Геометрическая и алгебраическая интерпретация математических понятий

Введение

Софии Жермен: «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах».

В арсенале каждого учителя имеются «маленькие хитрости» - это и методические приемы объяснения, способствующие лучшему пониманию и усвоению школьниками учебного материала, и способы решения некоторых задач, помогающие ученикам избежать рутинной работы и упростить громоздкие выкладки и вычисления.

Существуют способы решения алгебраических задач методами,

основанными на наглядно-геометрических интерпретациях. «В целом почти всю математику можно рассматривать как развивающуюся из взаимодействия алгебры (первоначально арифметики) и геометрии, а в смысле метода - из сочетания выкладок и геометрических представлений» (А.Д.Александров).

История математики свидетельствует о том, что оба метода,        алгебраический и геометрический развивались в тесной взаимосвязи. В классическую греческую эпоху геометрия занимала привилегированное положение. Она являлась именно той наукой, в которой проявлялся дедуктивный характер рассуждения, искусство доказательства. Первые элементы алгебры появились сразу в интерпретациях: геометрический и  буквенно-символической. Систематизация алгебраических сведений построение алгебры как особой части математики проходило также в двух равносильных и равноправных интерпретациях. Этот набор методов было принято называть геометрической алгеброй. Благодаря взаимосвязи алгебраического и геометрического методов были сделаны многие открытия в математике.

Геометрический метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением. Основное
преимущество геометрического метода в его наглядности. Он позволяет увидеть то, что в алгебраическом методе скрыто за аналитическими выкладками. Кроме того, выполненный рисунок позволяет рассуждать, делать выводы. Недаром еще великий Р. Декарт в своем труде «Правила для руководства ума» специально выделял правило о том, что «полезно чертить фигуры и преподносить их внешним чувствам, для того,
чтобы таким образом нам было легче сосредоточивать внимание нашего ума».

Геометрия - уникальный школьный предмет, внутри которого заложены богатейшие возможности развития логического мышления и пространственного воображения. Почему же этот потенциал, как правило, не используется на уроках алгебры? Зачастую алгебру и геометрию вообще воспринимают как два различных предмета, забывая о том, что это составляющие одного целого.

Цели данной работы:

1. Показать, что преимущество геометрического решения       алгебраических задач в его наглядности, так как геометрический  подход допускает изящное решение.

 2. Выявить связи между, казалось бы, совершенно разнородными  темами школьного курса математики.

Задачи:

Рассмотреть ряд приёмов решения нестандартных и конкурсных

задач.

Практическая помощь учителям математики.

Математические утверждения

Между алгебраическими и геометрическими задачами, между языком алгебры (языком формул) и языком геометрии (языком расстояний) существует неразрывная связь, ставшая со времен Декарта очевидной даже тем, кто не слишком искушен в математике. В самом деле, решение многих геометрических задач может быть сведено к решению систем алгебраических уравнений и требует умения применять соответствующий алгебраический инструмент.

Менее заметны, особенно школьнику, геометрические идеи, лежащие в основе решения ряда алгебраических задач: на вычисление наибольших и наименьших значений некоторых выражений, решение уравнений и неравенств. Вероятнее всего, это связано с тем, что алгебраический язык является для школьника своего рода первым математическим языком, а геометрический язык - вторым.

Изучение языка невозможно начать без словаря или хотя бы разговорника. В нашем случае этот словарь - разговорник довольно прост: в нем всего три строчки

             2.  Геометрический метод алгебраических задач                                             

2.1.   Решение уравнений и неравенств с модулем.

Напомним, что модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой (координатной) прямой, соответствующими этим числам (в этом, собственно, и заключается геометрический смысл модуля). Так, |а - b| есть расстояние между точками а и b числовой прямой; |а=|а-0| - расстояние между точками а и 0; |а + b| = |а -(-b)| - расстояние между точками а и -b.

Решить уравнение |х - b|=а - значит найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа b равно а. Возможны три случая; если а >0, то х = b±а; если а=0, то х=b; если а<0, то решений нет.

