Определение производной

Определение

производной

Задача о вычислении мгновенной скорости

s ( t ) = 4 t² - закон движения материальной точки по прямой

s - путь, пройденный за время t ( t ≥ 0)

Вычислим v ср - среднюю скорость точки за промежуток времени от t 1 = 2 до t 2 = 5

s (5) =

4 · 5² =

100;

16;

4 · 2² =

s (2) =

s (5) ̶ s (2) =

100 – 16 = 84;

t 2 - t 1 =

5 – 2.

• Пусть точка движется вдоль прямой по закону S(t).

Тогда за промежуток времени t точка проходит расстояние S(t).

Пусть ∆t – малый промежуток времени. Путь, пройденный за время t+ ∆t, равен S(t+ ∆t ).

Тогда средняя скорость

∆ t

t 0

t

t+∆t

Задача о вычислении мгновенной скорости

Вычислим v ср

s ( t ) = 4 t ²

за промежуток времени от t до t + Δ t

s ( t + Δ t ) =

4 ( t + Δ t )² ;

s ( t ) = 4 t ²;

Δ s = s ( t + Δ t ) ̶ s ( t ) – путь, пройденный точкой за промежуток времени от t до t + Δ t

(8 t + 4Δ t ) Δ t ;

Δ s = 4 ( t + Δ t )² - 4 t ² =

Общий случай:

точка движется по прямой по закону s(t) = f (t)

Тогда её мгновенной скоростью v в момент времени t называют предел ( если он существует ), к которому стремится её средняя скорость на промежутке времени [ t; t + Δ t ] при Δ t → 0 :

lim

v = lim v ср =

Δ t → 0

Δ t → 0

Величина Δ t – приращение времени

Величина Δ f = f(t + Δ t) – f(t) - приращение пути

v = lim

Δ t → 0

5

Повторение: вычисление тангенса угла наклона прямой к оси Ох

у

y = k x

С

у

А

0

х

В

х

С

Очевидно – при параллельном переносе прямой, тангенс угла наклона остаётся равен угловому коэффициенту прямой

5

Дадим определение касательной к графику функции

касательная

секущая

у

С

●

k сек. = tg β

A

●

у = f(x)

В

α

х

0

С

Касательной к графику функции f(x) в точке А( х; f (х) ) называется прямая, представляющая предельное положение секущей АС, (если оно существует) когда точка С стремится к точке А.

5

Задача о вычислении тангенса угла наклона касательной к графику функции

Секущая

Касательная

y = kx + b

y

= k сек.

х

0

При Δ х → 0 угловой коэффициент секущей (k сек. ) стремится к угловому коэффициенту касательной (k кас. )

k кас. = lim k сек. = lim lim tg β = tg α

Секущая стремится занять положение касательной.

То есть, касательная есть предельное положение секущей.

Δ х → 0

Δ х → 0

Δ х → 0

Δ х → 0

Задача о вычислении мгновенной скорости

Задача о вычислении тангенса угла наклона касательной к графику функции

v = lim

tg α = lim

k кас.

Δ t → 0

Δ х→ 0

В каждой из задач надо было найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю

Историческая справка

Тайны планетных орбит.

Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси.

А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось.

Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.

В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному.

В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное.

Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.

Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.

Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений.

В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному.

Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.

Итак, идём по стопам Ньютона и Лейбница!

Рассмотрим график функции вблизи точки М(1;1),

изображённый в разных масштабах.

Как изменилась конфигурация графика?

Определите радиус окрестности точки х = 1

Как изменилась конфигурация графика?

Основные выводы

1. Чем крупнее масштаб, тем меньше график функции будет отличаться от некоторой прямой, проходящей через точку М(1;1).

2. То же самое будет происходить с графиком функции вблизи любой другой точки.

3. Этим свойством обладают и многие другие кривые: окружность, гипербола, синусоида и т. д.

Такое свойство функций называют «линейность в малом»

• Очевидно, если ∆t 0, то V ср. V мгн.

Значит,

х

х 0

x 0 +∆x + ∆x

x 0 - ∆x

Изменим x 0 на величину ∆x.

∆ x - называется приращением аргумента.

x – новое значение аргумента

Величина y(x) – y(x 0 ) называется приращением функции в точке x 0 и обозначается ∆y(x 0 ) .

