Номер урока | Содержание (разделы, темы) | Кол-во часов | Даты проведения (неделя) | |
план | факт | |||
| II. Параллельность прямых и плоскостей | 14 |
|
|
| 1. Параллельность прямых | 7 |
|
|
4 | Параллельные прямые в пространстве. |
|
|
|
5 | Параллельность трех прямых. |
|
|
|
6 | Параллельность прямой и плоскости. Скрещивающиеся прямые. |
|
|
|
7 | З адачи на применение параллельности прямых и плоскостей. |
|
|
|
8 | Углы с сонаправленными прямыми. Угол между прямыми. |
|
|
|
9 | Решение задач по теме «Параллельность прямых». |
|
|
|
10 | Контрольная работа № 1 по теме «Параллельность прямых». |
|
|
|
| 2. Параллельность плоскостей. Сечения многогранников |
|
|
|
| Параллельные плоскости. Свойства параллельных плоскостей. | 7 |
|
|
12 | Решение задач по теме «Параллельные плоскости». |
|
|
|
13 | Тетраэдр. |
|
|
|
14 | Параллелепипед. |
|
|
|
15 | Задачи на построение сечений в тетраэдре. |
|
|
|
16 | Задачи на построение сечений в параллелепипеде. |
|
|
|
17 | Контрольная работа №2 «Построение сечений в тетраэдре и параллелепипеде». |
|
|
|
Место темы в курсе математика
Данную тему рассматривают в 10 классе в главе «параллельность прямых и плоскостей», так как учащиеся уже обладают некоторыми навыками и знаниями основной школы
Пропедевтика изучения темы
Тема содержит широкие возможности для научного образования, развития и воспитания учащихся. При изучении темы, учащиеся знакомятся с новыми понятиями, например, параллельные прямые в пространстве, скрещивающиеся прямые в пространстве, углы с сонаправленными сторонами, параллельные плоскости, тетраэдр, параллелепипед; научатся решать стандартные задачи, строить сечения; при решении задач на построение фигур и сечений у учащихся развивается абстрактное мышление, умение анализировать, а также речь; воспитывается аккуратность ведения записей и чертежей в тетради.
Ожидаемые результаты включают в себя:
· Знать какие прямые в пространстве называются параллельными, скрещивающимися, признак параллельности прямых, признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей;
· Уметь решать стандартные задачи на нахождение и построение;
· Владеть терминологией;
· Иметь представление о параллельных прямых в пространстве, о существовании плоскости параллельной данной плоскости, об изображении пространственных фигур на плоскости.
Целью изучения темы- дать систематизирование знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве , сформировать умения применять свойства и решать практические задачи
Методическое планирование темы(Геометрия 10-11, А.В.Погорелов2001)
№ урока | Тема урока | Цель урока | Распределе в классе | ние задач дома | Самостоятельная работа | Повторение | Контроль | Наглядности | Материал для мотивации | |||||||||||||||||||||||||
II. Параллельность прямых и плоскостей | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Параллельность прямых |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | Параллельные прямые в пространстве. | ОЦ: обеспечить усвоение понятий «параллельность прямых» «параллельность прямой и плоскости» РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность и аккуратность | Задания из методической разработки для 10класса | П7,(до теоремы 2.1) контрольные вопросы №1,2. Задача 1 ст 18 | Работа с книгой, выполнение упражнений в тетради и у доски. |
| Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос | Презентация «Параллельные прямые в пространстве.» |
| |||||||||||||||||||||||||
2 | Параллельность трех прямых. | ОЦ: обеспечить усвоение понятий «параллельность прямых» «параллельность прямой и плоскости» РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность и аккуратность | Задачи с задачника Роганина | П7, кп №3, задачи 5(1,3), 7(1,3) ст 18-19 | Работа с книгой, выполнение упражнений в тетради и у доски. | Повтор понятий «параллельность прямых» «параллельность прямой и плоскости» | Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос | Видео – презентация «Параллельность трех прямых.» |
| |||||||||||||||||||||||||
3 | Параллельность прямой и плоскости. Скрещивающиеся прямые. | ОЦ: обеспечить усвоение понятий «параллельность прямых» «параллельность прямой и плоскости» РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность и аккуратность | 5(2,4) 6,7(2,4) 8 | П8, КВ 4, задачи 9,10 стр 19 | Работа с книгой, выполнение упражнений в тетради и у доски. | Повтор понятий «параллельность прямых» «параллельность прямой и плоскости», повторить теорему | Фронтальный опрос. |
