Общая схема исследования функции

Общая схема исследования функции.

Дана функция 𝒚=𝒇(𝒙).

Функция исследуется по следующему плану:

1. Найти область определения функции .

2. Проверить, является ли функция четной или нечетной; является ли она периодической (для тригонометрических функций).

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

1. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

1. Монотонность.

1. Находим первую производную данной функции .

2. Приравниваем полученную производную к нулю и находим критические точки.

3. Наносим полученные точки на числовую прямую и определяем знак производной на каждом интервале, пусть, например,

Если , то функция возрастает на данном промежутке.

Если , функция, убывает на данном промежутке.

Промежутки возрастания и убывания указаны стрелками.

1. Экстремумы.

Если при переходе через критическую точку производная изменила знак с + на -, то точка М(х, f(x)) – точка максимума.

Если при переходе через критическую точку производная изменила знак с - на +, то точка М(х, f(x)) – точка минимума

Найдем значения функции в точках и – (см. рис.)

– точка максимума,

– точка минимума.

1. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба графика функции.

1. Выпуклость – вогнутость

1. Находим вторую производную данной функции .

2. Приравниваем полученную производную к нулю и находим критические точки.

3. Наносим полученные точки на числовую прямую и определяем знак второй производной на каждом интервале, пусть, например,

+

+

-

Х₄

Если , то график функции выпуклый вниз (вогнутый).

Если , то график функции выпуклый вверх (выпуклый).

Направление выпуклостей на каждом интервале показаны на чертеже.

1. Точки перегиба.

Если вторая производная изменила знак при переходе через критическую точку, то точка M(x;f(x)) - точка перегиба.

Найдем значения функции в точках и – (см. рис.)

– точка перегиба,

– точка перегиба.

Если вторая производная не изменила знак при переходе через критические точки, то точек перегиба - нет

1. Рассмотреть дополнительные точки.

1. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.