Получите свидетельство
Вход
Тема: «Показательная функция»
Показательная функция
Определение
График
Свойства
Применения
График функции
у
1
x
0
Определение
Функция вида
называется показательной с основанием а.
Замечание.
Вместе с функцией y=a x показательной считают и функцию вида y=Ca x , где С- некоторая постоянная.
Задание A 1
Из предложенного списка функций, выбрать ту функцию,
которая является показательной:
График показательной функции
Задание A 2
Укажите вид графика для функции
y
y
1
1
x
x
В
А
Задание A 3
Из предложенных функций выберите ту,
график которой изображён на рисунке.
y
1
x
Свойства функции
Проанализируем по схеме :
- 1. область определения функции
- 2 . множество значений функции
- 3. нули функции
- 4. промежутки знакопостоянства функции
- 5. четность или нечётность функции
- 6. монотонность функции
- 7. наибольшее и наименьшее значения
- 8. периодичность функции
- 9. ограниченность функции
0 при х R. 5) Функция ни чётная, ни нечётная. 6) Функция монотонна: возрастает на R при а 1 и убывает на R при 0 . 7) Наибольшего и наименьшего значений у функции нет. 8) Функция непериодична. 9) Ограничена снизу, не ограничена сверху. y 1 x о " width="640"
Показательная функция, её график и свойства
1) Область определения – множество всех
действительных чисел ( D( у)= R) .
2) Множество значений – множество всех
положительных чисел (E(y)=R + ) .
3) Нулей нет.
4) у 0 при х R.
5) Функция ни чётная, ни нечётная.
6) Функция монотонна: возрастает на R при а 1
и убывает на R при 0 .
7) Наибольшего и наименьшего значений у функции нет.
8) Функция непериодична.
9) Ограничена снизу, не ограничена сверху.
y
1
x
о
Задание A 4
Выберите функцию возрастающую на
R :
Задание A 5
Выберите функцию убывающую на
R :
Задание В1
Укажите область значений функции
Задание В2
Какое из указанных чисел входит в область значений функции
Решение :
Для любого
R
y
3
2
1
5
4
Ответ : 5.
Применения
показательной функции
Рост древесины происходит по закону , где: A - изменение количества древесины во времени; A 0 - начальное количество древесины; t -время, к, а- некоторые постоянные.
А
A n
A 3
A 2
A 1
A 0
0
t
t 3
t 1
t 2
t n
t 0
Давление воздуха убывает с высотой по закону: , где: Р - давление на высоте h, Р 0 - давление на уровне моря , h - высота, а, к - некоторые постоянные .
P
P 0
P 1
P 2
P 3
0
h
h 2
h n
h 3
h 1
h 0
Т =const
Температура чайника изменяется по закону , где: Т- изменение температуры чайника со временем; Т 0 - температура кипения воды; t - время, к, а- некоторые постоянные .
T
T 0
T 1
T 2
T 3
0
t
t 3
t 2
t 1
t n
t 0
Радиоактивный распад происходит по закону , где:
N- число нераспавшихся атомов в любой момент времени t ; N 0 - начальное число атомов (в момент времени t=0) ; t -время;
Т- период полураспада.
N
N 0
N 1
N 2
N 3
N 4
0
t
t 2
t 1
t 4
t 3
- Существенное свойство процессов органического
- изменения величин состоит в том, что
за равные промежутки времени значение величины изменяется
в одном и том же отношении
К процессам органического изменения величин относятся:
Рост древесины
Изменение температуры чайника
Изменение давления воздуха
Радиоактивный распад
1, след-но показательная функция возрастает. 3. Сравнить показатели степеней (или аргументы функций) 34 4. Используя свойство возрастания (убывания) функции, сравнить степени с одинаковым основанием (или значения функций) 1,3 34 1,3 40 . 5 . Сравнить исходные числа. Сравните: " width="640"
Пример 1. Сравните числа 1,3 34 и 1,3 40 .
Общий метод решения.
1. Представить числа в виде степени с одинаковым основанием (если это необходимо)
1,3 34 и 1,3 40 .
2. Выяснить, возрастающей или убывающей является показательная функция
а=1,3; а 1, след-но показательная функция возрастает.
3. Сравнить показатели степеней (или аргументы функций)
34
4. Используя свойство возрастания (убывания) функции, сравнить степени с одинаковым основанием (или значения функций)
1,3 34 1,3 40 .
5 . Сравнить исходные числа.
Сравните:
Пример 2. Решите графически уравнение 3 х =4-х.
Решение.
Используем функционально-графический
метод решения уравнений:
построим в одной системе координат
графики функций у=3 х и у=4-х.
Замечаем, что они имеют одну общую
точку (1;3). Значит, уравнение имеет
единственный корень х=1.