Решение уравнения |f(x)|=a при а>0 сводится к рассмотренному случаю после замены переменной: f(x)=t. При решении конкретных примеров такую замену можно не делать и сразу переходить к уравнениям f(x)=a; f(x)--a.

Аналогично решается уравнение |f(x)|=g(x). Действительно, если g(x)<0, оно не имеет решений ( в силу не отрицательности модуля); если g(x) > 0, то f(x)=g(x); f(x)=-g(x).

Другой способ решения состоит в рассмотрении двух случаев при освобождении от знака модуля: |f(x|=f(x) при f(x) > 0, |f(x|--f(x) при f(x)<0. Заметим , что решать неравенства вовсе не обязательно; достаточно найти корни полученных уравнений и проверить , какие из них удовлетворяют соответствующему неравенству.

Как видим, решение уравнения |f(x)|=g(x) уже не требует использования геометрического смысла модуля (хотя им можно воспользоваться при обосновании полученной схемы решения).

Рассмотрим еще одно уравнение вида |х - b|+|х - с| = а при решении которого использование геометрического смысла модуля достаточно эффективно. Решить уравнение |х - b| + |х - с |= а - значит найти все точки х числовой оси, сумма расстояний от каждой  из которых до точек bис равна а.

Если расстояние между точками bис больше а, то уравнение не имеет решений. В самом деле, если предположить, что искомая точка принадлежит отрезку с концами b и с, то сумма расстояний от такой точки до концов отрезка окажется больше а (поскольку длина этого отрезка больше а), а для любой точки, лежащей вне рассматриваемого отрезка, сумма расстояний будет еще больше.

Если расстояние между точками bис равно а , то любая точка с концами bис будет решением данного уравнения.

Если же расстояние между точками bис меньше а, то для любой точки отрезка с концами bис сумма расстояний до точек bис будет меньше а. Таким образом , искомая точка должна лежать вне отрезка с концами b и с. В этом случае сумма расстояний от искомой точки до точек bис будет складываться из длины отрезка с концами b и с и удвоенного расстояния от этой точки до ближайшего к ней конца отрезка. Это рассуждение и позволяет найти искомые значения переменной.

Весь материал - смотрите архив.    

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Кемеровский профессионально-технический техникум

Геометрическая и алгебраическая интерпретация математических понятий

реферат

Выполнил преподаватель математики:

Коровина Нина Анатольевна.

Кемерово 2013

Содержание.

Введение 3

1. Математические утверждения 4

2. Геометрический метод алгебраических задач 4

2.1. Решение уравнений и неравенств с модулем 4

2.2. Решение систем неравенств 7

2.3. Решение квадратных уравнений 8

2.4. Решение иррациональных уравнений и неравенств 9

2.5. Решение текстовых задач 11

2.6. Решение задач на наибольшее и наименьшее значения функции 12

2.7. Решение задач на нахождение площади фигуры, заданной на координатной плоскости 14

2.8. Преобразование графиков 16

Заключение 18

Литература 19

Введение

Софии Жермен: «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах».

В арсенале каждого учителя имеются «маленькие хитрости» - это и методические приемы объяснения, способствующие лучшему пониманию и усвоению школьниками учебного материала, и способы решения некоторых задач, помогающие ученикам избежать рутинной работы и упростить громоздкие выкладки и вычисления.

Существуют способы решения алгебраических задач методами,

основанными на наглядно-геометрических интерпретациях. «В целом почти всю математику можно рассматривать как развивающуюся из взаимодействия алгебры (первоначально арифметики) и геометрии, а в смысле метода - из сочетания выкладок и геометрических представлений» (А.Д.Александров).

История математики свидетельствует о том, что оба метода, алгебраический и геометрический развивались в тесной взаимосвязи. В классическую греческую эпоху геометрия занимала привилегированное положение. Она являлась именно той наукой, в которой проявлялся дедуктивный характер рассуждения, искусство доказательства. Первые элементы алгебры появились сразу в интерпретациях: геометрический и буквенно-символической. Систематизация алгебраических сведений построение алгебры как особой части математики проходило также в двух равносильных и равноправных интерпретациях. Этот набор методов было принято называть геометрической алгеброй. Благодаря взаимосвязи алгебраического и геометрического методов были сделаны многие открытия в математике.

