Опорные конспекты по геометрии

Опорные конспекты по геометрии в 7-9 классах

(I погружение)

Автор: Ланцов Д.И.

учитель математики

Цель работы: дать в руки учеников учебное средство в виде опорных конспектов.

Задачи:

• составить опорные конспекты по геометрии в 7-9 классах;
• многократно применять их на уроках.

Практическая ценность:

Опорный конспект позволяет ученику:

• глубже разобраться в изучаемом материале;

• легче запомнить изучаемый материал;

• используя опорный конспект при ответе, грамотно и точно изложить материал;

- приводить в систему полученные знания

Опорный конспект помогает учителю:

• наглядно представить весь изучаемый материал ученикам класса;

• многократно повторять изучаемый материал;

• сконцентрировать внимание на отдельных местах изучаемого материала;

- быстро, без больших временных затрат, проверить, как ученик понял и запомнил изученный материал.

Окружающий нас мир – это мир геометрии

Начальные понятия

и теоремы геометрии

(1-й день)

« Геометрия » означает « землемерие »

(«гео» - по-гречески земля, а «метрео» - мерить).

Геометрия

планиметрия стереометрия

(«планум» в переводе («стереос» в переводе

с латинского означает с греческого -

«плоскость») «пространственный»)

Простейшие фигуры

. .

Плоскость

К

F

Отрезок FК

.

Точка А

А

Окружность

. .

С

В

а

Прямая ВС

А

Угол АВС

. .

С

D

b

Луч DС

В

С

Равные фигуры

.

.

15 м

15 м

.

плоскость плоскость

.

прямая прямая

луч луч

=

=

=

=

=

.

.

30°

=

30°

Измерения и вычисления

Масштабная линейка; циркуль; транспортир

. .

А

В

АВ - расстояние между точками А и В

В

А

АВ – длина отрезка АВ

градусная мера угла

40°

. . .

А

В

С

С – середина отрезка АВ

В

О

А

ОА – биссектриса ВОС

С

Углы

Острый угол

Прямой угол

Тупой угол

Развернутый угол

.

180°

90°

1

2

3

1 и 3 -вертикальные

1 и 2 - смежные

Помни! Вертикальные углы равны.

Помни! Сумма смежных углов равна 180°.

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

1

2

3

1 и 2 - смежные

1 и 3 -вертикальные

1 + 2 = 180° Т. 2.

Т. 1.

1 = 3

1 и 2 - смежные

1 и 3 -вертикальные

доказательство

Условие:

1 и 2 – развернутый угол

1 и 2 – смежные,

3 и 2 - смежные

Т. 1.

Развернутый угол равен 180°

1 + 2 = 180°,

Заключение:

1 + 2 = 180°

3 + 2 = 180°

туп.

Следствие: либо

пр.

либо

ост.

ост.

пр.

туп.

пр.

пр.

Параллельность прямых

а b, если а и b лежат в одной плоскости и не имеют общих точек

Аксиома параллельных:

b

b а и с а – не может быть

с

а

Признаки параллельности прямых

с

а

1. (а _ с и b с) (а b)

b

а

b

3

2

4

2. ( 1 = 7 или 1 + 6 = 180˚) (а b)

1

7

8

6

5

3. (а с и b с) (а b)

Свойство углов при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой

(а b) ( 1 = 7 и 1 + 6 = 180˚)

Треугольник

(2-й день)

Треугольник АВС ( Δ АВС )

В

Р = АВ + ВС + СD

А + В + С = 180˚

2

АВ ‹ АС + СВ

4

4 = 1 + 2

3

1

А

С

К

Треугольник

1. Есть ли прямой угол?

да

нет

Прямоугольный

Непрямоугольный

(косоугольный)

2. Есть ли тупой угол?

да

нет

Остроугольный

Тупоугольный

Главнейшие линии в треугольнике

В

H

АD – биссектриса

ВМ – медиана

СH - высота

D

А

С

М

три биссектрисы

Помни! Любой треугольник имеет

, которые

три медианы

пересекаются в одной точке.

Помни! Любой треугольник имеет три высоты, причем эти высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

В

MN – средняя линия треугольника:

MN АС, MN = ½ АС

N

M

С

А

Равнобедренные треугольники

- равнобедренный

Теорема

Обратная теорема

Теорема

- равносторонний треугольник

Помни! Каждый угол равностороннего треугольника равен 60˚!

Прямоугольный треугольник

А

АВ - гипотенуза

АС, ВС - катеты

В

С

Помни! Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚. А + В = 90˚

Помни! Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30˚, равен половине гипотенузы ( А = 30˚ ВС = ½ АВ).

Признаки равенства треугольн иков

С У С

=

I признак:

II признак:

III признак:

У С У

=

С С С

=

Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1

Первый признак равенства треугольников

Т. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В Дано: Δ АВС и Δ А 1 В 1 С 1 , АВ = А 1 В 1 ,

А С В 1 АС = А 1 С 1 , А = А 1

А 1 С 1 Д-ть: Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1

Д-во: так как А = А 1 , то Δ АВС можно наложить на Δ А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1 , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и А 1 С 1 . Поскольку АВ = А 1 В 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1 , а сторона АС – со стороной А 1 С 1 ; в частности, совместятся точки В и В 1 , С и С 1 . Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит они равны. Теорема доказана.

Решение треугольников

(3-й день)

Теорема Фалеса

b

d

а = b c = d

а

с

Деление отрезка на равные части

А

В

Построение четвертого пропорционального

а

с

b

а : b = с : x

x

Подобные треугольники

В

А = А , В = В , С = С ,

АВ ВС АС

А 1 В 1 В 1 С 1 А 1 С 1

А

С

= k

=

=

В 1

С 1

А 1

Δ АВС ~ Δ А 1 В 1 С 1

k – коэффициент подобия

Р

Р 1

= k

Признаки подобия треугольников

В

В 1

С 1

А 1

С

А

А = А 1 А = А 1 АВ АС ВС

В = В 1 АВ АС А 1 В 1 А 1 С 1 В 1 С 1

А 1 В 1 А 1 С 1

=

=

=

Δ АВС ~ Δ А 1 В 1 С 1

Теорема Пифагора

c

а

а 2 + b 2 = с 2

b

с = √а 2 + b 2 а = √с 2 – b 2

2а

а√2

а

а

30˚

45˚

а

а√3

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. = 2. =

3. = 4. =

Решение прямоугольных треугольников

А

Дано Нахождение неизвестных элементов

α

b, а

АВ =

b

с

β

с, b

ВС =

=

а

В

С

с, ∠А = α

∠ В = 90˚ - α

ВС = с ·

АС = с ·

ВС =

b, ∠А = α

∠ В = 90˚ - α

АВ =

∠ А = 90˚ - β

ВС =

b, ∠В = β

АВ =

Теорема косинусов. Теорема синусов

а 2 = b 2 + с 2 – 2bс · cos α

b 2 = а 2 + с 2 – 2ас · cosβ

c 2 = а 2 + b 2 – 2аb · cosγ

α

с

а b с

sin α sinβ sinγ

b

=

=

β

γ

а

Решение треугольников

Дано

• α
• b
• с

Находим

• γ
• b
• с

• с
• α
• β

• γ
• α
• β

α

b

с

b

β

γ

γ

β

а

а

а

а

Задачи на построение

(4-й день)

Построения циркулем и линейкой

1)

4)

=

А

а

.

А

2)

5)

а

А

С

В

3)

6)

b

а

с