Нахождение производных функций

Методическая разработка урока

Тема урока: Нахождение производных функций.

2019 г.

Содержание:

Введение

Математика как учебный предмет играет весьма важную роль в воспитании учеников. С помощью математики учащиеся учатся познавать окружающий мир, решать жизненно важные проблемы. Среди множества задач математического образования основной задачей является развитие мыслительной деятельности и формирование познавательного интереса учеников. Познавательный интерес – это одно из личностных качеств обучающегося, черта его характера, которая проявляется в любознательности, упорстве и активности. Это особенно важно в подростковом возрасте, когда еще формируются интересы и склонности к тому или иному предмету. Именно в этот период нужно попытаться раскрыть притягательные стороны математики. Большая роль в процессе обучения отводится игровым урокам.

Математика не такая уж и «сухая» наука, как ее многие представляют. Желание ученика знать и учить учебный материал зависит от «настроения» урока. Насколько «интересные» и «каверзные» задачи на нем решены, разобраны, предложены. Данные упражнения помогут в подготовке к сдаче экзамена в формате ЕГЭ. Одной из главной задачей урока является расширение кругозора учащихся.

Данный урок разработан для учеников 11 класс. Материал, изложенный в нём один из самых сложных для усвоения. Именно поэтому, мне хотелось сделать его более доступным.

Конспект урока по математике по теме:

Нахождение производных функций.

Цели:

образовательная:

- формирование умения находить по правилу производную сложной функции;

- отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении примеров.

развивающая:

- развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

- развивать наглядно-действенное творческое воображение;

- развивать познавательный интерес.

воспитательная:

- воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

- формирование умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.

- воспитание дружеского отношения между учениками при проведении урока.

Ученик должен знать:

понятие сложной функции, правило нахождения ее производной, правило нахождения производной произведения и частного, четность и нечетность тригонометрических функций, значения тригонометрических функций острого угла.

Ученик должен уметь:

находить по правилу производную сложной функции, использовать это правило при решении примеров.

Оборудование:

раздаточный материал (карточки), плакат «Значение тригонометрических функций острых углов», памятка «Формулы дифференцирования, карточка «Задания для контрольной точки» по вариантам.

План урока:

1. Организационный момент

2. Проверка выполнения домашнего задания – 5 мин (фронтальная проверка, самоконтроль).

3. Подготовка к усвоению учебного материала через повторение и актуализацию опорных знаний – 5 мин (устный опрос).

4. Решение примеров по заданным карточкам из раздаточного материала (50 мин)

5. Самостоятельная работа (Тестовые задания) - 20 мин.

6. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении – 2 мин.

7. Подведение итогов урока, рефлексия – 5 мин.

Ход урока: 

1. Организационный момент.

(В начале занятия каждый ученик получает раздаточный материал, согласно содержания которого осуществляется дальнейшая работа)

(Приветствие, сообщение темы и задач урока. Проверить подготовленность аудитории и готовность учеников к уроку, отметить отсутствующих)

Здравствуйте, садитесь.

Одним из важнейших разделов математического анализа является "Дифференциальное исчисление", он был создан на рубеже 17-18 веков двумя выдающимися учёными Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном.

Изучая тему "Производная функции", ученики часто задают вопрос: "А зачем нам это надо, где мы встречаемся с производной и используем её?".

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной это

На прошлых уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные линейной, степенной, тригонометрических функций, а также сложной функции.

2. Проверка домашнего задания.

На дом заданы примеры на нахождение производной функции:

1) ;

2) ;

3) ;

3. Подготовка к усвоению учебного материала через повторение и актуализацию опорных знаний

Начнём урок с теоретических вопросов.

1. Как называется действие нахождения производной функции?

2. Дать определение производной функции.

3. Какие правила дифференцирования используются при вычислении производной? (К доске приглашаются желающие учащиеся).

• производная суммы;

• производная произведения;

• производная, содержащая постоянный множитель;

• производная частного;

• производная сложной функции;

4. Найти производные следующих функций:

а) y=x⁵+9x²⁰+1;   

 б) y=x⁷-4x¹⁶-3;

в) y=x²-15x+6;

4. Решение примеров по заданным карточкам из раздаточного материала

На протяжении последних уроков мы изучали тему «Производная функции», которая занимает в математике особое место. Причиной тому – необъятное ее применение не только в математике, но и физике, и других науках. Сегодня на уроке мы рассмотрим задания, предлагаемые на экзамене по алгебре и началам анализа на ЕГЭ по данной теме – как базового уровня, так и повышенного.

Итак, наш урок – это обзор полученных знаний и применение их на практике при выполнении предложенных заданий. Но сегодня у нас не совсем обычные задания. У каждого на парте у вас имеется раздаточный материал. Нам нужно не только решить примеры, но и ответить на вопрос, а именно: узнать имя и фамилию крупного французского математика, доказавшего многие теоремы о пределах, которыми мы пользуемся при вычислении производных. Формулы дифференцирования представлены в приложении 1 у каждого на парте.

( Ученики решают самостоятельно в тетради и у доски примеры).

Ответ на поставленный вопрос: Огюстен Луи Коши.