| Применяется широко на практике, знания применяются при изучении черчения, архитектуры и т.д. | |||||||||||||||||||||||||
4 | Задачи на применение параллельности прямых и плоскостей. | ОЦ: научить решать стандартные задачи. РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность | 11,12,13,14 | №27 стр 20 | Работа с книгой, выполнение упражнений в тетради и у доски. | Повтор понятий «параллельность прямых» «параллельность прямой и плоскости», повторить теорему, что такое скрещивающиеся прямые | Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос |
|
| |||||||||||||||||||||||||
5 | Углы с сонаправленными прямыми. Угол между прямыми. | ОЦ: обеспечить усвоение понятий скрещивающиеся прямые и сонаправленные стороны, научит определять угол между соответственными сторонами. РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность и аккуратность. | 15,16,22 | Задачи с задачника для 10класса | Работа с книгой, выполнение упражнений в тетради и у доски. | Повтор понятий «параллельность прямых» «параллельность прямой и плоскости», повторить теорему, что такое скрещивающиеся прямые | Проверка домашнего задания. Самоконтроль | Видео – презентация «Углы с сонаправленными прямыми. Угол между прямыми.» |
| |||||||||||||||||||||||||
6 | Решение задач по теме «Параллельность прямых». | ОЦ: научить решать стандартные задачи. РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность | Подготовка к к/р | Подготовка к к/р (обмен вариантами) | Работа с книгой, выполнение упражнений в тетради и у доски. | Повтор понятий «параллельность прямых» «параллельность прямой и плоскости», повторить теорему, что такое скрещивающиеся прямые | Проверка домашнего задания. Самоконтроль | Видео – презентация «Параллельность прямых» | Решение задач позволит нам на практике лучше понять некоторые особенности теории. | |||||||||||||||||||||||||
7 | Контрольная работа № 1 по теме «Параллельность прямых». | ОЦ: контроль знаний. РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность и аккуратность. |
| Выполнить тест | Выполнение контрольной работы |
| Проверка домашнего задания. Тест. |
|
| |||||||||||||||||||||||||
| 2. Параллельность плоскостей. Сечения многогранников | |||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | Параллельные плоскости. Свойства параллельных плоскостей. | Усвоение умений самостоятельно в комплексе применять знания при решении задач | 13.15,18 | П9, КВ 5,6 , Задачи 14,16 ст 19 | Работа с книгой, выполнение упражнений в тетради и у доски. | Повтор понятий «параллельность прямых» «параллельность прямой и плоскости», повторить теорему, что такое скрещивающиеся прямые | Фронтальный опрос. | Видео – презентация «Параллельные плоскости» |
| |||||||||||||||||||||||||
9 | Решение задач по теме «Параллельные плоскости». | ОЦ: научить решать стандартные задачи. РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность и аккуратность. | Задачи с задачника Роганина | П9, задачи 13(2,3),22 стр 19-20 |
| Свойства параллельных плоскостей. | Проверка домашнего задания. Тест. Самоконтроль |
| Решение задач позволит нам на практике лучше понять некоторые особенности теории. | |||||||||||||||||||||||||
10 | Тетраэдр. | ОЦ: обеспечить усвоение понятий тетраэдра РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность и аккуратность. | 24,17 | П10 КВ7,8, задачи 18 стр 19 | Работа с книгой, выполнение упражнений в тетради и у доски. | Повтор понятий «параллельность прямых» «параллельность прямой и плоскости», повторить теорему, что такое скрещивающиеся прямые Свойства параллельных плоскостей. | Фронтальный опрос. | Видео – презентация «Тетраэдр.» |
| |||||||||||||||||||||||||
11 | Параллелепипед. | ОЦ: обеспечить усвоение понятий параллелепипеда, РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность и аккуратность. | 23,22,26 | П11, КВ 9, задача 24 ст 20 | Работа с книгой, выполнение упражнений в тетради и у доски. | Тетраэдр | Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос | Видео – презентация «Параллелепипед.» |
| |||||||||||||||||||||||||
12 | Задачи на построение сечений в тетраэдре. | ОЦ: обеспечить усвоение понятий тетраэдра научить строить сечения. РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность и аккуратность. | Задачи с задачника Роганина | П12, КВ 10,11. Задачи 29,32 стр 21 | Работа с книгой, выполнение упражнений в тетради и у доски. | Параллелепипед, Тетраэдр | Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос |
