Меню
Разработки
Разработки  /  Алгебра  /  Презентации  /  Прочее  /  Определение производной

Определение производной

Студент должен иметь представление о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного двмжения, о скорости изменения функции.

Знать: определение производной, ее геометрический и физический смысл; алгоритм нахождения производной в общем виде.

Уметь: находить сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии; вычмслять производные, применяяя правила вычисления производных.

21.03.2019

Содержимое разработки

Определение  производной

Определение

производной

Задача о вычислении мгновенной скорости s ( t ) = 4 t² - закон движения материальной точки по прямой s - путь, пройденный за время t ( t ≥ 0)  Вычислим v ср - среднюю скорость точки за промежуток времени от t 1 = 2 до t 2 = 5 s (5) = 4 · 5² = 100; 16; 4 · 2² = s (2) = s (5) ̶ s (2) = 100 – 16 = 84; t 2 - t 1 =  5 – 2.

Задача о вычислении мгновенной скорости

s ( t ) = 4 t² - закон движения материальной точки по прямой

s - путь, пройденный за время t ( t ≥ 0)

Вычислим v ср - среднюю скорость точки за промежуток времени от t 1 = 2 до t 2 = 5

s (5) =

4 · 5² =

100;

16;

4 · 2² =

s (2) =

s (5) ̶ s (2) =

100 – 16 = 84;

t 2 - t 1 =

5 – 2.

Пусть точка движется вдоль прямой по закону S(t). Тогда за промежуток времени t точка проходит расстояние S(t). Пусть ∆t – малый промежуток времени. Путь, пройденный за время t+ ∆t, равен S(t+ ∆t ). Тогда средняя скорость   ∆ t t 0 t t+∆t
  • Пусть точка движется вдоль прямой по закону S(t).

Тогда за промежуток времени t точка проходит расстояние S(t).

Пусть ∆t – малый промежуток времени. Путь, пройденный за время t+ ∆t, равен S(t+ ∆t ).

Тогда средняя скорость

t

t 0

t

t+∆t

Задача о вычислении мгновенной скорости Вычислим v ср s ( t ) = 4 t ² за промежуток времени от t  до t + Δ t s ( t + Δ t ) = 4 ( t + Δ t )² ; s ( t ) = 4 t ²; Δ s = s ( t + Δ t ) ̶ s ( t ) – путь, пройденный точкой за промежуток времени от t  до t + Δ t (8 t + 4Δ t ) Δ t ;  Δ s = 4 ( t + Δ t )² - 4 t ² =

Задача о вычислении мгновенной скорости

Вычислим v ср

s ( t ) = 4 t ²

за промежуток времени от t до t + Δ t

s ( t + Δ t ) =

4 ( t + Δ t )² ;

s ( t ) = 4 t ²;

Δ s = s ( t + Δ t ) ̶ s ( t ) – путь, пройденный точкой за промежуток времени от t до t + Δ t

(8 t + t ) Δ t ;

Δ s = 4 ( t + Δ t )² - 4 t ² =

Общий случай: точка движется по прямой по закону s(t) = f (t) Тогда её мгновенной скоростью  v в момент времени t называют предел ( если он существует ), к которому стремится её средняя скорость на промежутке времени [ t; t + Δ t ] при  Δ t → 0 :  lim v = lim v ср = Δ t → 0 Δ t → 0 Величина  Δ t – приращение времени Величина  Δ f = f(t + Δ t) – f(t) - приращение пути  v = lim Δ t → 0 5

Общий случай:

точка движется по прямой по закону s(t) = f (t)

Тогда её мгновенной скоростью v в момент времени t называют предел ( если он существует ), к которому стремится её средняя скорость на промежутке времени [ t; t + Δ t ] при Δ t → 0 :

lim

v = lim v ср =

Δ t → 0

Δ t → 0

Величина Δ t – приращение времени

Величина Δ f = f(t + Δ t) – f(t) - приращение пути

v = lim

Δ t → 0

5

Повторение: вычисление тангенса угла наклона прямой к оси Ох у y = k x С у А 0 х В х С Очевидно – при параллельном переносе прямой, тангенс угла наклона остаётся равен угловому коэффициенту прямой 5

Повторение: вычисление тангенса угла наклона прямой к оси Ох

у

y = k x

С

у

А

0

х

В

х

С

Очевидно – при параллельном переносе прямой, тангенс угла наклона остаётся равен угловому коэффициенту прямой

