Первообразная функция

План - конспект урока

Учитель: Поликарпов А.А.

Тема урока: Первообразная.

Тип урока – изучение нового материала

Цели урока:

- повторить понятие производной функции, ее физический смысл, основные формулы дифференцирования; ввести понятие первообразной функции, научить учащихся определять является ли функция F(x) первообразной для функции f(x).

- способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.

- побуждать учащихся само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

Задачи урока:

а) образовательная -  на основе имеющихся у учащихся знаний по теме: «Производная» подвести учащихся к понятию первообразной, определить вместе с ними это понятие;

б) развивающая - формирование приемов обобщения, алгоритмизации;

в) воспитательная - воспитывать умение участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнении, показ практической применимости математических знаний.

Ход урока

1.Организационный момент (сообщение темы и цели урока). 

2.Актуализация знаний

1) Опорные знания: производная, таблица производных, физический смысл производной.

2) Связь с прошлой темой: на уроке используются таблицы производной, вычисляются производные функций.

Задание классу:

1. Вычислить производные следующих функций:

(1)^/ =                          ((2х-3)⁶)^/=

(х)^/ =                          ((х⁵+20))^/=

(30х)^/=                       (Соs 3х)^/=

(х³)^/=                         ( 5х¹⁰)^/=

1. Назвать физический смысл производной.

3.Изучение нового материала (Формирование новых понятий и способов действий) 

Сегодня мы познакомимся с новым математическим понятием – первообразной.

Для начала обратимся к задаче, которая поможет сформулировать определение первообразной.

С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени. Если некоторая точка прошла путь S(t), то ее мгновенная скорость  . Если теперь рассмотреть обратную задачу – нахождение пути, пройденного точкой с заданной скоростью, то придем к функции S(t), которую называют первообразной функции v(t), т.е. такой функцией, что   .

Итак, функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для х   Х выполняется равенство F^/(x) = f(x).

Как следует из определения, операция нахождения первообразной – обратна нахождению производной функции. Таблица первообразных:

4. Закрепление нового материала ( Применение знаний и новых способов действий в ситуациях по образцу и в измененных условиях)

№1.Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t)=8t–4. Найдите закон движения точки, если в момент времени t=2c пройденный путь составил 4 м.

Решение:

Воспользуемся определением первообразной, т.к. S(t)=v₀t+at²/2

S^/(t) = v(t).

Найдем все первообразные S(t)= -4t+4t² +c.

Подставим t=2c и пройденный путь S=4 м.

4= -8+16+с

С= -4.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

s(t)=4t²–4t–4

Ответ: s(t)=4t²–4t–4

№2 а) Проверить, что функция F(x) есть первообразная для f(x):

   1) F(x) = x³-2x+1     f(x)=3x²-2

   2) F(x)= x⁴-7           f(x)=4x³

   3) F(x)=10              f(x)=0

   5) F(x) =10x²⁰        f(x)=200x¹⁹

 б) Найти первообразную для функции f(x):

    1) f(x)= x³ 

    2) f(x) = x²

      3) f(x) = x

После решения задания  б) появляется необходимость как-то упорядочить процесс нахождения первообразной; с этой целью учащиеся формулируют алгоритм:

1. Подобрать функцию F(x)

2. Найти её производную F^/(x)

3. Сравнить полученную производную F^/(x) с данной функцией f(x)

4. Если они совпадают, то задача решена, если нет, то вернуться к пункту 1).

№3 Первообразные для следующих функций находим, пользуясь данным алгоритмом.

1. f(x) = 1

2. f(x) = x³

3. f(x) = 0,25

4. f(x) = 5x

5. f(x) = 6/x

6. f(x) = 7x⁸

7. f(x) = 14x¹⁰

8. f(x) = 20x³

№4. Докажите, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x).

Решение:

Доказательство.

F'(x)=(х²-е^2х+2)'=2х-2е^2х

По определению первообразной, F'(x)=f(x), следовательно, F'(x) и есть первообразная для функции f(x)

№5. Для функции f(x) = х ² найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).

Решение:

Найдем все первообразные функции f(x) : 

Найдем число С, такое, чтобы график функции f(x) = х ²    проходил через точку (-3; 10). Подставим х = – 3, y = 10, получим:

10 = (-3)³/3 +с

С=19

Следовательно,  

Ответ: 

5. Итог урока. Рефлексия

1) С какой операцией, обратной дифференцированию, познакомились;

2) вспоминаем определение первообразной.

Итак,  дифференцировать – значит «разделять» процесс, например, находить его мгновенную скорость в каждой отдельно взятой точке; интегрировать – значит «соединять», суммировать бесконечно малые части искомого целого.
Таким образом, операции дифференцирования («разделения») и интегрирования («суммирования») оказываются взаимно обратными (как, например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня).
Инструментом для вычисления интегралов служит понятие первообразной функции. Операция нахождения первообразной является обратной по отношению к операции дифференцирования функции.
Овладев понятием первообразной функции, а затем и интеграла, мы сможем решать самые разнообразные алгебраические, геометрические и физические задачи.