Краткая биография Огюстен Луи Коши (рассказ преподавателя).

Краткая биография Огюстен Луи Коши.

Родился 21 августа 1789 в Париже. Первым учителем мальчика был его отец, который занимался со своими сыновьями историей и древними языками, заставляя их читать античных авторов в подлиннике. В 1802 Коши поступил в Центральную школу в Париже, где изучал главным образом древние языки. В 1805 сдал вступительный экзамен в Центральную школу общественных наук Пантеона (переименованную впоследствии в Политехническую школу). Профессорами были лучшие ученые того времени; многие выпускники школы рано начали карьеру и стали знаменитыми учеными (например, Пуансо, Био, Араго). Окончив школу, Коши поступил в Институт путей сообщения, затем работал в Шербуре инженером на строительстве порта.

С 1813 Коши начал публиковать работы по математике. В 1816 был назначен членом Парижской Академии наук вместо Г.Монжа, уволенного по политическим причинам. В том же году мемуар Коши по теории волн на поверхности тяжелой жидкости получил первую премию на конкурсе по математике, и его автор был приглашен в качестве преподавателя сразу в три учебных заведения – Политехническую школу, Сорбонну и Коллеж де Франс. После революции 1830 Коши, верный королю Карлу X, уехал за границу, давал уроки математики, физики и химии внуку короля – герцогу Бордоскому. Во Францию Коши вернулся лишь в 1838, когда ему предложили занять кафедру в Политехнической школе, не требуя присягать на верность новому королю – Филиппу Орлеанскому. С тех пор ученый жил в Париже, занимаясь математикой.

Научные работы Коши посвящены арифметике, теории чисел, алгебре, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, механике, математической физике и т.д. Всего Коши написал свыше 800 работ, полное собрание его сочинений содержит 27 томов.

Коши впервые дал четкое определение основным понятиям математического анализа – пределу, непрерывности функции, сходимости ряда и т.д. Он установил точные условия сходимости ряда Тейлора к данной функции и провел различие между сходимостью этого ряда вообще и его сходимостью к данной функции. Ввел понятие радиуса сходимости степенного ряда, дал определение интеграла как предела сумм, доказал существование интегралов от непрерывных функций. Нашел выражение аналитической функции в виде интеграла по контуру (интеграл Коши) и вывел из этого представления разложение функции в степенной ряд. Таким образом, он развил теорию функций комплексного переменного: используя интеграл по контуру, нашел разложение функции в степенной ряд, определил радиус сходимости этого ряда, разработал теорию вычетов, а также ее приложения к различным вопросам анализа и т.д. В теории дифференциальных уравнений Коши впервые поставил общую задачу о нахождении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (называемую с тех пор задачей Коши), дал способ интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Коши занимался также геометрией (теорией многогранников, поверхностями 2-го порядка), алгеброй (симметрическими многочленами, свойствами определителей), теорией чисел (теоремой Ферма о многоугольных числах, законом взаимности). Ему принадлежат исследования по тригонометрии, механике, теории упругости, оптике, астрономии. Коши был членом Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и ряда других академий Европы.

Умер Коши в Со (Франция) 23 мая 1857.

5. Самостоятельная работа

Контрольная точка № 2 проводиться в виде контрольных заданий по вариантам. Задания для самостоятельной работы представлены в приложении 2 .

1. Домашнее задание (на доске)

Найти производные следующих функций:

7. Подведение итогов урока

Итак, сегодня на уроке мы с вами повторили и закрепили нахождение производных сложных функций, познакомились с автобиографией крупного французского математика Огюстен Луи Коши.

Приложение 1.

2. Решив эти примеры, вы узнаете имя и фамилию крупного французского математика, доказавшего многие теоремы о пределах, которыми мы пользуемся при вычислении производных.

Приложение 2

Задания для самостоятельной работы для учеников 11 класса по теме: «Нахождение производных сложных функций»

Вариант 1

Задание: найти производные следующих функций:

1)

2) ;

3) .

4)

5)

Задания для самостоятельной работы для учеников 11 класса по теме: «Нахождение производных сложных функций»

Вариант 2

Задание: найти производные следующих функций:

1)

2)

3) ;

4)

5) ;

Заключение

Данная методическая разработка составлена для работы в средних специальных учебных заведениях в соответствии с требованиями Госстандарта.

Задача учителя – научить учеников не только понимать, но и мыслить. Для этого надо развивать его способности. Чтобы стимулировать творческую деятельность учеников, я считаю, нужно излагать учебный материал особым способом, решать различные типы задач.

Основными направлениями своей педагогической деятельности я считаю нестандартные методики по усвоению материала, индивидуальный комплексный подход в работе с наиболее успевающими и отстающими учениками, игровые формы в обсуждении учебного материала. Например, решая именно данную задачу, ученики знакомятся с некоторыми историческими сведениями из жизни математиков, так как современные дети ждут новых форм знакомства с материалом, где могла бы проявиться их самостоятельность и деятельностный характер мышления.

Список использованных источников

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс

2. А. Н. Колмогоров Алгебра и начала анализа 10-11 класс

3. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа 10-11 класс

17