Геометрический метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением. Основное
преимущество геометрического метода в его наглядности. Он позволяет увидеть то, что в алгебраическом методе скрыто за аналитическими выкладками. Кроме того, выполненный рисунок позволяет рассуждать, делать выводы. Недаром еще великий Р. Декарт в своем труде «Правила для руководства ума» специально выделял правило о том, что «полезно чертить фигуры и преподносить их внешним чувствам, для того,
чтобы таким образом нам было легче сосредоточивать внимание нашего ума».

Геометрия - уникальный школьный предмет, внутри которого заложены богатейшие возможности развития логического мышления и пространственного воображения. Почему же этот потенциал, как правило, не используется на уроках алгебры? Зачастую алгебру и геометрию вообще воспринимают как два различных предмета, забывая о том, что это составляющие одного целого.

Цели данной работы:

1. Показать, что преимущество геометрического решения алгебраических задач в его наглядности, так как геометрический подход допускает изящное решение.

2. Выявить связи между, казалось бы, совершенно разнородными темами школьного курса математики.

Задачи:

1. Рассмотреть ряд приёмов решения нестандартных и конкурсных

задач.

1. Практическая помощь учителям математики.

1. Математические утверждения

Между алгебраическими и геометрическими задачами, между языком алгебры (языком формул) и языком геометрии (языком расстояний) существует неразрывная связь, ставшая со времен Декарта очевидной даже тем, кто не слишком искушен в математике. В самом деле, решение многих геометрических задач может быть сведено к решению систем алгебраических уравнений и требует умения применять соответствующий алгебраический инструмент.

Менее заметны, особенно школьнику, геометрические идеи, лежащие в основе решения ряда алгебраических задач: на вычисление наибольших и наименьших значений некоторых выражений, решение уравнений и неравенств. Вероятнее всего, это связано с тем, что алгебраический язык является для школьника своего рода первым математическим языком, а геометрический язык - вторым.

Изучение языка невозможно начать без словаря или хотя бы разговорника. В нашем случае этот словарь - разговорник довольно прост: в нем всего три строчки

2. Геометрический метод алгебраических задач

2.1. Решение уравнений и неравенств с модулем.

Напомним, что модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой (координатной) прямой, соответствующими этим числам (в этом, собственно, и заключается геометрический смысл модуля). Так, |а - b| есть расстояние между точками а и b числовой прямой; |а=|а-0| - расстояние между точками а и 0; |а + b| = |а -(-b)| - расстояние между точками а и -b.

Решить уравнение |х - b|=а - значит найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа b равно а. Возможны три случая; если а 0, то х = b±а; если а=0, то х=b; если а

Решение уравнения |f(x)|=a при а0 сводится к рассмотренному случаю после замены переменной: f(x)=t. При решении конкретных примеров такую замену можно не делать и сразу переходить к уравнениям f(x)=a; f(x)--a.

Аналогично решается уравнение |f(x)|=g(x). Действительно, если g(x)оно не имеет решений ( в силу не отрицательности модуля); если g(x) 0, то f(x)=g(x); f(x)=-g(x).

Другой способ решения состоит в рассмотрении двух случаев при освобождении от знака модуля: |f(x|=f(x) при f(x) 0, |f(x|--f(x) при f(x)корни полученных уравнений и проверить , какие из них удовлетворяют соответствующему неравенству.

Как видим, решение уравнения |f(x)|=g(x) уже не требует использования геометрического смысла модуля (хотя им можно воспользоваться при обосновании полученной схемы решения).

Рассмотрим еще одно уравнение вида |х - b|+|х - с| = а при решении которого использование геометрического смысла модуля достаточно эффективно. Решить уравнение |х - b| + |х - с |= а - значит найти все точки х числовой оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек bис равна а.

Если расстояние между точками bис больше а, то уравнение не имеет решений. В самом деле, если предположить, что искомая точка принадлежит отрезку с концами b и с, то сумма расстояний от такой точки до концов отрезка окажется больше а (поскольку длина этого отрезка больше а), а для любой точки, лежащей вне рассматриваемого отрезка, сумма расстояний будет еще больше.