Таким образом, чтобы вычислить приращение функции f(x) при переходе от точки x 0 к точке x = x 0 + Δx , нужно:

1. найти значение функции f(x 0 );

2. найти значение функции f(x 0 + Δx)

3. найти разность f(x 0 + Δx) – f(x 0 )

Пример нахождения производной

Решение

Раскрываем скобки

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля

0

1

2

3

4

5

6

7

1

1

1

1

1

1

1

1

4

6

7

5

1

3

2

15

21

1

3

10

6

20

1

35

4

10

35

1

5

15

6

1

21

7

1

1

+

+

+

+

+

+

+

+

В математике операция нахождения предела отношения приращения функции Δ f к приращению аргумента Δ x , при условии, что приращение Δ x → 0 называется -

дифференцирование функции

Результат выполнения называют

производной

и обозначают:

f '(x)= lim

Δ х → 0

Определение производной

Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции в этой точке (∆ f ) к соответствующему приращению аргумента (∆ x ), когда приращение аргумента стремится к нулю

Алгоритм нахождения производной

• Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) .
• Дать аргументу х 0 приращение ∆ х , перейти в новую точку х 0 + ∆ х , найти f(x 0 + ∆ х) .
• Найти приращение функции:

∆ f = f(x 0 + ∆ х) – f(x 0 ) .

• Составить отношение .

• Вычислить lim .
• Этот предел и есть f ′ (x 0 ) .

∆ f

∆ х

∆ f

∆ х

∆ x→0

Чтобы найти производную функции в точке, надо:

• найти приращение функции в точке Х 0 ;
• найти отношение приращения функции к приращению аргумента;
• вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 1 нахождения производной

Решение

Пример 2 нахождения производной

Решение

Пример 2 нахождения производной

Решение

Ответ:

Механический смысл производной

v мг. (t) = lim

Δ t → 0

Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t 0 :

S'(t)= V мг (t)

Геометрический смысл производной.

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y = f(x) в этой точке.

32

Н

я

А

Е

А

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»

Производная

Автор: Семёнова Елена Юрьевна

Содержание

• Понятие производной.
• Алгоритм нахождения производной.
• Примеры.
• Таблица производных.
• Физический смысл производной.
• Правила нахождения производных.
• Непрерывность функции.
• Геометрический смысл производной.

Понятие производной

Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

∆ f

f ′(x) = lim

∆ x

∆ x →0

Нахождение производной называют дифференцированием

Понятие производной

у

∆ f

f ′(x) = lim

∆ x

∆ x →0

f(x 0 )

у = f(x)

∆ f

f(x 0 + ∆ х)

∆ х

х 0

х

0

х 0 + ∆ х

Примеры

1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o

Примеры

2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o

Примеры

3. Найти производную функции y = x 2 в точке х o

Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке х o

Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке х o

Примеры

5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

Примеры

5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

Таблица производных

f (x)

C

f ′(x)

0

f (x)

kx + b

√ x

k

f ′(x)

x 2

1/(2 √ x)

e x

2x

x n

1/x

nx n–1

a x

e x

a x lna

– 1/x 2

tg x

sin x

1/cos 2 x

ctg x

cos x

cos x

– 1/sin 2 x

ln x

– sin x

1/x

log a x

1/(x lna)

Физический ( механический ) смысл производной

Если при прямолинейном движении путь s , пройденный точкой, есть функция от времени t , т.е. s = s(t) , то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t) .

Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t .

Правила нахождения производной

1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем

(u + v)′ = u′ + v′

2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем

(Сu)′ = С∙u′

Правила нахождения производной

3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем

(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′

4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем

1

v(x)

v′

( )

′

1

= –

v

v 2

49

Правила нахождения производной

5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем

u(x)

v(x)

( )

u

u′v – uv′

′

=

v

v 2

50

Производная сложной функции

( f ( g(x) ) ) ′ = f′ ( g(x) ) ∙g′(x)

Примеры:

1. ( (5x – 3) 3 ) ′ = 3(5x – 3) 2 ∙(5x – 3) ′ =

= 3(5x – 3) 2 ∙ 5 = 15(5x – 3) 2

2. ( sin(4x + 8) ) ′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8) ′ =

= cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)

Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х , то она непрерывна в этой точке.