Определение
производной
Задача о вычислении мгновенной скорости
s ( t ) = 4 t² - закон движения материальной точки по прямой
s - путь, пройденный за время t ( t ≥ 0)
Вычислим v ср - среднюю скорость точки за промежуток времени от t 1 = 2 до t 2 = 5
s (5) =
4 · 5² =
100;
16;
4 · 2² =
s (2) =
s (5) ̶ s (2) =
100 – 16 = 84;
t 2 - t 1 =
5 – 2.
- Пусть точка движется вдоль прямой по закону S(t).
Тогда за промежуток времени t точка проходит расстояние S(t).
Пусть ∆t – малый промежуток времени. Путь, пройденный за время t+ ∆t, равен S(t+ ∆t ).
Тогда средняя скорость
∆ t
t 0
t
t+∆t
Задача о вычислении мгновенной скорости
Вычислим v ср
s ( t ) = 4 t ²
за промежуток времени от t до t + Δ t
s ( t + Δ t ) =
4 ( t + Δ t )² ;
s ( t ) = 4 t ²;
Δ s = s ( t + Δ t ) ̶ s ( t ) – путь, пройденный точкой за промежуток времени от t до t + Δ t
(8 t + 4Δ t ) Δ t ;
Δ s = 4 ( t + Δ t )² - 4 t ² =
Общий случай:
точка движется по прямой по закону s(t) = f (t)
Тогда её мгновенной скоростью v в момент времени t называют предел ( если он существует ), к которому стремится её средняя скорость на промежутке времени [ t; t + Δ t ] при Δ t → 0 :
lim
v = lim v ср =
Δ t → 0
Δ t → 0
Величина Δ t – приращение времени
Величина Δ f = f(t + Δ t) – f(t) - приращение пути
v = lim
Δ t → 0
5
Повторение: вычисление тангенса угла наклона прямой к оси Ох
у
y = k x
С
у
А
0
х
В
х
С
Очевидно – при параллельном переносе прямой, тангенс угла наклона остаётся равен угловому коэффициенту прямой
5
Дадим определение касательной к графику функции
касательная
секущая
у
С
●
k сек. = tg β
A
●
у = f(x)
В
α
х
0
С
Касательной к графику функции f(x) в точке А( х; f (х) ) называется прямая, представляющая предельное положение секущей АС, (если оно существует) когда точка С стремится к точке А.
5
Задача о вычислении тангенса угла наклона касательной к графику функции
Секущая
Касательная
y = kx + b
y
= k сек.
х
0
При Δ х → 0 угловой коэффициент секущей (k сек. ) стремится к угловому коэффициенту касательной (k кас. )
k кас. = lim k сек. = lim lim tg β = tg α
Секущая стремится занять положение касательной.
То есть, касательная есть предельное положение секущей.
Δ х → 0
Δ х → 0
Δ х → 0
Δ х → 0
Задача о вычислении мгновенной скорости
Задача о вычислении тангенса угла наклона касательной к графику функции
v = lim
tg α = lim
k кас.
Δ t → 0
Δ х→ 0
В каждой из задач надо было найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю
Историческая справка
Тайны планетных орбит.
Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси.
А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось.
Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.
В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному.
В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное.
Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.
Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.
Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений.
В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному.
Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.
Итак, идём по стопам Ньютона и Лейбница!
Рассмотрим график функции вблизи точки М(1;1),
изображённый в разных масштабах.
Как изменилась конфигурация графика?
Определите радиус окрестности точки х = 1
Как изменилась конфигурация графика?
Основные выводы
1. Чем крупнее масштаб, тем меньше график функции будет отличаться от некоторой прямой, проходящей через точку М(1;1).
2. То же самое будет происходить с графиком функции вблизи любой другой точки.
3. Этим свойством обладают и многие другие кривые: окружность, гипербола, синусоида и т. д.
Такое свойство функций называют «линейность в малом»
- Очевидно, если ∆t 0, то V ср. V мгн.
Значит,
х
х 0
x 0 +∆x + ∆x
x 0 - ∆x
Изменим x 0 на величину ∆x.
∆ x - называется приращением аргумента.
x – новое значение аргумента
Величина y(x) – y(x 0 ) называется приращением функции в точке x 0 и обозначается ∆y(x 0 ) .
Таким образом, чтобы вычислить приращение функции f(x) при переходе от точки x 0 к точке x = x 0 + Δx , нужно:
1. найти значение функции f(x 0 );
2. найти значение функции f(x 0 + Δx)
3. найти разность f(x 0 + Δx) – f(x 0 )
Пример нахождения производной
Решение
Раскрываем скобки
Треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
1
4
6
7
5
1
3
2
15
21
1
3
10
6
20
1
35
4
10
35
1
5
15
6
1
21
7
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
В математике операция нахождения предела отношения приращения функции Δ f к приращению аргумента Δ x , при условии, что приращение Δ x → 0 называется -
дифференцирование функции
Результат выполнения называют
производной
и обозначают:
f '(x)= lim
Δ х → 0
Определение производной
Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции в этой точке (∆ f ) к соответствующему приращению аргумента (∆ x ), когда приращение аргумента стремится к нулю
Алгоритм нахождения производной
- Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) .
- Дать аргументу х 0 приращение ∆ х , перейти в новую точку х 0 + ∆ х , найти f(x 0 + ∆ х) .
- Найти приращение функции:
∆ f = f(x 0 + ∆ х) – f(x 0 ) .
- Составить отношение .
- Вычислить lim .
- Этот предел и есть f ′ (x 0 ) .
∆ f
∆ х
∆ f
∆ х
∆ x→0
Чтобы найти производную функции в точке, надо:
- найти приращение функции в точке Х 0 ;
- найти отношение приращения функции к приращению аргумента;
- вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Пример 1 нахождения производной
Решение
Пример 2 нахождения производной
Решение
Пример 2 нахождения производной
Решение
Ответ:
Механический смысл производной
v мг. (t) = lim
Δ t → 0
Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t 0 :
S'(t)= V мг (t)
Геометрический смысл производной.
Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
32
Н
я
А
Е
А
МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»
Производная
Автор: Семёнова Елена Юрьевна
Содержание
- Понятие производной.
- Алгоритм нахождения производной.
- Примеры.
- Таблица производных.
- Физический смысл производной.
- Правила нахождения производных.
- Непрерывность функции.
- Геометрический смысл производной.
Понятие производной
Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
∆ f
f ′(x) = lim
∆ x
∆ x →0
Нахождение производной называют дифференцированием
Понятие производной
у
∆ f
f ′(x) = lim
∆ x
∆ x →0
f(x 0 )
у = f(x)
∆ f
f(x 0 + ∆ х)
∆ х
х 0
х
0
х 0 + ∆ х
Примеры
1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o
Примеры
2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o
Примеры
3. Найти производную функции y = x 2 в точке х o
Примеры
4. Найти производную функции y = √x в точке х o
Примеры
4. Найти производную функции y = √x в точке х o
Примеры
5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o
Примеры
5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o
Таблица производных
f (x)
C
f ′(x)
0
f (x)
kx + b
√ x
k
f ′(x)
x 2
1/(2 √ x)
e x
2x
x n
1/x
nx n–1
a x
e x
a x lna
– 1/x 2
tg x
sin x
1/cos 2 x
ctg x
cos x
cos x
– 1/sin 2 x
ln x
– sin x
1/x
log a x
1/(x lna)
Физический ( механический ) смысл производной
Если при прямолинейном движении путь s , пройденный точкой, есть функция от времени t , т.е. s = s(t) , то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t) .
Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t .
Правила нахождения производной
1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем
(u + v)′ = u′ + v′
2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем
(Сu)′ = С∙u′
Правила нахождения производной
3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем
(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′
4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем
1
v(x)
v′
( )
′
1
= –
v
v 2
49
Правила нахождения производной
5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем
u(x)
v(x)
( )
u
u′v – uv′
′
=
v
v 2
50
Производная сложной функции
( f ( g(x) ) ) ′ = f′ ( g(x) ) ∙g′(x)
Примеры:
1. ( (5x – 3) 3 ) ′ = 3(5x – 3) 2 ∙(5x – 3) ′ =
= 3(5x – 3) 2 ∙ 5 = 15(5x – 3) 2
2. ( sin(4x + 8) ) ′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8) ′ =
= cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)
Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х , то она непрерывна в этой точке.