Основные свойства действий с рациональными числами (методическая разработка)

Свойства действий с рациональными числами являются расширением свойств действий с целыми числами.

Перечислим основные свойства действий с рациональными числами (a, b и c – произвольные рациональные числа):

Переместительное свойство сложения a+b=b+a.

Сочетательное свойство сложения (a+b)+c=a+(b+c).

Существование нейтрального элемента по сложению – нуля, сложение которого с любым числом не изменяет это число, то есть, a+0=a.

Для каждого рационального числа a существует противоположное число −a такое, что a+(−a)=0.

Переместительное свойство умножения рациональных чисел a·b=b·a.

Сочетательное свойство умножения (a·b)·c=a·(b·c).

Существование нейтрального элемента по умножению – единицы, умножение на которую любого числа не изменяет это число, то есть, a·1=a.

Для каждого отличного от нуля рационального числа a существует обратное число a⁻¹ такое, что a·a⁻¹=1.

Наконец, сложение и умножение рациональных чисел связаны распределительным свойством умножения относительно сложения: a·(b+c)=a·b+a·c.

Перечисленные свойства действий с рациональными числами являются основными, так как все остальные свойства могут быть получены из них.

Помимо девяти перечисленных основных свойств действий с рациональными числами существует еще ряд очень широко используемых свойств. Дадим их краткий обзор.

Начнем со свойства, которое с помощью букв записывается как a·(−b)=−(a·b) или в силу переместительного свойства умножения как (−a)·b=−(a·b).

Из этого свойства напрямую следует правило умножения рациональных чисел с разными знаками, в указанной статье приведено и его доказательство. Указанное свойство объясняет правило «плюс умножить на минус есть минус, и минус умножить на плюс есть минус».

Вот следующее свойство: (−a)·(−b)=a·b. Из него следует правило умножения отрицательных рациональных чисел, в этой статье Вы найдете и доказательство приведенного равенства. Этому свойству отвечает правило умножения «минус умножить на минус есть плюс».

Несомненно, стоит остановиться на умножении произвольного рационального числа a на нуль: a·0=0 или 0·a=0. Докажем это свойство. Мы знаем, что 0=d+(−d) для любого рационального d, тогда a·0=a·(d+(−d)).

Распределительное свойство позволяет полученное выражение переписать как a·d+a·(−d), а так как a·(−d)=−(a·d), то a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Так мы пришли к сумме двух противоположных чисел, равных a·d и −(a·d), их сумма дает нуль, что и доказывает равенство a·0=0.

Легко заметить, что выше мы перечислили только свойства сложения и умножения, при этом ни слова не сказали о свойствах вычитания и деления.

Это связано с тем, что на множестве рациональных чисел действия вычитание и деление задаются как обратные к сложению и умножению соответственно.

То есть, разность a−b – это есть сумма a+(−b), а частное a:b – это есть произведение a·b⁻¹ (b≠0).

Учитывая эти определения вычитания и деления, а также основные свойства сложения и умножения, можно доказать любые свойства действий с рациональными числами.

Для примера докажем распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c. Имеет место следующая цепочка равенств a·(b−c)=a·(b+(−c))=a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, которая и является доказательством.

Основные свойства действий с рациональными числами

Свойства действий с рациональными числами являются расширением свойств действий с целыми числами.

Перечислим основные свойства действий с рациональными числами (a, b и c – произвольные рациональные числа):

• Переместительное свойство сложения a+b=b+a.

• Сочетательное свойство сложения (a+b)+c=a+(b+c).

• Существование нейтрального элемента по сложению – нуля, сложение которого с любым числом не изменяет это число, то есть, a+0=a.

• Для каждого рационального числа a существует противоположное число −a такое, что a+(−a)=0.

• Переместительное свойство умножения рациональных чисел a·b=b·a.

• Сочетательное свойство умножения (a·b)·c=a·(b·c).

• Существование нейтрального элемента по умножению – единицы, умножение на которую любого числа не изменяет это число, то есть, a·1=a.

• Для каждого отличного от нуля рационального числа a существует обратное число a⁻¹ такое, что a·a⁻¹=1.

• Наконец, сложение и умножение рациональных чисел связаны распределительным свойством умножения относительно сложения: a·(b+c)=a·b+a·c.

Перечисленные свойства действий с рациональными числами являются основными, так как все остальные свойства могут быть получены из них.

Помимо девяти перечисленных основных свойств действий с рациональными числами существует еще ряд очень широко используемых свойств. Дадим их краткий обзор.

Начнем со свойства, которое с помощью букв записывается как a·(−b)=−(a·b) или в силу переместительного свойства умножения как (−a)·b=−(a·b). Из этого свойства напрямую следует правило умножения рациональных чисел с разными знаками, в указанной статье приведено и его доказательство. Указанное свойство объясняет правило «плюс умножить на минус есть минус, и минус умножить на плюс есть минус».

Вот следующее свойство: (−a)·(−b)=a·b. Из него следует правило умножения отрицательных рациональных чисел, в этой статье Вы найдете и доказательство приведенного равенства. Этому свойству отвечает правило умножения «минус умножить на минус есть плюс».

Несомненно, стоит остановиться на умножении произвольного рационального числа a на нуль: a·0=0 или 0·a=0. Докажем это свойство. Мы знаем, что 0=d+(−d) для любого рационального d, тогда a·0=a·(d+(−d)). Распределительное свойство позволяет полученное выражение переписать как a·d+a·(−d), а так как a·(−d)=−(a·d), то a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Так мы пришли к сумме двух противоположных чисел, равных a·d и −(a·d), их сумма дает нуль, что и доказывает равенство a·0=0.

Легко заметить, что выше мы перечислили только свойства сложения и умножения, при этом ни слова не сказали о свойствах вычитания и деления. Это связано с тем, что на множестве рациональных чисел действия вычитание и деление задаются как обратные к сложению и умножению соответственно. То есть, разность a−b – это есть сумма a+(−b), а частное a:b – это есть произведение a·b⁻¹ (b≠0).

Учитывая эти определения вычитания и деления, а также основные свойства сложения и умножения, можно доказать любые свойства действий с рациональными числами.

Для примера докажем распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c. Имеет место следующая цепочка равенств a·(b−c)=a·(b+(−c))=a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, которая и является доказательством.