Презентация к уроку алгебры на тему "Свойства и график функции y=sinx"

Свойства функций.

- Область определения функции.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёздв астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников.

Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах. Синус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн.

Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел (следовательно, и в криптологии), в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Свойства функций

• Область определения функции

• Область значений функции

• Периодичность

• Четность, нечетность

• Наибольшее (наименьшее) значение функции

• Нули функции

• Промежутки знакопостоянства

• Промежутки монотонности

Область определения Область значения функции

у

1

D (у)=(- ; + )

х

Е(у)= [ -1; 1 ]

2 π

-1

Периодичность, чётность/нечётность

sin (x +2  n ) =

sin х, n

z

f (х +Т) = f (х –Т) = f (х) Функция периодическая

• f (х +Т) = f (х –Т) = f (х) Функция периодическая

α





- α

sin (- х) =

- sin х

f ( -х) = - f (х) Функция нечетная

3

0 при 0 y 0 при х (2 π n; π +2 π n), n z y y 0 при х ( - π + 2 π n; 2 π n), n z " width="640"

Наибольшее и наименьшее значение функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства.

π /2

+

π n , n z

при x =

0

у = 0

1

у наиб.= 1

+2  n , n Z

при х =

0

х

π

0

- π

2 π

у наим .= -1

при х = -

+ 2  n , n Z

-1

3 π /2

- π /2

y 0 при 0

y 0 при х (2 π n; π +2 π n), n z

y

y 0 при х ( - π + 2 π n; 2 π n), n z

I х 1  х 2

I I х 1  х 2

sin х 1  sin х 2

π

2

М 2

sin х 1  sin х 2

у 2

М 1

у 1

х 2

х 1

π

0

- π

IV х 1  х 2

I II х 1  х 2

sin х 1  sin х 2

sin х 1  sin х 2

π

π

-

2

2

Z

Функция возрастает на  -  /2 + 2  n ;  /2 + 2  n  , n

Функция убывает на   /2 + 2  n ; 3  /2 + 2  n  , n Z

Свойства функции у = sin х и ее график

1. D (у) = ( - ; + )

2. Е (у) =  -1; 1 

5. Нули функции: х =  n , n Z

6. у  0 при х ( 2  n ;  + 2  n ), n Z

у  0 при х ( -  + 2  n ; 2  n ), n Z

7.у наиб . = 1 при х =  /2 + 2  n , n Z

у наим . = -1 при х = -  /2 + 2  n , n Z

4.Периодическая , с наименьшим положительным периодом 2 π

8.Функция возрастает на  -  /2 + 2  n ;  /2 + 2  n  , n Z

Функция убывает на   /2 + 2  n ; 3  /2 + 2  n  , n Z

y

y = sin x

1

π

π

0

π

π

π

- π

2 π

-2 π

x

-

-

2

2

2

2

-1

Синусоида – график функции у = sin х

y

3

2

y = sin x

1

π

π

0

π

-2 π

π

- π

π

2 π

x

-

-

2

2

2

2

-1

Синусоида – график функции у = sin х

График функции y = со s x

y

2

y = sin ( x +  /2)

1

π

π

0

π

-2 π

π

- π

π

2 π

x

-

-

2

2

2

2

-1

Преобразование графика функции y = sin x

y

y = sin x +2

3

2

y = sin x

1

π

π

0

π

-2 π

π

- π

π

2 π

x

-

-

2

2

2

2

-1