Если расстояние между точками bис равно а , то любая точка с концами bис будет решением данного уравнения.

Если же расстояние между точками bис меньше а, то для любой точки отрезка с концами bис сумма расстояний до точек bис будет меньше а. Таким образом , искомая точка должна лежать вне отрезка с концами b и с. В этом случае сумма расстояний от искомой точки до точек bис будет складываться из длины отрезка с концами b и с и удвоенного расстояния от этой точки до ближайшего к ней конца отрезка. Это рассуждение и позволяет найти искомые значения переменной.

Задание 1

«Переведем» следующие предложения с геометрического на алгебраический.

Задание 2.

«Переведем» следующие предложения с алгебраического языка на геометрический.

Язык формул	Язык расстояний
1.Решите уравнение |х - 5 | =2 |х + 3|.	1 .Найдите все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до точки 5 в 2 раза больше расстояния до точки 3.
2.Имеет ли система р2 + а2 = 16 г2 + t = 25 (р- r)2+(q- t)2 = 100 хотя бы одно решение?	2.Можно ли на каждой из концентрических окружностей с центром в начале координат, радиусы которых равны 4 и 5 . найти по точке, расстояние между которыми равно 10?
3.Найдите наименьшее значение функции y= (x-l)2 + 9+ (x + 3)2+16	З.На оси абсцисс найдите точку, сумма расстояний от которой до точек (1 ;3) и (-3;4) минимальна.
4.Найдите наименьшее значение функции; у= (х+2)2 + ( 2х + 1 )2 + (x - З)2 + ( 2х -5 )2	4.На прямой у=2х найдите точку, сумма расстояний от которой до точек (-2; -1) и (3:-5) минимальна.
5.Решите неравенство (z - x)2+(z – 3x+5)2 ≤18	5. На прямых у=х и у=Зх-5 найдите все точки такие, что квадрат расстояния между точкой первой прямой и точкой второй прямой не превосходит 18.
6. Решите уравнение |х| = 5| ах - 3|.	6. На графике функции у=ах-3 найдите все точки, расстояние от каждой из которых до оси ординат в 5 раз больше расстояния до оси абсцисс
7.Найдите все значения а , при каждом из которых система ( m - З)2 +( n - 4) = а2 m2 + n2=4 имеет единственное решение.	7.Найдите радиус окружности с центром в точке (3;4), если известно, что эта окружность касается окружности с центром в начале координат и радиусом равным

При выполнении этого задания важно обратить внимание учащихся на то, что условие принадлежности некоторой точки М той или иной фигуре (например, прямой или окружности), заданной уравнением , может быть записано с помощью различных букв, а не только с помощью букв х и у. Так, равенства ( р-3)² + ( q + 2)² = 16 и ( m - 3) + ( п + 2)² = 16 означают, что и точка (p;q), и точка (т ; п) принадлежат окружности с центром ( 3 ; - 2) и радиусом 4, т. е. окружности (х - З)² + (у+2)² = 16 координатной плоскости Оху.

2.2. Решение систем неравенств.

1.Решим систему неравенств:

|х-2|≤3

|у-1|≤1

Решение:

-3 ≤ х-2 ≤ 3

-4 ≤ у-1 ≤ 4

-1 ≤ х ≤ 5

-3 ≤ у ≤ 5

Решением системы неравенств являются все координаты точек замкнутой области (прямоугольника) и ее границы.

2.Решим систему неравенств:

х² + у² ≤ 9

Решение:

х² +у²≤ 9, х² +у² ≤ 9,

у0, у2^х2;

у2^х2

х²+у²=9 – окружность с центром в точке О(0;0) и R=3.

Решением системы являются координаты точек заштрихованной части плоскости ( координаты точек окружности являются решением).

у

2.3. Решение квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра квадратные уравнения решали не алгебраически , а геометрически.

Уравнение, которое решали древние У² + 6у-16=0.

