Получите свидетельство
Вход
9
Комплексы упражнений
По теме: «Равные треугольники»
Далее будут рассмотрены задачи по теме «Признаки равенства треугольников», способствующие развитию математического мышления.
1. Охарактеризуйте конфигурацию, изображенную на чертеже (рис. 44). Составьте несколько задач.
Дано: ;
.
Р
ис. 44
Возможны следующие варианты задач:
1) докажите, что ;
2) докажите, что ;
3) докажите, что – равнобедренный.
Упражнения такого вида способствуют развитию у учащихся умения читать чертеж, а также способности оперировать математическими понятиями и суждениями.
2. Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны (рис. 45). Сформулируйте и докажите аналогичные теоремы о высотах и биссектрисах.
Рис. 45
Решение:
1) рассмотрим треугольники и
. Они равны по первому признаку равенства треугольников (
как углы при основании равнобедренного треугольника,
– общая сторона,
, так как треугольник
– равнобедренный,
и
– медианы, то
);
2) из равенства треугольников и
следует, что
.
Данное упражнение способствует развитию у школьников способности оперировать математическими понятиями и суждениями.
3. На чертеже выполнили построение, необходимое для измерения длины озера . Какое расстояние нужно измерить для того чтобы узнать длину озера
(рис. 46)?
Р
ис. 46
Решение:
1) рассмотрим треугольники и
. Они равны по первому признаку равенства треугольников (
так как
, – общая сторона,
по условию задачи);
2) из равенства треугольников и
следует, что
. Значит для того, чтобы узнать длину озера нужно измерить расстояние 
.
Подобные упражнения привлекают учащихся нестандартной формулировкой, способствуют развитию такой характеристики математического мышления, как способность оперировать математическими понятиями и суждениями.
4
. Для треугольников и
справедливы следующие неравенства: 
, 
, 
, однако треугольники равны. Возможно ли это?
Ответ: да, возможно (рис. 47).
Рис. 47
Упражнения такого вида способствуют развитию у учащихся способности оперировать математическими понятиями и суждениями.
5
. Дано 
, 
и 
. Докажите, что 
(рис. 48). Как можно воспользоваться доказанным утверждением для того, чтобы разделить отрезок пополам?
Рис. 48
Решение:
1) рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
. Они равны по катету и острому углу (
, так как они перпендикулярны прямой , поэтому 
как накрест лежащие углы, полученные при пересечении параллельных прямых 
и 
секущей 
, по условию задачи);
2) из равенства треугольников и следует, что . Доказанное утверждение можно использовать для деления отрезка пополам следующим образом: на концах отрезка строим перпендикуляры и одинаковой длины, а затем соединяем точки 
и 
. Полученный отрезок пересекает отрезок в точке 
, которая и будет являться серединой данного отрезка.
Предложенный пример способствует развитию способности оперировать свернутыми и развернутыми структурами, а также совокупностью взаимосвязанных логических операций.
6. Докажите, что прямая, пересекающая стороны угла и перпендикулярная его биссектрисе, отсекает на сторонах угла равные отрезки (рис. 49).
Р
ис. 49
Решение:
1) рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
. Они равны по катету и острому углу (
– общий катет, 
, так как – биссектриса угла 
);
2) из равенства треугольников следует, что 
. Другими словами, прямая , перпендикулярная биссектрисе угла , отсекает на сторонах этого угла равные отрезки.
Предложенный пример способствует развитию способности оперировать свернутыми и развернутыми структурами, а также совокупностью взаимосвязанных логических операций.
7. Решите задачу:
В треугольнике проведена медиана
, 
– продолжение , 
, 
– продолжение . Найдите величину угла
, если 
, 
и 
(рис. 50).
С
оставьте план решения задачи. Все ли условия использовались в процессе решения?
Рис. 50
Решение:
1) рассмотрим 
:
,
;
2) рассмотрим треугольники 
и . Они равны по первому признаку равенства треугольников ( по условию, 
, так как – медиана, 
как вертикальные углы);
3) из равенства треугольников и следует, что 
, то есть искомый угол 
.
