некоторых комбинаторных задач. Развитие умения решать комбинаторные задачи методом полного перебора вариантов; используя правило умножения. Выработка умения применять математическую теорию в конкретных жизненных ситуациях.

19.04.2019

Содержимое разработки

Элементы комбинаторики Тема урока : «Примеры комбинаторных задач» Тема урока: «Примеры комбинаторных вариантов» 9 класс ( 1 урок по теме)

Элементы комбинаторики

Тема урока : «Примеры комбинаторных задач»

Тема урока: «Примеры комбинаторных вариантов»

9 класс ( 1 урок по теме)

Эпиграф урока:   «Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи». Дж. Сильвестр . .

Эпиграф урока:

«Число, место и комбинация –

три взаимно перекрещивающиеся,

но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи».

Дж. Сильвестр

.

.

Комбинаторика   – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из раздела множеств.  Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из раздела множеств. Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.

 Из истории комбинаторики С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.  Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности .

Из истории комбинаторики

С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности .

В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т.д . Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.)

В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

В Древней Греции

подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т.д .

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.)

Леонард Эйлер(1707-1783)  Готфрид Вильгельм Лейбниц  (1.07.1646 - 14.11.1716) рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов,  положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию , которая изучает общие свойства пространства и фигур. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

Леонард Эйлер(1707-1783)

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716)

рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию , которая изучает общие свойства пространства и фигур.

Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г.

Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

 Вывода формул, где использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их таблицами и примерами. Его сочинения превзошло работы предшественников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью как научного трактата и как учебно-справочного издания. Я. Бернулли

Вывода формул, где использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их таблицами и примерами.

Его сочинения превзошло работы предшественников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью как научного трактата и как учебно-справочного издания.

Я. Бернулли

 Методы решения комбинаторных задач Правило суммы.  2. Правило произведения 3. Таблицы. 4. Графы (деревья). 5. Формулы .

Методы решения комбинаторных задач

  • Правило суммы.

2. Правило произведения

3. Таблицы.

4. Графы (деревья).

5. Формулы .

Вспомним несколько примеров таких задач 1. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг?  Будем искать решение с помощью Графа ( дерева) возможных вариантов .

Вспомним несколько примеров таких задач

1. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг?

Будем искать решение с помощью Графа ( дерева) возможных вариантов .

 Ответ : 6 комбинаций Схема напоминает дерево, только перевернутое. Поэтому ее называют «деревом возможных вариантов» .

Ответ : 6 комбинаций

Схема напоминает дерево, только перевернутое.

Поэтому ее называют «деревом возможных вариантов» .

 а Решение.3·2·1= 6 * ** Ответ:6 . *** * ** ** *** *** ** *** * * а * *** *** *** *** * *** *** * * * * * * Одной из этих стран является Россия? 11

а

Решение.3·2·1= 6

*

**

Ответ:6 .

***

*

**

**

***

***

**

***

*

*

а

*

***

***

***

***

*

***

***

*

*

*

*

*

*

Одной из этих стран является Россия?

11

Подсчет вариантов с помощью графов  Задача По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек было роздано, если специалистов было  а) трое ; б) четверо ; в) пятеро? 11

Подсчет вариантов с помощью графов

Задача По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек было роздано, если специалистов было

а) трое ; б) четверо ; в) пятеро?

11

Подсчет вариантов с помощью графов  Задача По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек было роздано, если специалистов было  а) трое ; б) четверо ; в) пятеро?  N=3    N=6    N=10

Подсчет вариантов с помощью графов

Задача По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек было роздано, если специалистов было

а) трое ; б) четверо ; в) пятеро?

N=3 N=6 N=10

2. Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9.     

2. Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9.  

н Не спеши, подумай.  Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9? 0 4 2 1 2 1 4 1 1 0 2 2 4 2 0 2 2 4 4 4 4 2 4 0 5 5 2 5 4 5 0 9 4 9 2 9 9 0 Ответ:15 чисел (5·3) 15

н

Не спеши, подумай. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?