У²+6у-16=0 или у²+6у+9= 16+9

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах² +вх+с=0 с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х₁;0) и Д(х₂;0), где х₁| и х₂ -корни уравнения, и проходит через точки А(0;1) и С(0;с/а) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем В ● ОД=ОА ● ОС, откуда ОС=(ОВ ●ОД)/ОА=( х, ● х₂)/1=с/а. Центр окружности находится в точке в точке пересечения перпендикуляров ME и МК, восстановленных в серединах хорд АС и ВД, поэтому МК=( х,+ х₂ )/2=-в/2а,

МЕ=(у₁+ у₂ )/2=(1+с/а)/2=(а+с)/2а.

Итак: 1) Построим точки М(-в/2а; (а+с)/2а) (центр окружности) и А(0;1);

2) Проведем окружность с радиусом МА;

Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются
3)корнями исходного квадратного уравнения

При этом возможны 3 случая:

1) Радиус окружности больше ординаты центра АММК, окружность

пересекает ось Ох в двух точках В(Х|;0) и Д(х₂;0), где x_t и х₂ -корни

квадратного уравнения. ( Рис. 1 (a)).

( Рис. 1 (a)).

2.4 Решение иррациональных уравнений и неравенств.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. 1. Алгебраический метод. Данное неравенство равносильно
совокупности двух систем:

1-х≥0 1-х˂0

х(1-х)² и х ≥ 0

Решая эти системы, находим:

и

и

Решением первой системы является промежуток , а второй

системы х 1. Объединяя эти решения, получаем ответ. Ответ:

Решение 2. Геометрический метод. Построим в прямоугольной системе координат графики функций y₁ = и у₂= 1 - х. На геометрическом языке, решить неравенство 1 – х значит найти те значения х, при которых график функции у расположен выше графика функции у .

Как видно на рисунке, корень уравнения = 1 - х единственный и он лежит в интервале (0;1). Найдём его аналитически, решив уравнение

х=(1-х)²

х²-3х+1=0,

откуда х₁= , х₂=

Так, как х₁= , х1, то этот корень посторонний. Итак, х=

Рисунок показывает, что график функции у₁= лежит выше прямой у₂=1-х на промежутке х Ответ: х

В данном случае геометрический метод решения представляет собой
единство графического метода и метода уравнений и неравенств (так как
корни находим аналитически).

2) Радиус окружности равен ординате центра АМ=МВ, окружность
касается оси Ох в точке В(х 1;0), где х₁ -корень квадратного
уравнения, (рис. 1(б)).

3) Радиус окружности меньше ординаты центра АМне имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не
имеет решения.(Рис.1(в)).

Рис.1(б) Рис.1 (в)

Примеры.

1) Решим уравнение: х² -2х-3=0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам

х=-в/(2а)=2/(2 ●1)=1, у=(а+с)/(2а)=(1-3)/2= -1.

Проведем окружность радиуса МА, где А(0;1). Окружность пересекает ось
Ох в точках В(-1 ;0) и Д(3;0).

Ответ: -1; 3.

2) Решим уравнение: х²-2х+3=0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности М (х;у)
х=-в/(2а)= 2/2=1, у=(а+с)/(2а)=(3+1)/2=2.

Проведем окружность радиуса МА, где А(0;1). Окружность не пересекает
ось Ох.

Ответ: нет решения

3) Решим уравнение: х² -6х+9=0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности М(х;у)

х= -в/(2а)= 6/2=3, у=(а+с)/(2а)=(9+1)/2=5.

Проведем окружность радиуса МА, где А(0;1). Окружность касается

оси Ох в точке В(3;0). Ответ: 3.

2.5 Решение текстовых задач

Среди текстовых задач встречаются задачи, которые нельзя решить алгебраическим методом, и которые могут быть решены различными методами, в том числе и геометрическим

Примеры:

1.В 7ч. утра пассажирский самолет вылетел из города А. После получасовой остановки в городе В в 8ч10мин самолет сделал поворот на 35 вправо и в 9ч совершил посадку в городе С. Найти расстояние между городами А и С, если средняя скорость самолета на каждом участке полета была равна 320 км/ч

Дано: ˂СДВ=а=35⁰;

V=320км/ч

t₁=8ч 10 мин;

t₂=9ч;

t₃=30мин;

t₀=7ч;

Найти АС.