| Решение задач позволит нам на практике лучше понять некоторые особенности теории. | |||||||||||||||||||||||||
13 | Задачи на построение сечений в параллелепипеде. | ОЦ: обеспечить усвоение понятий тетраэдра и параллелепипеда, научить строить сечения. РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность и аккуратность. | Задачи с задачника Роганина | П12,КП 10,11Ю задачи 28,30,31 стр 21 | Работа с книгой, выполнение упражнений в тетради и у доски. | Параллелепипед, Тетраэдр | Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос | Видео – презентация «сечений в параллелепипеде.» |
| |||||||||||||||||||||||||
14 | Контрольная работа №2 «Построение сечений в тетраэдре и параллелепипеде». | ОЦ: контроль знаний. РЦ: развить умение анализировать, сравнивать, выделять главное и обобщать. ВЦ: воспитывать самостоятельность и аккуратность. |
| Тест | Выполнение контрольной работы | Повтор понятий «параллельность прямых» «параллельность прямой и плоскости», повторить теорему, что такое скрещивающиеся прямые Свойства параллельных плоскостей, Параллелепипед, Тетраэдр |
|
|
|
Схема формирования основных понятий
1. Параллельные прямые;
2. Параллельность прямой и плоскости;
3. Скрещивающиеся прямые;
4. Параллельные плоскости.
Утверждения темы:
1. Теорема единственности существования параллельной прямой;
2. Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми;
3. Теорема о параллельности двух прямых относительно третьей;
4. Теорема о параллельности прямой и плоскости;
5. Теорема о скрещивающихся прямых;
6. Теорема единственности прохождения плоскости через каждую из двух скрещивающихся прямых;
7. Теорема равенства углов сонаправленных сторон;
8. Теорема параллельности плоскостей относительно пересекающихся прямых
Изложение темы в различных учебниках
| ||||
Схема анализа | Л.С. Атанасян и др. «Геометрия 10-11» | А.В. Погорелов «Геометрия 7-11» | А.Д. Александров «Геометрия 10-11» |
|
1.Структурные особенности 1.1.Представление темы в учебнике | 10 кл.- Глава 1,§13п. §23п. §32п. §43п. | 10 кл.- §167 п. | 10 кл. - Глава 1, п.33 подпункта. |
|
1.2. Расположение задачного материала | Практические задания, задачи и вопросы после каждого §, главы. Задачи заданы текстом. | Задачи, контрольные вопросы после каждого §. На каждую тему есть примеры решения задач. | В конце каждого пункта вопросы и задачи. |
|
2.Математические особенности темы. 2.1. Ядро. | 4 определения, 7 теорем, 1 лемма. | 3 определения, 5 теорем. | 2 определения, 4 теоремы. |
|
2.2.Математическая основа изложения | Прямое доказательство теорем и методом от противного | Прямое доказательство теорем и методом от противного | Прямое доказательство теорем и методом от противного |
|
3.Методические особенности. 3.1. Характер изложения. | Индуктивное изложение. |
|
|
|
3.2. Выделение материала для заучивания. | Жирным шрифтом, в рамке | Жирным шрифтом, курсивом. | Жирным шрифтом |
|
3.3. Наглядность. | Чертежи, цветовая гамма, рисунки. | Чертежи. | Чертежи, рисунки, цветовая гамма. |
|
3.4. Материал для повторения. | В конце каждой главы вопросы для повторения | В конце каждого § вопросы для повторения. | В конце каждого пункта вопросы для самоконтроля. В конце учебника вопросы по всему материалу. |
|
3.5. Наличие материала для углубления, расширения и обобщения материала темы | Задачи повышенной трудности в конце каждой главы, доп. вопросы. портреты ученых. | Контрольные вопросы и задачи, исторические сведения. | Исторические сведения о современной геометрии в конце учебника. |
|
4. Выводы. 4.1. Достоинства. | Материал четко выделен, есть наглядные картинки. | Есть задачи примеры, пункт «как готовиться по учебнику самостоятельно». | Материал четко выделен, цветные чертежи и рисунки |
|
4.2. Недостатки. | Нет примеров решения задач. | Черно-белая гамма цветов. | Нет примеров решения задач, скудно изложен материал. |
|
|
|
|
|
|
Итак, сравнительный анализ показал, что все три учебника являются учебниками-задачниками. Учебники Атанасяна и Александрова посвящены курсу геометрии 10-11, а учебник Погорелова - курсу геометрии 7-11. Теме «Параллельность прямых и плоскостей» в учебнике Атанасяна посвящена целая глава, а в учебниках Погорелова и Александрова по одному §, хотя в целом разбираются одни и те же вопросы.