0

4

2

1 2

1 4

1

1 0

2

2 4

2 0

2 2

4

4 4

4 2

4 0

5

5 2

5 4

5 0

9 4

9 2

9

9 0

Ответ:15 чисел (5·3)

15

     3.На завтрак Валера может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофеем, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Валера может выбирать?   Решим задачу, перебирая всевозможные варианты, путем кодирования вариантов завтрака   Решение: КП КБ К Пр КК  СП СБ С Пр СК  К-р П К-р Б К-р Пр К-р К Ответ: 12 вариантов.

3.На завтрак Валера может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофеем, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Валера может выбирать?

  • Решим задачу, перебирая всевозможные варианты, путем кодирования вариантов завтрака

Решение: КП КБ К Пр КК

СП СБ С Пр СК

К-р П К-р Б К-р Пр К-р К

Ответ: 12 вариантов.

На завтрак Валера может выбрать: плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака? м Ответ:12 (4·3=12) 17

На завтрак Валера может выбрать: плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?

м

Ответ:12 (4·3=12)

17

Во всех задачах был осуществлён перебор всех возможных вариантов или комбинаций. Поэтому эти задачи называют комбинаторными.  Слово комбинация происходит от латинского combino  – соединяю. Действительно при получении любой комбинации мы составляем её из отдельных элементов последовательно соединяя их друг с другом. С этой точки зрения: число – это комбинация цифр, слово – это комбинация букв, меню – это комбинация блюд.  Во всех предложенных задачах для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на «дерево возможных вариантов», таблицу, кодирование ). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами.  Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления. 
  • Во всех задачах был осуществлён перебор всех возможных вариантов или комбинаций. Поэтому эти задачи называют комбинаторными. Слово комбинация происходит от латинского combino – соединяю.
  • Действительно при получении любой комбинации мы составляем её из отдельных элементов последовательно соединяя их друг с другом. С этой точки зрения: число – это комбинация цифр, слово – это комбинация букв, меню – это комбинация блюд.
  • Во всех предложенных задачах для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на «дерево возможных вариантов», таблицу, кодирование ). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами.
  • Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления. 
Мы рассмотрели примеры 3-х разных задач, но получили совершенно одинаковые решения, которые основаны на общем правиле умножения : Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов. Если первый элемент m 1 выбрать n 1 способами, после чего второй элемент m 2  выбрать n 2 способами из оставшихся, затем третий элемент m 3 выбрать n 3 способами из оставшихся и т.д., то число способов могут быть выбраны все  к элементов, равно произведению  Примени это правило к каждой из решённых задач. 1-я задача: выбор верхней полосы - из 3-х цветов, т.е. n 1= 3; средняя полоса – из 2-х цветов, т.е. n 2 =2; нижняя полоса – из 1-го цвета, т.е. n 3 =1.     n 1 n 2 n 3 = 3 * 2 * 1 = 6 2-я задача: заметим, что в этой задаче задействованы два независимых исхода, поэтому  m  n = 5 *3 = 15
  • Мы рассмотрели примеры 3-х разных задач, но получили совершенно одинаковые решения, которые основаны на общем

правиле умножения :

  • Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов. Если первый элемент m 1 выбрать n 1 способами, после чего второй элемент m 2 выбрать n 2 способами из оставшихся, затем третий элемент m 3 выбрать n 3 способами из оставшихся и т.д., то число способов могут быть выбраны все к элементов, равно произведению

Примени это правило к каждой из решённых задач.

  • 1-я задача: выбор верхней полосы - из 3-х цветов, т.е. n 1= 3; средняя полоса – из 2-х цветов, т.е. n 2 =2; нижняя полоса – из 1-го цвета, т.е. n 3 =1.

  n 1 n 2 n 3 = 3 * 2 * 1 = 6

  • 2-я задача: заметим, что в этой задаче задействованы два независимых исхода, поэтому

m n = 5 *3 = 15

Решение задач в классе :   № 714 .   В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель.  Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Решение задач в классе :

№ 714 .

  • В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель.

Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Решение.  Выберем одно блюдо ( борщ ) получим пары:  Б г; б к; б с; б п (4 пары).  Теперь выберем рассольник :  Рг; р к; р с; р п (4 пары).  Согласно правилу комбинаторного умножения всего обедов: 2*4=8.  Построив дерево возможностей, получим 8 вариантов. Ответ: б г; б к; б с; б п; р г; р к; р с; р п.; получим 8 разных обедов из двух блюд.

Решение.