Ответ: 1
у=4-х
Решите графически уравнения:
- (0)
2) (-1)
3) (1)
4) (1)
5) (-1)
6) (1)
- 1) 2 х =1;
- 2) (1/2) х =х+3;
- 3) 4 х +1=6-х;
- 4) 3 1-х =2х-1;
- 5) 3 -х =-3/х;
- 6) 2 х -1= .
4-х. Решение. Используем функционально-графический метод решения неравенств: 1. Построим в одной системе координат графики функций у=3 х и у=4-х. 2. Выделим часть графика функции у=3 х , расположенную выше (т. к. знак ) графика функции у=4-х. 3. Отметим на оси х ту часть, которая соответствует выделенной части графика (иначе: спроецируем выделенную часть графика на ось х). 4. Запишем ответ в виде интервала: Ответ: (1; ). у=4-х " width="640"
Пример 3. Решите графически неравенство 3 х 4-х.
Решение.
Используем функционально-графический
метод решения неравенств:
1. Построим в одной системе
координат графики функций
у=3 х и у=4-х.
2. Выделим часть графика
функции у=3 х , расположенную
выше (т. к. знак ) графика
функции у=4-х.
3. Отметим на оси х ту часть,
которая соответствует
выделенной части графика
(иначе: спроецируем выделенную
часть графика на ось х).
4. Запишем ответ в виде интервала:
Ответ: (1; ).
у=4-х
1; 2) 2 х 3) (1/3 ) х 4) (1/2) x x+3 ; 5 ) 5 x 6-x ; 6) (1/3) x x+1 . " width="640"
Решите графически неравенства:
1) 2 х 1;
2) 2 х
3) (1/3 ) х
4) (1/2) x x+3 ;
5 ) 5 x 6-x ;
6) (1/3) x x+1 .
Подведём итог
Показательная
функция
Показательная
функция
Определение
График
Свойства
Применения
Домашнее задание
- п.11, переписать в теоретическую тетрадь и выучить конспект урока, №196, №199, №200, №201.
Самостоятельная работа (тест)
1. Укажите показательную функцию:
1) у=х 3 ; 2) у=х 5/3 ; 3) у=3 х+1 ; 4) у=3х+1.
1) у=х 2 ; 2) у=х -1 ; 3) у= -4+2 х; 4) у=0,32 х .
2. Укажите функцию, возрастающую на всей области определения:
1) у =(2/3) -х ; 2) у=2 -х ; 3) у =(4/5) х ; 4) у =0,9 х .
1) у =(2/3) х ; 2) у=7,5 х ; 3) у =(3/5) х ; 4) у =0,1 х .
3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения:
1) у =(3/11) -х ; 2) у=0,4 х ; 3) у =(10/7) х ;
4) у =1,5 х .
1) у =(2/17) -х ; 2) у=5,4 х ; 3) у =0,7 х ;
4) у =3 х .
4. Укажите множество значений функции у=3 -2х -8:
5. Укажите наименьшее из данных чисел:
1) 3 -1/3 ; 2) 27 -1/3 ; 3) (1/3) -1/3 ; 4) 1 -1/3 .
4. Укажите множество значений функции у=2 х+1 +16:
5. Укажите наибольшее из данных чисел:
1) 5 -1/2 ; 2) 25 -1/2 ; 3) (1/5) -1/2 ; 4) 1 -1/2 .
6. Выясните графически, сколько корней имеет уравнение 2 х =х -1/3 (1/3) х =х 1/2
1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня; 4) 4 корня.
1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня; 4) 4 корня.
I
В
А
Р
И
Н
Т
№ задания
№ ответа
II
В
А
Р
И
Н
Т
1
№ задания
2
3
№ ответа
3
1
1
2
4
4
2
5
2
3
4
3
4
2
6
5
4
1
3
6
1
1. Укажите показательную функцию:
1) у=х3; 2) у=х5/3; 3) у=3х+1; 4) у=3х+1.
2. Укажите функцию, возрастающую на всей области определения:
1) у =(2/3)-х; 2) у=2-х; 3) у =(4/5)х; 4) у =0,9х.
3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения:
1) у =(3/11)-х; 2) у=0,4х; 3) у =(10/7)х; 4) у =1,5х.
4. Укажите множество значений функции у=3-2х-8:
5. Укажите наименьшее из данных чисел:
1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3.
6. Выясните графически, сколько корней имеет уравнение 2х=х -1/3
1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня; 4) 4 корня.
Задание A 6
Решите уравнения
Проверочная работа
- Выберите показательные функции, которые:
- I вариант – убывают на области определения;
- II вариант – возрастают на области определения.
Презентация к уроку (1.37 MB)
0
316
3
Нравится
0