Самостоятельная работа
Вариант 1
1.Через вершины А и С параллелограмма АВСД проведены параллельные прямые А1А и С1С, не лежащие в плоскости параллелограмма. Докажите параллельность плоскостей А1АВ и С1СД.
2. Параллельные прямые а и в пересекают одну из двух параллельных плоскостей в точках А1 и В1, а другую в точках А2 и В2 соответственно.
а) Докажите, что А1В1 параллельно А2В2.
б) Найдите угол А2А1В1, если угол А1А2В2 = 1400.
Самостоятельная работа
Вариант 2
1.Через вершины А и С параллелограмма АВСД проведены параллельные прямые А1А и С1С, не лежащие в плоскости параллелограмма. Докажите параллельность плоскости А1АД и С1СВ.
2. Параллельные прямые а и в пересекают одну из двух параллельных плоскостей в точках А1 и В1, а другую в точках А2 и В2 соответственно.
а) докажите, что А1В1 = А2В2.
б) найдите угол В1В2А2, если угол В1А1А = 500.
Контрольная работа № по теме «Параллельность прямой и плоскости» ВАРИАНТ 1
1. По рис. 1 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCC1 и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая АА1; в) точки пересечения прямой МК с плоскостью ABD, прямых DK и ВР с плоскостью А1В1С1.
Рис.1
2. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Сделайте рисунок к задаче и найдите длину отрезка СС1, если точка С — середина отрезка АВ и ВВ1,=7 см.
3. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Сделайте рисунок к задаче и выясните взаимное расположение прямых: а)MN и АВ б) MD и ВС.
4. Параллельные отрезки А1А2, В1 В2 и С1С2 заключены между параллельными плоскостями и β (рис. 2).
Докажите, что ∆А1В1С1= ∆А2В2С2.
Рис.2
5.Основание ВС треугольника АВС принадлежит плоскости , точки Ки Р середины сторон АВ и АС соответственно. Чему равна сторона ВС, если КР =11,4 см.
ВАРИАНТ 2
1. По рис. 1 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой СЕ с плоскостью ADB; в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC.
Рис.1
2. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки D и Е так, что DЕ = 5 см иBD:DA = 3:1.Плоскость проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Сделайте рисунок к задаче и найдите длину отрезка ВС.
3. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Сделайте рисунок к задаче и выясните взаимное расположение прямых: а) ND и АВ; б) KN и AC.
4. Параллельные отрезки А1А2, В1 В2 и С1С2 заключены между параллельными плоскостями и β (рис. 2). Определите вид четырехугольников А1В1В2А2, В1С1С2В2 и А1С1С2А2.Рис.2
5.Основание ВС треугольника АВС принадлежит плоскости , точки Ки Р середины сторон АВ и АС соответственно. Чему равна сторона ВС, если КР =13,8 см.
Конспект урока « Параллельность плоскостей.»
Цели. Образовательные:
рассмотрение возможных случаев взаимного расположения в пространстве плоскостей;
изучение понятия параллельные плоскости; признака параллельности плоскостей;
формирование у обучающихся навыков применения этого признака при решении задач.
Развивающие.
развитие у обучающихся умений сопоставлять, анализировать, выделять главное, обобщать, формулировать выводы;
развитие пространственного воображения.
Воспитательные:
Воспитание познавательной активности, умений самостоятельно добывать знания;
формирование культуры общения
1.Актуализация знаний учащихся.
- Давайте вспомним основные фигуры стереометрии (точка, прямая, плоскость).
