Неравенства в финансовой математике

Цели:

Обучающие.

  Итоговое повторение темы. Применение замечательных неравенств в теоретических и прикладных исследованиях. Умение применять неравенство Бернулли в математических моделях простейших финансовых процессов.

Развивающие.

   Формирование навыков исследования и анализа получаемой информации с целью обеспечения мотивации значимости изучаемой темы.

Воспитательные.

  Воспитание дисциплины, терпения, внимания при решении сложных задач темы, уважения к учителю, одноклассникам.

Ход урока:

1. Предварительная подготовка. Предлагается повторить учащимся неравенство Бернулли. Для любого х > -1 и любого натурального числа n

(1 + х)ⁿ ≥1 + nх.

 Задача 1 . Доказать, что при х > 0 выполняется неравенство

Так как при возведении в куб обеих частей неравенства получается равносильное неравенство то мы должны доказать при х > 0 неравенство         

(1+ x/3)³>1+х,                                            

а это неравенство мгновенно вытекает из неравенства Бернулли.

2. Изучение нового.

а) Вводная часть.

В большинстве разделов современной математики неравенство играет фундаментальную роль. Не обойтись без них ни физики, ни астрономии, ни химии. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения и в приложениях постоянно используют неравенства. Вот только конкретные примеры, подтверждающие это, не слишком просты. Слишком бывает сильна охрана в виде частокола многочисленных терминов у значительного серьезных научных результатов, так что пробраться к сути утверждения или рассуждения бывает затруднительно и все таки имеются предметы и задачи прикладного характера, когда можно увидеть применение неравенств.

б) Разбор вспомогательных понятий (формулы простых и сложных процентов)

Задача 2. (Вспомогательная.) При краткосрочных вкла­дах до востребования вклад S (например, рублей) увеличивается по следующему правилу: он растет ежедневно на р процентов от первоначальной суммы S (независимо от срока хранения). Найдите величину вклада спустя n дней его хранения в банке.

Решение. - смотри документ

Задача3. (Вспомогательная.) Пусть увеличение так на­зываемого срочного вклада S производится на р процентов через t месяцев хранения. Определите величину вклада S_n спустя nt (n - натуральное) месяцев хранения в банке, если договор продлевался (пролонгировался) после каждого из t, 2t, 3t, ... , (n - 1) t месяцев хранения.

Решение - смотри документ

Задача 4 - смотри документ.

Задача 5. Докажите, что второй вариант годового догово­ра из предыдущей задачи тем выгоднее вкладчику чем больше n

Решение - смотри документ

Решение задач на повторение.

Найти наименьшее значение функции:

f(x)=x+c/x, xпринадлежит промежутку от нуля до плюс бесконечность); с – произвольное фиксированное положительное число.

Итог урока.

Задание на дом.