Презентация по математике по теме "Производная функции"

Определение производной

Геометрический смысл производной

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью

Производные основных элементарных функций

Правила дифференцирования

Производная сложной функции

Производная неявно заданной функции

Логарифмическое дифференцирование

Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).

Аргументу x придадим некоторое приращение

Найдем соответствующее приращение функции:

Итак, по определению:

Функция y = f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов:

Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Полную информацию смотрите в файле. 

Производная функции

Определение производной

Геометрический смысл производной

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью

Производные основных элементарных функций

Правила дифференцирования

Производная сложной функции

Производная неявно заданной функции

Логарифмическое дифференцирование

Определение производной

• Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b) .
• Аргументу x придадим некоторое приращение

• :Найдем соответствующее приращение функции:

Определение производной

• Итак, по определению:

• Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b) , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
• Значение производно функции y = f(x) в точке x 0 обозначается одним из символов:

• Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

• Теорема
• Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней.
• Доказательство:
• Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х , следовательно существует предел

• Где при

Производные основных элементарных функций

• По формуле бинома Ньютона имеем

• Тогда

Производная сложной функции

• Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
• ТЕОРЕМА
• Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u , то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать.

• Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.