Параллельность прямых и плоскостей

Параллельность прямых и плоскостей

Столяренко Ксения владимировна, преподаватель

Параллельные прямые в пространстве

✍ Две прямые в пространстве называются параллельными,

если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

П араллельность прямых a и b обозначается так: a ║ b или b ║ a

Теорема

Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство

• Так как прямые а и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость ɑ .
•  Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой а обозначаем точки В и С , а на прямой b - точку A. 
• Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то ɑ является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые а и b .

Теорема

Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой и притом только одну.

Доказательство

• Через данную прямую а и точку М , которая не лежит на прямой, проводится плоскость ɑ. 
• Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну). 
• А в плоскости ɑ через точку М можно провести только одну прямую b , которая параллельна прямой а .

Теорема

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость .

Доказательство

Рассмотрим две параллельные прямые а и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость ɑ в точке М

(1 рис.).

Из 1-й теоремы известно, что через параллельные прямые а и b можно провести только одну плоскость β .

Так как точка М находится на прямой b , то М также принадлежит плоскости β (2 рис.). Если у плоскостей ɑ и β есть общая точка М , то у этих плоскостей есть общая прямая с , которая является прямой пересечения этих плоскостей ( 4 аксиома).

Прямые а , b и с находятся в плоскости β . Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую с , то вторая прямая а тоже пересекает с .

Точку пересечения прямых а и с обозначим за К . Так как точка К находится на прямой с , то К находится в плоскости ɑ и является единственной общей точкой прямой а и плоскости ɑ . Значит, прямая а пересекает плоскость ɑ в точке K .

Параллельность прямой и плоскости

Существуют три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

• Прямая лежит в плоскости (прямая и плоскость имеют множество общих точек)
• Прямая и плоскость пересекаются (прямая и плоскость не имеют одну общую точку)
• Прямая и плоскость не имеют ни оной общей точки

✍ Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой и плоскости

1.

2.

3.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство

Доказательство проведём от противного. Пусть а не параллельна плоскости ɑ , тогда прямая а пересекает плоскость в некоторой точке А . Причём А не находится на b , так как а || b . Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые а и b - скрещивающиеся.

Доказательство 2

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации а || b , они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая а должна быть параллельна плоскости ɑ .

Теорема

Если плоскость β проходит через данную прямую а, параллельную плоскости ɑ , и пересекает эту плоскость по прямой b , то b║ a .

Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости ɑ

теорема

Если одна из двух параллельных прямых а║ b параллельна данной плоскости ɑ , то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.