Наибольшее и наименьшее значение функции

ТЕМА. Нахождение

наибольшего

и наименьшего

значений

непрерывной

функции

на промежутке

Теорема

Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на отрезке [a;b] функция у= f(x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка [a;b] или в одной из точек экстремума на интервале (а;b ).

y = f ( x ) непрерывна [а, b ].

у наиб.

y = f ( x )

a

b

y наим.

На данном рисунке мы видим, что наибольшее значение в точке максимум , а

наименьшее в точке минимум .

На этих рисунках наибольшее и наименьшее значение функция достигает ни только в экстремумах, но и в концах отрезка [ а; b]

Вывод. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

у наиб.

у наиб.

y = f ( x )

y = f ( x )

y наим.

y наим.

a

b

a

b

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается

внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Стационарные точки — точки максимума или минимума.

Критические точки — это точки, в которых производная не существует.

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции

у = f ( x ) на отрезке [a, b] :

1) найти производную f '( x ) ;

2) найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [ а , b];

3 ) вычислить значения функции y = f ( x ) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и b ; выбрать среди этих значений наименьшее (это и будет у наим . ) и наибольшее (это и будет у наиб . ) .

Запишите алгоритм в тетрадь и в блокнот. Это задание №12 из ЕГЭ.

Теперь рассмотрим примеры.

3х² - 6х - 45 = 0 |:3 х² - 2х - 15 = 0 (решим уравнение и найдём его корни.) х 1 = -3 ϵ [-4;6] и х 2 = 5 ϵ [-4;6] " width="640"

Например: найти наименьшее и наибольшее значения функции у= х ³ - 3х² - 45х + 1 на отрезке [-4;6]

Решение.

1) у ΄ = 3х² - 6х - 45

2) у ΄ = 0 = 3х² - 6х - 45 = 0 |:3

х² - 2х - 15 = 0 (решим уравнение и найдём

его корни.)

х 1 = -3 ϵ [-4;6] и х 2 = 5 ϵ [-4;6]

3) Найдём значения функции в стационарных точках и на концах отрезка [-4;6] . (подставляем эти значения в функцию).

у(-4) = (-4) ³ - 3 (-4) ² - 45(-4) + 1 = 69

у(6) = (6) ³ - 3 (6) ² - 45(6) + 1= -161

у(-3) = (-3) ³ - 3 (-3) ² - 45(-3) + 1 = 82 – наибольшее.

у(5) = (5) ³ - 3 (5) ² - 45(5) + 1 = - 174 – наименьшее.

Ответ: У наим = -174; У наиб = 82.

Самостоятельно найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке.