Параллельность прямых и плоскостей

Место темы в курсе математика

Данную тему рассматривают в 10 классе в главе «параллельность прямых и плоскостей», так как учащиеся уже обладают некоторыми навыками и знаниями основной школы

Пропедевтика изучения темы

Тема содержит широкие возможности для научного образования, развития и воспитания учащихся. При изучении темы, учащиеся знакомятся с новыми понятиями, например, параллельные прямые в пространстве, скрещивающиеся прямые в пространстве, углы с сонаправленными сторонами, параллельные плоскости, тетраэдр, параллелепипед; научатся решать стандартные задачи, строить сечения; при решении задач на построение фигур и сечений у учащихся развивается абстрактное мышление, умение анализировать, а также речь; воспитывается аккуратность ведения записей и чертежей в тетради.

Ожидаемые результаты включают в себя:

· Знать какие прямые в пространстве называются параллельными, скрещивающимися, признак параллельности прямых, признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей;

· Уметь решать стандартные задачи на нахождение и построение;

· Владеть терминологией;

· Иметь представление о параллельных прямых в пространстве, о существовании плоскости параллельной данной плоскости, об изображении пространственных фигур на плоскости.

Целью изучения темы- дать систематизирование знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве , сформировать умения применять свойства и решать практические задачи

Методическое планирование темы(Геометрия 10-11, А.В.Погорелов2001)

Схема формирования основных понятий

1. Параллельные прямые;

2. Параллельность прямой и плоскости;

3. Скрещивающиеся прямые;

4. Параллельные плоскости.

Утверждения темы:

1. Теорема единственности существования параллельной прямой;

2. Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми;

3. Теорема о параллельности двух прямых относительно третьей;

4. Теорема о параллельности прямой и плоскости;

5. Теорема о скрещивающихся прямых;

6. Теорема единственности прохождения плоскости через каждую из двух скрещивающихся прямых;

7. Теорема равенства углов сонаправленных сторон;

8. Теорема параллельности плоскостей относительно пересекающихся прямых

Изложение темы в различных учебниках

Итак, сравнительный анализ показал, что все три учебника являются учебниками-задачниками. Учебники Атанасяна и Александрова посвящены курсу геометрии 10-11, а учебник Погорелова - курсу геометрии 7-11. Теме «Параллельность прямых и плоскостей» в учебнике Атанасяна посвящена целая глава, а в учебниках Погорелова и Александрова по одному §, хотя в целом разбираются одни и те же вопросы.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1.Через вершины А и С параллелограмма АВСД проведены параллельные прямые А1А и С1С, не лежащие в плоскости параллелограмма. Докажите параллельность плоскостей А1АВ и С1СД.

2. Параллельные прямые а и в пересекают одну из двух параллельных плоскостей в точках А1 и В1, а другую в точках А2 и В2 соответственно.

а) Докажите, что А1В1 параллельно А2В2.

б) Найдите угол А2А1В1, если угол А1А2В2 = 1400.

Самостоятельная работа

Вариант 2

1.Через вершины А и С параллелограмма АВСД проведены параллельные прямые А1А и С1С, не лежащие в плоскости параллелограмма. Докажите параллельность плоскости А1АД и С1СВ.

2. Параллельные прямые а и в пересекают одну из двух параллельных плоскостей в точках А1 и В1, а другую в точках А2 и В2 соответственно.

а) докажите, что А1В1 = А2В2.

б) найдите угол В1В2А2, если угол В1А1А = 500.

Контрольная работа № по теме «Параллельность прямой и плоскости» ВАРИАНТ 1

1. По рис. 1 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCC₁ и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая АА₁; в) точки пересечения прямой МК с плоскостью ABD, прямых DK и ВР с плоскостью А₁В₁С₁.

Рис.1

2. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В₁ и С₁. Сделайте рисунок к задаче и найдите длину отрезка СС₁, если точка С — середина отрезка АВ и ВВ₁,=7 см.

3. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Сделайте рисунок к задаче и выясните взаимное расположение прямых: а)MN и АВ б) MD и ВС.

4. Параллельные отрезки А₁А₂, В₁ В₂ и С₁С₂ заключены между параллельными плоскостями  и β (рис. 2).

Докажите, что ∆А₁В₁С₁= ∆А₂В₂С_2.

Рис.2

5.Основание ВС треугольника АВС принадлежит плоскости , точки Ки Р середины сторон АВ и АС соответственно. Чему равна сторона ВС, если КР =11,4 см.

ВАРИАНТ 2

1. По рис. 1 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой СЕ с плоскостью ADB; в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC.

Рис.1

2. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки D и Е так, что DЕ = 5 см иBD:DA = 3:1.Плоскость проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Сделайте рисунок к задаче и найдите длину отрезка ВС.

3. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Сделайте рисунок к задаче и выясните взаимное расположение прямых: а) ND и АВ; б) KN и AC.