Решение:

АВ = V(t₁-t₀-t₃); АВ =320*2/3=213,3 (км)

ВС= V(t₂- t₁); ВС=320*5/6=266,6 (км)

˂ АВС=180⁰ – 35⁰=45⁰; ( по т. косинусов);

АС²=ВС² – 2АВ*ВС*

АС²=213,3²+266,6²+2*213,3*266,6*АС= 458 км.

Ответ: 458км.

2. Разность двух чисел равна 16. Если каждое из чисел увеличить на 6, то их произведение увеличится на 396. Какие это числа?

Решение: (метод прямоугольника)

Пусть отрезки АВ и АД - искомые числа. Площадь прямоугольника АВСД - прежнее произведение чисел. Отрезки АЕ и AM- увеличенные числа, а площадь прямоугольника АЕОМ - увеличенное произведение. Числу 396 соответствует площадь фигуры ДСВЕОМД. Площадь квадратика СКОР равна 36, тогда S,+S₂= 396-36=360. Прямоугольники МДСР и ВСКЕ взятые вместе и сложенные дают прямоугольник с размерами а+в и 6, а его площадь 360, так что а+в=360:6=60.

а 16 Сейчас надо найти два числа, сумма которых 60,

16 а разность 16. Вновь помогает чертеж. (60-

60 16):2=22=в; а=в+16=38

в Ответ: 38 и 22

2.6 Решение задач на наименьшее и наибольшее

значение функции

При решении многих таких задач с помощью производной приходим к громоздким вычислениям, да и при вычислении производной сложной функции нет гарантии в том, что ученик не допустит ошибку. Иногда имеет смысл «перевести» условие задачи с языка формул на язык расстояний. Примеры:

1. Найти наибольшее значение функции у = √1-х² на[-1;1]

Решение:

а) алгебраический метод

Эта задача решается по стандартному алгоритму: у^/=-х/(1-х²); у^/=0 при х=0; у(-1)=0; у(1)=0; у(0)=1 Ответ: 1

б) геометрический метод

Равенство у = √l –x² равносильно системе х²+у²=1

у≥0

А значит задает полуокружность с центром О(0;0) и радиусом 1.

у

в

0

-1 1 х

На [-1 ;1] наибольшее значение функции равно 1 при х=0

Ответ:0

«Переведем» на язык расстояний, для этого выделим полные квадраты в подкоренных выражениях: у = √(x-l)²+4 + √(х-8)²+25 . Каждое слагаемое из правой части полученного равенства представляет собой расстояние от т. А(х;0) до некоторой точки с фиксированными координатами, не зависящими от переменной х. Тогда на языке расстояний задачу можно сформулировать так: найдите на оси абсцисс т.А, сумма расстояний от которойдо двух данных точек С и В минимальна.

Если точки В и С лежат по разные стороны от оси абсцисс, то искомая т.А - есть точка пересечения прямой ВС с этой осью. (Если точки В и С лежат по одну сторону, то т.А- точка пересечения прямой В]С с этой осью, где т. В]-точка, симметричная В относительно оси ОХ. В обоих случаях сумма расстояний одна и та же.)

Абсциссы точек В и С известны: 1 и 8, а квадраты ординат разны 4 и 25. Выберем знаки ординат так, чтобы точки В и С оказались лежащими по

разные стороны от оси абсцисс. Рассмотрим, например, точки В(1;-2) и С(8;5). Найдем уравнение прямой ВС:

(х-1)/(8-1)=(у+2)/(5+2); (х-1)/7=(у+2)/7; у=х-3. Тогда абсцисса т.А(х:0) раина З, а искомый минимум равен √(3-l)²+4 + √(3-8)²+25 = 7√2

Ответ: 7√2

3.При каких значениях параметра а модуль разности корней уравнения
х²-6х+12+а²-4а=0 принимает наибольшее значение?

Решение:

а) алгебраический метод:

Решим квадратное уравнение, получим корни x_1,2=3±√-3-a²+4a,
тогда |x₁-x₂ |= 2√-3-a²+4a = 2 √1- а -2)²

Рассмотрим функцию у(а)= 2√1-(a-2)². Наибольшее значение этой

функции равно 2 и достигается при а=2.