- Каким может быть взаимное расположение двух прямых в пространстве?
Прямые a и b | |||
Лежат в одной плоскости | Не лежат в одной плоскости | ||
|
|
|
|
Одна общая точка. | Две (и более) общих точек. | Не имеют общих точек. | Не имеют общих точек. |
a ∩ b
| a = b | a║ b | a─b |
- Каково взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?
- Взаимное расположение каких фигур в пространстве нам осталось рассмотреть?
- Как вы думаете, каким образом могут быть расположены две плоскости в пространстве относительно друг друга?
Имеют одну общую точку (аксиома С2).
Совпадают.
Не имеют общих точек, то есть плоскости не пересекаются. В этом случае они называются параллельными.
Формулирование темы и целей урока.
2. Изучение нового материала.
- Сформулируйте определение параллельных плоскостей.
Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
α ║ β
Практическое задание (работа в парах).
Даны плоскость α и точка А ¢ α. Как построить плоскость β, проходящую через точку А и параллельную плоскости α?
- Таким образом, доказано существование плоскости, параллельной данной
плоскости и проходящей через данную точку, и получен признак параллельности плоскостей.
- Попробуйте сами сформулировать данный признак.
Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Дано: а1 ∩ а2 = А, а1 и а2 лежат в плоскости α;
b1∩ b2 =В, b1 и b2 лежат в плоскости β;
а1║ b1, а2 ║ b2.
Доказать: α ║ β
Теорема доказывается вместе с учащимися. Доказательство теоремы учащиеся записывают дома, и на следующем уроке проверяется у доски.
3. Закрепление нового материала.
1. Даны две скрещивающиеся прямые. Как провести через них две параллельные плоскости?
Учащиеся работают парами с последующей проверкой
2.Являются ли параллельными плоскости ABC и B1C1D1, проходящие через вершины куба A…D1?
Первичная проверка усвоение материала:
Проверочная работа (в форме теста)
1 вариант
1.Дан куб ABCDА1B1C1D1. Из следующий утверждений выбрать верные:
а) Прямая ВС пересекает прямую D1 D;
б) Прямые АА1 и ВС скрещиваются;
в) Прямые А1B1 и AD параллельные.
2. Даны плоскость α и точка А, не лежащая в плоскости α. Сколько существует прямых, параллельных α и проходящих через точку А?
а) 0; б) 1; в) 0 или 1; г) множество.
3. Как расположены две плоскости, которые имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой?
а) совпадают; б) пересекаются; в) параллельны.
4. Прямая а параллельна плоскости α.. Прямая b лежит в плоскости α. Укажите взаимное расположение прямых а и b.
а) параллельны; б) скрещиваются; в) скрещиваются или параллельны.
2 вариант
1.Дан куб ABCDА1B1C1D1. Из следующий утверждений выбрать верные:
а) Прямая AD пересекает прямую С1 С;
б) Прямые AB и AD скрещиваются;
в) Прямые AА1 и CC1 параллельные.
2. Даны прямая а и точка А, не лежащая на прямой а. Сколько существует прямых, параллельных прямой а и проходящих через точку А?
а) 0; б) 1; в) 0 или 1; г) множество.
3. Каково взаимное расположение прямой и плоскости, если они имеют две общие точки?
а) пересекаются; б) параллельны; в) прямая лежит в плоскости.
4. Плоскости α и β пересекаются по прямой m; прямая а║ α. и а ║ β. Каково взаимное расположение прямых а и m.
а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают..
І вариант ІІ вариант
1 – б 1 – в
2 – г 2 – б
3 – а 3 – в
4 – в 4 – б
4. Итог урока.
- Каким может быть взаимное расположение двух прямых в пространстве?
- В каком случае две плоскости называются параллельными, пересекающимися?
- Сформулируйте признак параллельности плоскостей.
5.Рефлексия
"Оцени себя на уроке".
Учащимся дается индивидуальная карточка, в которой нужно подчеркнуть фразы, характеризующие работу ученика на уроке по трем направлениям.
Урок Я на уроке Итог
1. интересно 1. работал 1. понял материал
2. скучно 2. отдыхал 2. узнал больше, чем знал
3.безразлично 3.помогал другим 3. не понял
6. Домашнее задание.
п.10, №51(второй признак параллельности плоскостей), №54