4. Параллельные отрезки А₁А₂, В₁ В₂ и С₁С₂ заключены между параллельными плоскостями  и β (рис. 2). Определите вид четырехугольников А₁В₁В₂А_2, В₁С₁С₂В₂ и А₁С₁С₂А₂.Рис.2

5.Основание ВС треугольника АВС принадлежит плоскости , точки Ки Р середины сторон АВ и АС соответственно. Чему равна сторона ВС, если КР =13,8 см.

Конспект урока « Параллельность плоскостей.»

Цели. Образовательные:

• рассмотрение возможных случаев взаимного расположения в пространстве плоскостей;

• изучение понятия параллельные плоскости; признака параллельности плоскостей;

• формирование у обучающихся навыков применения этого признака при решении задач.

Развивающие.

• развитие у обучающихся умений сопоставлять, анализировать, выделять главное, обобщать, формулировать выводы;

• развитие пространственного воображения.

Воспитательные:

• Воспитание познавательной активности, умений самостоятельно добывать знания;

• формирование культуры общения

1.Актуализация знаний учащихся.

- Давайте вспомним основные фигуры стереометрии (точка, прямая, плоскость).

- Каким может быть взаимное расположение двух прямых в пространстве?

- Каково взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?

- Взаимное расположение каких фигур в пространстве нам осталось рассмотреть?

- Как вы думаете, каким образом могут быть расположены две плоскости в пространстве относительно друг друга?

• Имеют одну общую точку (аксиома С₂).

• Совпадают.

• Не имеют общих точек, то есть плоскости не пересекаются. В этом случае они называются параллельными.

Формулирование темы и целей урока.

2. Изучение нового материала.

- Сформулируйте определение параллельных плоскостей.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

α ║ β

Практическое задание (работа в парах).

Даны плоскость α и точка А ¢ α. Как построить плоскость β, проходящую через точку А и параллельную плоскости α?

- Таким образом, доказано существование плоскости, параллельной данной

плоскости и проходящей через данную точку, и получен признак параллельности плоскостей.

- Попробуйте сами сформулировать данный признак.

Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Дано: а₁ ∩ а₂ = А, а₁ и а₂ лежат в плоскости α;

b₁∩ b₂ =В, b₁ и b₂ лежат в плоскости β;

а₁║ b_1, а₂ ║ b_2.

Доказать: α ║ β

Теорема доказывается вместе с учащимися. Доказательство теоремы учащиеся записывают дома, и на следующем уроке проверяется у доски.

3. Закрепление нового материала.

1. Даны две скрещивающиеся прямые. Как провести через них две параллельные плоскости?

Учащиеся работают парами с последующей проверкой

2.Являются ли параллельными плоскости ABC и B₁C₁D₁, проходящие через вершины куба A…D₁?

Первичная проверка усвоение материала:

Проверочная работа (в форме теста)

1 вариант

1.Дан куб ABCDА₁B₁C₁D_1. Из следующий утверждений выбрать верные:

а) Прямая ВС пересекает прямую D₁ D;

б) Прямые АА₁ и ВС скрещиваются;

в) Прямые А₁B₁ и AD параллельные.

2. Даны плоскость α и точка А, не лежащая в плоскости α. Сколько существует прямых, параллельных α и проходящих через точку А?

а) 0; б) 1; в) 0 или 1; г) множество.

3. Как расположены две плоскости, которые имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой?

а) совпадают; б) пересекаются; в) параллельны.

4. Прямая а параллельна плоскости α.. Прямая b лежит в плоскости α. Укажите взаимное расположение прямых а и b.

а) параллельны; б) скрещиваются; в) скрещиваются или параллельны.

2 вариант

1.Дан куб ABCDА₁B₁C₁D_1. Из следующий утверждений выбрать верные:

а) Прямая AD пересекает прямую С₁ С;

б) Прямые AB и AD скрещиваются;

в) Прямые AА₁ и CC₁ параллельные.

2. Даны прямая а и точка А, не лежащая на прямой а. Сколько существует прямых, параллельных прямой а и проходящих через точку А?

а) 0; б) 1; в) 0 или 1; г) множество.

3. Каково взаимное расположение прямой и плоскости, если они имеют две общие точки?

а) пересекаются; б) параллельны; в) прямая лежит в плоскости.

4. Плоскости α и β пересекаются по прямой m; прямая а║ α. и а ║ β. Каково взаимное расположение прямых а и m.

а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают..

І вариант ІІ вариант

1 – б 1 – в

2 – г 2 – б

3 – а 3 – в

4 – в 4 – б

4. Итог урока.

- Каким может быть взаимное расположение двух прямых в пространстве?

- В каком случае две плоскости называются параллельными, пересекающимися?

- Сформулируйте признак параллельности плоскостей.

5.Рефлексия

"Оцени себя на уроке".

Учащимся дается индивидуальная карточка, в которой нужно подчеркнуть фразы, характеризующие работу ученика на уроке по трем направлениям.

Урок Я на уроке Итог

1. интересно 1. работал 1. понял материал

2. скучно 2. отдыхал 2. узнал больше, чем знал

3.безразлично 3.помогал другим 3. не понял

6. Домашнее задание.

п.10, №51(второй признак параллельности плоскостей), №54