План решения задачи:
1) найдем углы треугольника ;
2) докажем равенство треугольников и ;
3) найдем величину искомого угла.
Условие задачи избыточно. Для нахождения величины угла не требуется знать положение точки 
и величину угла 
.
Задания, основанные на составлении плана решения задачи, развивают способность оперировать свернутыми и развернутыми структурами.
8. В треугольнике на стороне
или на ее продолжении найдите точку, одинаково удаленную от вершин 
и . Отметьте особый случай.
Решение:
Точка равноудаленная от вершин и лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к стороне (рис. 51).
Р
ис. 51
Точка 
одинаково удалена от вершин и , и является точкой пересечения серединного перпендикуляра, проведенного к стороне с продолжением стороны
.
Особый случай возникает в том случае, когда – прямоугольный с прямым углом в точке
(рис. 52).
Р
ис. 52
В данном случае 
, а значит точки, которая одинаково удалена от вершин и и лежит на стороне , построить нельзя.
Данное упражнение способствует развитию у школьников умения оперировать совокупностью взаимосвязанных логических операций, а также способности к пространственным представлениям и воображению.
9. Сформулируйте задачу, обратную данной и проверьте, будет ли истинно полученное утверждение.
Если катеты двух прямоугольных треугольников равны, то равны и их гипотенузы.
Задача обратная данной: Если равны гипотенузы двух прямоугольных треугольников, то равны и их катеты.
Данное утверждение можно опровергнуть следующим примером:
Пусть даны прямоугольные треугольники с гипотенузой
и
с гипотенузой 
.
В треугольнике : гипотенуза
равна 10 см, а катеты 8 см и 6 см.
В треугольнике : гипотенуза равна 10 см, а катеты 5 см и 
см.
Треугольники с такими сторонами существуют, их гипотенузы равны, а катеты нет. Сформулированное утверждение неверно.
Предложенный пример способствует развитию способности оперировать свернутыми и развернутыми структурами, а также совокупностью взаимосвязанных логических операций.
Конспект урока по теме: "Первый признак равенства треугольников"
Тема урока: первый признак равенства треугольников.
Цель урока: изучить первый признак равенства треугольников и начать формирование у учащихся навыков применения этого признака при решении простейших задач.
Задачи:
1. Сформулировать и доказать первый признак равенства треугольников.
2. Развитие внимания, исследовательских навыков, математического мышления учащихся.
3. Воспитание аккуратности, внимания, навыков общения.
Тип урока: урок изучения нового.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.
Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.
Используемая литература:
Атанасян, Л. С. Геометрия: учебник для 7–9 классов средней школы [Текст] / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов [и др.] – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.
Атанасян Л. С. Изучение геометрии в 7 – 9 классах. Пособие для учителей [Текст] / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов [и др.] – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
Гаврилова Н. Ф. Универсальные поурочные разработки по геометрии. 7-9 класс [Текст] / Н. Ф. Гаврилова. – М.: ВАКО, 2010. – 304 с.
Таблица 2
Ход урока
| № | Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика | Время (в мин.) |
| 1 | Организационный момент | Приветствие, фиксирует отсутствующих, формулирует тему и цель урока: В течение нескольких уроков мы с вами познакомились с понятием равных фигур, изучили их свойства и применяли их для решения задач. Сегодня мы с вами изучим первый признак равенства треугольников. | Учащиеся записывают тему урока. | 2 мин. |
| 2 | Мотивационно-ориентировочный этап (подготовка к восприятию, актуализация прежних знаний) | Фронтальная работа с учащимися: учитель предлагает учащимся ответить на следующие вопросы: 1. Какие фигуры называют вертикальными? смежными? 2. Назовите все пары смежных углов, изображенных на чертеже. Являются ли смежными углы Почему? 3. Назовите все пары вертикальных углов, изображенных на чертеже.
| Учащиеся отвечают на предложенные вопросы: Формулируют ответы на вопросы. Смежные углы: Нет. Их сумма не равна Вертикальные углы: | 6 мин. |
и 
?
; 
и 
.
.