5

Дадим определение касательной к графику функции касательная секущая у С ● k сек. = tg β A ● у = f(x) В α х 0 С  Касательной к графику функции  f(x) в точке  А( х; f (х) ) называется прямая, представляющая предельное положение секущей АС, (если оно существует) когда точка С стремится к точке А.   5

Дадим определение касательной к графику функции

касательная

секущая

у

С

k сек. = tg β

A

у = f(x)

В

α

х

0

С

Касательной к графику функции f(x) в точке А( х; f (х) ) называется прямая, представляющая предельное положение секущей АС, (если оно существует) когда точка С стремится к точке А.

5

Задача о вычислении тангенса угла наклона касательной к графику функции Секущая Касательная y = kx + b y = k сек.  х 0 При Δ х → 0 угловой коэффициент секущей (k сек. ) стремится к угловому коэффициенту касательной (k кас. )  k кас. = lim k сек. = lim lim tg β = tg α Секущая стремится занять положение касательной. То есть, касательная есть предельное положение секущей. Δ х → 0 Δ х → 0 Δ х → 0 Δ х → 0

Задача о вычислении тангенса угла наклона касательной к графику функции

Секущая

Касательная

y = kx + b

y

= k сек.

х

0

При Δ х → 0 угловой коэффициент секущей (k сек. ) стремится к угловому коэффициенту касательной (k кас. )

k кас. = lim k сек. = lim lim tg β = tg α

Секущая стремится занять положение касательной.

То есть, касательная есть предельное положение секущей.

Δ х → 0

Δ х → 0

Δ х → 0

Δ х → 0

Задача о вычислении мгновенной скорости Задача о вычислении тангенса угла наклона касательной к графику функции  v = lim  tg α = lim k кас. Δ t → 0 Δ х→ 0 В каждой из задач надо было найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю

Задача о вычислении мгновенной скорости

Задача о вычислении тангенса угла наклона касательной к графику функции

v = lim

tg α = lim

k кас.

Δ t → 0

Δ х→ 0

В каждой из задач надо было найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю

Историческая справка

Историческая справка

Тайны планетных орбит. Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси.  А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось.  Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.

Тайны планетных орбит.

Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси.

А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось.

Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.

В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному.  В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное.  Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.

В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному.

В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное.

Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.

Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.  Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений.  В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному.  Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.

Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.

Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений.

В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному.

Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.

Итак, идём по стопам Ньютона и Лейбница! Рассмотрим график функции вблизи точки М(1;1), изображённый в разных масштабах.

Итак, идём по стопам Ньютона и Лейбница!

Рассмотрим график функции вблизи точки М(1;1),

изображённый в разных масштабах.

Как изменилась конфигурация графика?

Как изменилась конфигурация графика?

Определите радиус окрестности точки х = 1 Как изменилась конфигурация графика?

Определите радиус окрестности точки х = 1

Как изменилась конфигурация графика?

Основные выводы 1. Чем крупнее масштаб, тем меньше график функции будет отличаться от некоторой прямой, проходящей через точку М(1;1). 2. То же самое будет происходить с графиком функции вблизи любой другой точки. 3. Этим свойством обладают и многие другие кривые: окружность, гипербола, синусоида и т. д. Такое свойство функций называют «линейность в малом»

Основные выводы

1. Чем крупнее масштаб, тем меньше график функции будет отличаться от некоторой прямой, проходящей через точку М(1;1).

2. То же самое будет происходить с графиком функции вблизи любой другой точки.

3. Этим свойством обладают и многие другие кривые: окружность, гипербола, синусоида и т. д.

Такое свойство функций называют «линейность в малом»

Очевидно, если ∆t 0, то V ср. V мгн. Значит,
  • Очевидно, если ∆t 0, то V ср. V мгн.

Значит,

х х 0 x 0  +∆x + ∆x x 0  - ∆x  Изменим x 0 на величину ∆x. ∆ x - называется приращением аргумента. x – новое значение аргумента

х

х 0

x 0 +∆x + ∆x

x 0 - ∆x

Изменим x 0 на величину ∆x.

x - называется приращением аргумента.

x – новое значение аргумента

Величина y(x) – y(x 0 ) называется приращением функции в точке x 0 и обозначается ∆y(x 0 ) .

