Материал по математике по теме "Усеченная пирамида"

Определение. Часть пирамиды, образованная при сечении пирамиды плоскостью, параллельной её основанию, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой.

На рисунке показана пирамида, отбрасывая её часть, лежащую выше секущей плоскости, получаем усеченную пирамиду. Ясно, что малая отбрасываемая пирамида гомотетична большой пирамиде с центром гомотетии в вершине. Коэффициент подобия равен отношению высот: k=h2/h1, или боковых ребер, или других соответствующих линейных размеров обеих пирамид. Мы знаем, что площади подобных фигур относятся, как квадраты линейных размеров; так площади оснований обеих пирамид (т. е. пощади оснований усеченной пирамиды) относятся, как

Здесь S1 - площадь нижнего основания, а S2 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды. В таком же отношении находятся и боковые поверхности пирамид. Сходное правило имеется и для объемов.

Объемы подобных тел относятся, как кубы их линейных размеров; например, объемы пирамид относятся, как произведения их высот на площади оснований, откуда наше правило получается сразу. Оно имеет совершенно общий характер и прямо следует из того, что объем всегда имеет размерность третей степени длины. Пользуясь этим правилом, выведем формулу, выражающую объем усеченной пирамиды через высоту и площади оснований.

Пусть дана усеченная пирамида с высотой h и площадями оснований S1 и S2. Если представить себе, что она продолжена до полной пирамиды, то коэффициент подобия полнорй пирамиды и малой пирамиды легко найти, как корень из отношения S2/S1. Высота усеченной пирамиды выражается как h = h1 - h2 = h1(1 - k). Теперь имеем для объема усеченной пирамиды (через V1 и V2 обозначены объемы полной и малой пирамид)

Полную информацию смотрите в файле. 

Усеченная пирамида

Определение . Часть пирамиды, образованная при сечении пирамиды плоскостью, параллельной её основанию, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой.
На рисунке показана пирамида, отбрасывая её часть, лежащую выше секущей плоскости, получаем усеченную пирамиду. Ясно, что малая отбрасываемая пирамида гомотетична большой пирамиде с центром гомотетии в вершине. Коэффициент подобия равен отношению высот: k=h₂/h₁, или боковых ребер, или других соответствующих линейных размеров обеих пирамид. Мы знаем, что площади подобных фигур относятся, как квадраты линейных размеров; так площади оснований обеих пирамид (т.е. пощади оснований усеченной пирамиды) относятся, как

Здесь S₁ - площадь нижнего основания, а S₂ - площадь верхнего основания усеченной пирамиды. В таком же отношении находятся и боковые поверхности пирамид. Сходное правило имеется и для объемов.
Объемы подобных тел относятся, как кубы их линейных размеров; например, объемы пирамид относятся, как произведения их высот на площади оснований, откуда наше правило получается сразу. Оно имеет совершенно общий характер и прямо следует из того, что объем всегда имеет размерность третей степени длины. Пользуясь этим правилом, выведем формулу, выражающую объем усеченной пирамиды через высоту и площади оснований.
Пусть дана усеченная пирамида с высотой h и площадями оснований S₁ и S₂. Если представить себе, что она продолжена до полной пирамиды, то коэффициент подобия полнорй пирамиды и малой пирамиды легко найти, как корень из отношения S₂/S₁. Высота усеченной пирамиды выражается как h = h₁ - h₂ = h₁(1 - k). Теперь имеем для объема усеченной пирамиды (через V₁ и V₂ обозначены объемы полной и малой пирамид)

k²S₁=S₂, поэтому

Теорема. Объем усеченной пирамиды можно вычислить по формуле:

При нахождении площади боковой поверхности усеченной пирамиды принципы нахождения ПБП обычной пирамиды не теряют актуальности:
Теорема . Если все апофемы усеченной пирамиды равны, то площадь её боковой поверхности можно вычислить по формуле:

Из этой теоремы можно получить подобные:
Теорема. Если все боковые грани усеченной пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то площадь её боковой поверхности можно вычислить по формуле:

Теорема. Если пирамида правильная, то площадь её боковой поверхности можно вычислить по формуле:

При нахождении площади поверхности усеченной пирамиды, необладающей ни одним из перечисленных признаков, осуществляется вычисление площадей отдельных граней, а затем производится их суммирование.
Выведем эту формулу. Пусть S - площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, обладающей одним из вышеперечисленных признаков, Р₁ и Р₂ - периметры оснований и а - длина апофемы. Рассуждаем точно так же, как и при выводе формулы для объема. Дополняем пирамиду верхней частью, имеем P₂ = kP₁, S₂=k²S₁, где k - коэффициент подобия, P₁ и P₂ - периметры оснований, а S₁ и S₂ - лощади боковых поверхностей всей полученной пирамиды и её верхней части соответственно. Для боковой поверхности найдем
(а₁ и а₂ - апофемы пирамид, а = а₁ - а₂ = а₁(1-k)):



Правильная усеченная пирамида также как и обычная правильная пирамида имеет особенности:
Теорема. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.
Теорема. Все боковые грани правильной усеченной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные трапеции (углы при основаниях рабнобедренной трапеции равны), поэтому:
Теорема. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все плоские углы при основаниях равны.
Теорема. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основаниях равны.
Теорема. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при боковых ребрах равны.