и 
; 
и 
.
Продолжение таблицы 2
| № | Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика | Время (в мин.) |
|
|
| Сформулируйте свойство вертикальных углов. Найдите | Вертикальные углы равны.
|
|
| Какие фигуры называют равными? На чертеже
Это означает, что:
| Формулируют ответ на вопрос.
| |||
| 3 | Изучение нового материала | Давайте попробуем сформулировать определение равных треугольников. | Учащиеся с помощью учителя формулируют определение равных треугольников. | 14 мин. |
| Даны треугольники | Учащиеся высказывают свои предположения и в итоге осуществляют доказательство первого признака подобия треугольников под руководством учителя. | |||
| Совершенно правильно, таким образом вы только что доказали утверждение, которое носит название первого признака равенства треугольников. С помощью следующего модуля запишем его доказательство (презентация). | Учащиеся записывают формулировку и ход доказательства признака в тетради. | |||
| Фронтальная беседа с учащимися: 1. Итак, с помощью, какого утверждения мы можем доказать, что данные треугольники будут равными? | С помощью определения и первого признака. |
.
; 
.
равен 
.
, 
, 
;
, 
, 
.
, 
, 
;
, 
, 
.
такие, что 
, 
и 
. Будут ли эти треугольники равны?
Продолжение таблицы 2
| № | Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика | Время (в мин.) |
|
|
| 2. Сформулируйте первый признак равенства треугольников. | Формулируют первый признак равенства треугольников. |
|
| 3. Выделите у первого признака условие и заключение | Учащиеся выделяют условие и заключение у первого признака. | |||
| 4. Среди выражений выберите верные. Ответ обоснуйте. 1) Два треугольника равны, если элементы одного треугольника, соответственно равны элементам другого треугольника. 2) Если угол и две стороны одного треугольника соответственно равны углу и двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то такие треугольники равны. | 1) Верно, т.к. это определение двух равных треугольников. 2) Неверно, т.к. данная формулировка не предусматривает того, что равные углы треугольников заключены между равными сторонами.
3) Верно, т.к. это формулировка первого признака подобия треугольников. | |||
| 4 | Закрепление изученного материала | Решите устно следующую задачу: Для треугольников | Учащиеся отвечают на вопрос задачи, обосновывая ответ.
Да, возможно. | 17 мин. |
и 
, 
, 
, однако треугольники равны. Возможно ли это?
Продолжение таблицы 2
| № | Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика | Время (в мин.) |
|
|
|
Решение следующей задачи с записью в тетрадь. Найдите
Решите устно следующую задачу: На чертеже выполнили построение, необходимое для измерения длины озера (
| Например: Треугольники Решение: 1) 2) 3) из равенства треугольников Ответ: Решение: 1) рассмотрим треугольники |
|
, если 
см.
). Какое расстояние нужно измерить для того чтобы узнать длину озера 
?
, 
(как вертикальные углы);
по первому признаку равенства треугольников (
, 
– общая, 
по условию);
и 
следует, что 
. Значит 
см.
. Они равны по первому признаку равенства треугольников (
так как 
, 
– общая сторона, 
по условию задачи);
Продолжение таблицы 2
| № | Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика | Время (в мин.) |
|
|
|
Решение № 93 с записью в тетрадь. Отрезки
| 2) из равенства треугольников
Решение: 1) 2) из равенства треугольников
|
|
| 5 | Подведение итогов урока | Оценивание работы учащихся, формулировка домашнего задания: п. 15, №94, № 97, № 99. | Записывают домашнее задание в дневники. | 1 мин.
|
и 
пересекаются в точке 
, являющейся серединой каждого из них. Докажите, что треугольники 
равны. Найдите углы треугольника 
, 
.
. Значит для того, чтобы узнать длину озера нужно измерить расстояние 
.
по первому признаку равенства треугольников (
и 
по условию, 
как вертикальные углы);
, 
, 
.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Закрепление изученного по теме: "Первый признак равенства треугольников"
Тема урока: первый признак равенства треугольников.