Величина y(x) – y(x 0 ) называется приращением функции в точке x 0 и обозначается ∆y(x 0 ) .

Таким образом, чтобы вычислить приращение функции f(x) при переходе от точки x 0 к точке x = x 0 + Δx , нужно: 1. найти значение функции f(x 0 ); 2. найти значение функции f(x 0 + Δx) 3. найти разность f(x 0 + Δx) – f(x 0 )

Таким образом, чтобы вычислить приращение функции f(x) при переходе от точки x 0 к точке x = x 0 + Δx , нужно:

1. найти значение функции f(x 0 );

2. найти значение функции f(x 0 + Δx)

3. найти разность f(x 0 + Δx) – f(x 0 )

Пример нахождения производной Решение Раскрываем скобки

Пример нахождения производной

Решение

Раскрываем скобки

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 4 6 7 5 1 3 2 15 21 1 3 10 6 20 1 35 4 10 35 1 5 15 6 1 21 7 1 1   + + + + + + + +

Треугольник Паскаля

0

1

2

3

4

5

6

7

1

1

1

1

1

1

1

1

4

6

7

5

1

3

2

15

21

1

3

10

6

20

1

35

4

10

35

1

5

15

6

1

21

7

1

1

 

+

+

+

+

+

+

+

+

В математике операция нахождения предела отношения приращения функции Δ f к приращению аргумента Δ x , при условии, что приращение Δ x → 0 называется - дифференцирование функции Результат выполнения называют производной и обозначают:  f '(x)= lim Δ х → 0

В математике операция нахождения предела отношения приращения функции Δ f к приращению аргумента Δ x , при условии, что приращение Δ x → 0 называется -

дифференцирование функции

Результат выполнения называют

производной

и обозначают:

f '(x)= lim

Δ х → 0

Определение производной Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции в этой точке (∆ f ) к соответствующему приращению аргумента (∆ x ), когда приращение аргумента стремится к нулю

Определение производной

Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции в этой точке (∆ f ) к соответствующему приращению аргумента (∆ x ), когда приращение аргумента стремится к нулю

Алгоритм нахождения производной Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) . Дать аргументу х 0 приращение ∆ х , перейти в новую точку х 0 + ∆ х , найти f(x 0 + ∆ х) . Найти приращение функции:  ∆ f = f(x 0 + ∆ х) – f(x 0 ) . Составить отношение . Вычислить lim . Этот предел и есть f ′ (x 0 ) . ∆ f ∆ х ∆ f ∆ х ∆ x→0

Алгоритм нахождения производной

  • Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) .
  • Дать аргументу х 0 приращение х , перейти в новую точку х 0 + х , найти f(x 0 + х) .
  • Найти приращение функции:

f = f(x 0 + х) – f(x 0 ) .

  • Составить отношение .
  • Вычислить lim .
  • Этот предел и есть f (x 0 ) .

f

х

f

х

x→0

Чтобы найти производную функции в точке, надо: найти приращение функции в точке Х 0 ; найти отношение приращения функции к приращению аргумента; вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Чтобы найти производную функции в точке, надо:

  • найти приращение функции в точке Х 0 ;
  • найти отношение приращения функции к приращению аргумента;
  • вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Пример 1 нахождения производной Решение

Пример 1 нахождения производной

Решение

Пример 2 нахождения производной Решение

Пример 2 нахождения производной

Решение

Пример 2 нахождения производной Решение Ответ:

Пример 2 нахождения производной

Решение

Ответ:

Механический смысл производной  v мг. (t) = lim Δ t → 0  Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t 0 :   S'(t)= V мг (t)

Механический смысл производной

v мг. (t) = lim

Δ t → 0

Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t 0 :

S'(t)= V мг (t)

Геометрический смысл производной. Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y = f(x) в этой точке. 32

Геометрический смысл производной.

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y = f(x) в этой точке.

32

Н я А Е А

Н

я

А

Е

А

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» Производная Автор: Семёнова Елена Юрьевна

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»

Производная

Автор: Семёнова Елена Юрьевна

Содержание Понятие производной. Алгоритм нахождения производной. Примеры. Таблица производных. Физический смысл производной. Правила нахождения производных. Непрерывность функции. Геометрический смысл производной.