Выберем одно блюдо ( борщ ) получим пары:

Б г; б к; б с; б п (4 пары).

  • Теперь выберем рассольник :

Рг; р к; р с; р п (4 пары).

Согласно правилу комбинаторного умножения всего обедов: 2*4=8.

  • Построив дерево возможностей, получим 8 вариантов.
  • Ответ: б г; б к; б с; б п; р г; р к; р с; р п.; получим 8 разных обедов из двух блюд.
№ 716   Стадион имеет четыре входа: А, В, С и D . Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?
  • 716

Стадион имеет четыре входа: А, В, С и D . Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?

Решение.  Из условия ясно, что порядок выбора имеет значение : АВ означает, что посетитель вошёл через А и вышел через В, а ВА означает, что вошёл через В, а вышел через А. первый вход, получаем 3 пары: АВ, АС, АД . второй вход : ВА, ВС, ВД . третий вход : СА, СВ, СД .  четвёртый вход: ДА, ДВ, ДС .  Общее количество способов выбора: 4*3=12 (к каждому из 4 входов мы дописывали 3 других).   Замечание. По правилу произведения:  первый выбор (через какой вход войти) можно сделать 4 способами (А, или В, или С, или Д);  после этого второй выбор (через какой вход войти) можно сделать 3 способами ( любой вход, кроме того, через который вошли). Общее количество выбора равно 4*3=12. Ответ : 12 способов.  

Решение.

Из условия ясно, что порядок выбора имеет значение : АВ означает, что посетитель вошёл через А и вышел через В, а ВА означает, что вошёл через В, а вышел через А.

  • первый вход, получаем 3 пары: АВ, АС, АД .
  • второй вход : ВА, ВС, ВД .
  • третий вход : СА, СВ, СД .
  • четвёртый вход: ДА, ДВ, ДС .
  • Общее количество способов выбора: 4*3=12 (к каждому из 4 входов мы дописывали 3 других).
  • Замечание. По правилу произведения:
  • первый выбор (через какой вход войти) можно сделать 4 способами (А, или В, или С, или Д);
  • после этого второй выбор (через какой вход войти) можно сделать 3 способами ( любой вход, кроме того, через который вошли). Общее количество выбора равно 4*3=12.
  • Ответ : 12 способов.
  •  
 Решение.   а) Выбираем поочерёдно: 16, 18, 61, 68, 81, 86.  Всего 6 различных чисел
  • Решение.
  • а) Выбираем поочерёдно:

16, 18, 61, 68, 81, 86.

  • Всего 6 различных чисел
 № 721.  В шахматном турнире участвуют  9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
  • 721.

В шахматном турнире участвуют

9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Решение.   Каждая пара играла между собой только один раз, порядок выбора не имеет значения (когда Иванов играл с Петровым, это то же самое, что Петров играл с Ивановым).  Выбрать первого участника партии можно 9 способами, а второго- 8 оставшимися способами;  по правилу произведения образуется 9*8=72 пары ,  но в это число каждая пара входит дважды: сначала Иванов-Петров, затем Петров- Иванов. Ответ : 36 партий.
  • Решение.

Каждая пара играла между собой только один раз, порядок выбора не имеет значения (когда Иванов играл с Петровым, это то же самое, что Петров играл с Ивановым).

Выбрать первого участника партии можно 9 способами, а второго- 8 оставшимися способами;

по правилу произведения образуется 9*8=72 пары ,

но в это число каждая пара входит дважды: сначала Иванов-Петров, затем Петров- Иванов.

  • Ответ : 36 партий.
19.04.19 а А теперь поделись своим  настроением

19.04.19

а

А теперь поделись своим

настроением

Дома : № 715,717,723, найти сообщение из истории комбинаторики
  • Дома :
  • № 715,717,723,
  • найти сообщение из истории комбинаторики
СПАСИБО ЗА УРОК СПАСИБО ЗА УРОК 28

СПАСИБО ЗА УРОК

СПАСИБО ЗА УРОК

28

-70%
Курсы повышения квалификации

Развитие пространственных представлений школьников в обучении математике в условиях реализации ФГОС

Продолжительность 36 часов
Документ: Удостоверение о повышении квалификации
3000 руб.
900 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Презентация по алгебре по теме: «Примеры комбинаторных задач» в 9 классе (3.5 MB)