Материал по математике по теме "Расстояние между точками"

Давайте для начала определимся с обозначениями. Расстояние от точки А до точки В будем обозначать как.

Пусть задана координатная прямая Ox (точка О – начало отсчета) и некоторая точка А на ней. Мы знаем, что каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число. Пусть точке А соответствует действительное число, то есть, точка А имеет координату

Как же определяется расстояние от начала отсчета до точки А? Вообще, измерение расстояния основано на сравнении отрезков - отрезка, соответствующего измеряемому расстоянию от точки до точки, и отрезка, принятого за единицу измерения.

Для точки А, которой соответствует целое число, все очень просто. Мы от точки О вдоль прямой OA последовательно откладываем единичные отрезки, пока не попадем в точку А. Количество единичных отрезков и дает нам расстояние между точками О и А.

Это достаточно очевидно. К примеру, чтобы попасть в точку А, которой соответствует число 2, нам нужно преодолеть расстояние в две единицы от начала отсчета в положительном направлении. Если точка А имеет координату -5, то нам придется отложить один за другим пять единичных отрезков в отрицательном направлении. То есть, в первом случае расстояние равно двум, а во втором случае расстояние от точки О до точки А равно пяти.

Если точке А соответствует рациональное число, то мы можем попасть из начала координат в точку А при помощи последовательного откладывания некоторого количества целых единичных отрезков и его части.

Полную информацию смотрите в файле. 

Расстояние между двумя точками на координатной прямой.

Давайте для начала определимся с обозначениями. Расстояние от точки А до точки В будем обозначать как .

Пусть задана координатная прямая Ox (точка О – начало отсчета) и некоторая точка А на ней. Мы знаем, что каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число. Пусть точке А соответствует действительное число , то есть, точка А имеет координату .

Как же определяется расстояние от начала отсчета до точки А? Вообще, измерение расстояния основано на сравнении отрезков - отрезка, соответствующего измеряемому расстоянию от точки до точки, и отрезка, принятого за единицу измерения.

Для точки А, которой соответствует целое число, все очень просто. Мы от точки О вдоль прямой OA последовательно откладываем единичные отрезки, пока не попадем в точку А. Количество единичных отрезков и дает нам расстояние между точками О и А.

Это достаточно очевидно. К примеру, чтобы попасть в точку А, которой соответствует число 2, нам нужно преодолеть расстояние в две единицы от начала отсчета в положительном направлении. Если точка А имеет координату -5, то нам придется отложить один за другим пять единичных отрезков в отрицательном направлении. То есть, в первом случае расстояние равно двум, а во втором случае расстояние от точки О до точки А равно пяти.

Если точке А соответствует рациональное число, то мы можем попасть из начала координат в точку А при помощи последовательного откладывания некоторого количества целых единичных отрезков и его части.

К примеру, если точка А имеет координату , то нам придется отложить один целый единичный отрезок в отрицательном направлении и еще половину от единичного отрезка. В этом случае расстояние равно . Следует отметить, что геометрическими построениями далеко не всегда можно разбить единичный отрезок на необходимое количество частей (например, попробуйте получить единичного отрезка).

Еще интереснее обстоит дело с определением расстояния от точки О до точки А, которой соответствует иррациональное число. К примеру, пусть точке А соответствует число . С помощью откладывания единичного отрезка и его частей от начала отсчета попасть в эту точку не так то просто. В этом случае прибегаем к абстракции: если координата точки А является положительным числом (), то это число принимаем в качестве расстояния, то есть , если же координата точки А есть отрицательное число (), то .

Очевидно, что последнее утверждение справедливо для любого действительного числа .

Итак, расстояние от начала отсчета до точки А, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно

• 0, если точка А совпадает с началом координат;

• , если ;

• , если .

С помощью знака модуля расстояние от точки О до точки А с координатой можно записать как (смотрите статью модуль числа).

Отсюда можно заключить, что расстояние от точки А с координатой до точки В с координатой равно модулю разности координат, то есть, при любом расположении точек на координатной прямой.