Содержание

  • Понятие производной.
  • Алгоритм нахождения производной.
  • Примеры.
  • Таблица производных.
  • Физический смысл производной.
  • Правила нахождения производных.
  • Непрерывность функции.
  • Геометрический смысл производной.
Понятие производной Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a;  b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. ∆ f f ′(x) = lim ∆ x ∆ x →0  Нахождение производной называют дифференцированием

Понятие производной

Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

f

f ′(x) = lim

x

x →0

Нахождение производной называют дифференцированием

Понятие производной у ∆ f f ′(x) = lim ∆ x ∆ x →0  f(x 0 ) у = f(x) ∆ f f(x 0 + ∆ х) ∆ х х 0 х 0 х 0 + ∆ х

Понятие производной

у

f

f ′(x) = lim

x

x →0

f(x 0 )

у = f(x)

f

f(x 0 + х)

х

х 0

х

0

х 0 + х

Примеры 1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o

Примеры

1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o

Примеры 2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o

Примеры

2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o

Примеры 3. Найти производную функции y = x 2  в точке х o

Примеры

3. Найти производную функции y = x 2 в точке х o

Примеры 4. Найти производную функции y = √x в точке х o

Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке х o

Примеры 4. Найти производную функции y = √x в точке х o

Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке х o

Примеры 5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

Примеры

5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

Примеры 5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

Примеры

5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

Таблица производных f (x) C f ′(x) 0 f (x) kx + b √ x k f ′(x) x 2 1/(2 √ x) e x 2x x n 1/x nx n–1 a x e x a x lna – 1/x 2 tg x sin x 1/cos 2 x ctg x cos x cos x – 1/sin 2 x ln x – sin x 1/x log a x 1/(x lna)

Таблица производных

f (x)

C

f ′(x)

0

f (x)

kx + b

x

k

f ′(x)

x 2

1/(2x)

e x

2x

x n

1/x

nx n–1

a x

e x

a x lna

1/x 2

tg x

sin x

1/cos 2 x

ctg x

cos x

cos x

1/sin 2 x

ln x

sin x

1/x

log a x

1/(x lna)

Физический ( механический ) смысл производной Если при прямолинейном движении путь s , пройденный точкой, есть функция от времени t , т.е. s = s(t) , то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t) . Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t .

Физический ( механический ) смысл производной

Если при прямолинейном движении путь s , пройденный точкой, есть функция от времени t , т.е. s = s(t) , то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t) .

Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t .

Правила нахождения производной 1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u + v)′ = u′ + v′ 2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем (Сu)′ = С∙u′

Правила нахождения производной

1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем

(u + v)′ = u′ + v′

2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С u(x) также имеет в этой точке производную, причем

(Сu)′ = С∙u′

Правила нахождения производной 3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x)  ∙  v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′ 4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0 , то функция   также имеет в этой точке производную, причем 1 v(x) v′ (  ) ′ 1 = – v v  2 49

Правила нахождения производной

3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) v(x) также имеет в этой точке производную, причем

(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′

4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем

1

v(x)

v′

( )

1

= –

v

v 2

49

Правила нахождения производной 5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция   также имеет в этой точке производную, причем u(x) v(x) ( ) u u′v – uv′ ′ = v v  2 50

Правила нахождения производной

5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем

u(x)

v(x)

( )

u

u′v – uv′

=

v

v 2

50

Производная сложной функции ( f ( g(x) ) ) ′ = f′ ( g(x) ) ∙g′(x) Примеры: 1. ( (5x – 3) 3 ) ′ = 3(5x – 3) 2 ∙(5x – 3) ′ = = 3(5x – 3) 2 ∙ 5 = 15(5x – 3) 2  2. ( sin(4x + 8) ) ′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8) ′ = = cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)

Производная сложной функции

( f ( g(x) ) ) = f′ ( g(x) ) ∙g′(x)

Примеры:

1. ( (5x – 3) 3 ) = 3(5x – 3) 2 ∙(5x – 3) =

= 3(5x – 3) 2 ∙ 5 = 15(5x – 3) 2

2. ( sin(4x + 8) ) = cos(4x + 8)∙(4x + 8) =

= cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)

Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х , то она непрерывна в этой точке.

Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х , то она непрерывна в этой точке.

-70%
Курсы повышения квалификации

Активизация основных видов деятельности учащихся на уроках математики в условиях реализации ФГОС в основной школе

Продолжительность 72 часа
Документ: Удостоверение о повышении квалификации
4000 руб.
1200 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Определение производной (1.05 MB)