Цель урока: закрепить изученный материал, совершенствовать умение применять первый признак равенства треугольников при решении задач.
Задачи:
1. Формирование умения применять первый признак равенства треугольников при решении задач.
2. Развитие внимания, математического мышления учащихся.
3. Воспитание аккуратности, внимания, навыков общения.
Тип урока: урок решения задач.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.
Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.
Используемая литература:
Атанасян, Л. С. Геометрия: учебник для 7–9 классов средней школы [Текст] / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов [и др.] – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.
Атанасян Л. С. Изучение геометрии в 7 – 9 классах. Пособие для учителей [Текст] / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов [и др.] – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
Гаврилова Н. Ф. Универсальные поурочные разработки по геометрии. 7-9 класс [Текст] / Н. Ф. Гаврилова. – М.: ВАКО, 2010. – 304 с.
Таблица 3
Ход урока
| № | Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика | Время (в мин.) |
| 1 | Организационный момент | Приветствие, фиксирует отсутствующих, формулирует тему и цель урока. Отчет проверяющих о выполнении домашнего задания, анализ проблемных вопросов домашней работы. | Учащиеся записывают тему урока. Проверяющие отчитываются о выполнении домашнего задания | 2 мин. |
| 2 | Мотивационно-ориентировочный этап (подготовка к восприятию, актуализация прежних знаний) | Краткое доказательство первого признака равенства треугольников (работа на зачет) Фронтальная работа с остальными учащимися: учитель предлагает ответить на следующие вопросы: 1. Назовите определение равных треугольников 2. Сформулируйте первый признак подобия треугольников Решите устно следующую задачу: Охарактеризуйте конфигурацию, изображенную на чертеже. Составьте несколько задач. Дано:
| Трое учеников оформляют доказательство первого признака равенства треугольников. Учащиеся отвечают на предложенные вопросы: Формулируют ответы на вопросы. Учащиеся устно обосновывают решение данной задачи. Возможны следующие варианты задач: 1) докажите, что 2) докажите, что 3) докажите, что
| 8 мин. |
; 
;
;
– равнобедренный.
Продолжение таблицы 3
| № | Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика | Время (в мин.) |
| 3 | Этап закрепления знаний | Решите задачу: В треугольнике Устная работа с классом. Составьте план решения задачи. Все ли условия использовались в процессе решения? | Один ученик оформляет задачу на доске, остальные в тетрадях. Решение: 1) рассмотрим 2) рассмотрим треугольники 3) из равенства треугольников План решения задачи: 1) найдем углы треугольника 2) докажем равенство треугольников 3) найдем величину искомого угла. Условие задачи избыточно. Для нахождения величины угла | 15 мин. |
Учитель предлагает решить следующую задачу с полным оформлением в тетради.
– продолжение 
, 
– продолжение 
, если 
, 
и 
.
:
,
;
и 
, так как 
как вертикальные углы);
, то есть искомый угол 
.
и величину угла 
.
Продолжение таблицы 3
| № | Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика | Время (в мин.) |
|
|
| Решите устно следующую задачу. Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.
| Решение: 1) рассмотрим треугольники 2) из равенства треугольников |
|
| 4 | Самостоятельная работа | Учитель раздает карточки с самостоятельной работой на 2 варианта. | Учащиеся решают выданный учителем вариант на отдельных листочках. | 14 мин. |
| I вариант 1. Докажите, что
2. Известно, что | II вариант 1. Докажите, что 2. Известно, что |
и 
. Они равны по первому признаку равенства треугольников (
как углы при основании равнобедренного треугольника, 
, так как треугольник 
– медианы, то 
);
.
. На сторонах 
отмечены точки 
и 
так, что 
. Докажите, что 
.
проведена медиана 
так, что 
. Докажите, что 
.
Продолжение таблицы 3
| № | Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика | Время (в мин.) |
| 5 | Подведение итогов урока | Оценивание работы учащихся, формулировка домашнего задания: п. 15, №92, № 95, № 98. | Записывают домашнее задание в дневники. | 1 мин. |
Первый признак равенства треугольников (880 KB)
0
257
2
Нравится
0