Ответ: 2

Чаще всего, значительная часть учащихся пытается решить задачу с помощью производной и сталкивается с довольно значительными трудностями, связанными с преобразованием иррациональных выражений и дифференцированием сложной функции.

б) геометрический метод:

«Переведем» условие задачи на геометрический язык. Для этого
выделим полные квадраты в левой части уравнения и запишем его в
виде (х-3)²+(а-2)²=1.

Мы получили уравнение окружности в системе координат Оха, его
корни равны абсциссам точек пересечения окружности с прямой,
параллельной оси абсцисс и заданной уравнение а=m. Модуль разности двух чисел- это расстояние между двумя точками координатной прямой. Расстояние между этими точками максимально, если они являются концами диаметра окружности. Таким образом, прямая должна проходить через центр окружности - точку (3;2),
следовательно а=2.

Ответ: 2

4.Найти наибольшее значение функции у(х)=√х²+9 -√x²-x√3+l.

Решение: Рассмотрим треугольник ABC, в котором АС-х; ВС=3; СД=1; лежит во внутренней области треугольника АВ.

По теореме Пифагора из ABC находим AB=√x²+9;

по теореме косинусов из АСД находим АД=√х²-х√3+1;

Тогда у(х)=АВ-АД и max у(х)=mах(АВ-АД)= А₁В-А₁Д=ВД, где А₁€ АС

По теореме косинусов из ВСД

Ответ

2.7 Решение задач на нахождение площади фигуры, заданной на координатной плоскости

В последние годы становятся все более популярными задачи, которые не укладываются в какую-нибудь одну традиционную тему. Часто предлагается нарисовать что-нибудь заданное аналитическими условиями.

Решение задачи упрощается, если проводить его используя геометрический метод.

Решения первого неравенства получаем, объединяя решения двух систем

1. 2) у ˂ 0

4-х²≥0 4-х²≥у² или

у0 у0

│х│≤ 2 х²+у² ≤ 4

У у

-2 2 х -2 2 х

2

Решения второго неравенства образуют точки, лежащие под графиком функции y=│x+l│+3

Значит фигура, задаваемая условиями задачи имеет вид

Площадь фигуры равна сумме площадей: полукруга с центром 0(0;0) и радиусом 2 (Si), треугольника ACM (S₂) и трапеции СДЕМ (S.-?).

S₁=2п; S₂=0,5*3*3=4?5; S₃=(2+3)/2* 1=2,5;

S_фигуры =2п+4,5+2,5=2п+7 Ответ: 2п+7

2.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями х=3/2, х=2, у=√2х-х².

Решение: Равенство у=√2х-х² равносильно системе

у≥0 у≥0

у²=2х-х² = (х-1)²+у²=1

Графиком функции у = √2х-х является полуокружность с центром в т. М(1;0) и радиусом равным 1. Она расположена в верхней координатной полуплоскости.

Искомая площадь равна разности площадей сектора МАВ (S₁) и треугольника МАН (S₂).

МН=0,5; МА=1; АН найдем по теореме Пифагора АН=√1-1/4=√3/2;

Площадь сектора S₁=пR² а/ 360⁰ ; S₁=п*1*60⁰/360⁰=п/6;

Площадь прямоугольного треугольника МАН S₂=0,5*0,5*√3/2=√3/8;

S_фигуры = п/6-√3/8

Ответ: п/6-√3/8

3.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=√1-х².

Решение: Равенство у=√1-х² равносильно системе

у ≥ 0

х²+у²=1

Значит графиком функции у= П-х является полуокружность с центром О(0;0) и радиусом 1, расположенная в верхней координатной полуплоскости.

Площадь полуокружности равна пR²/2.

Площадь искомой фигуры равна п*1/2=п/2. Ответ: п/2

2.8 Преобразование графиков

При построении графиков функций в школьном курсе алгебры часто используются такие геометрические понятия, как симметрия (осевая и центральная), параллельный перенос, отражение и поворот. Известно, что графиком квадратичной функции является парабола, симметричная относительно прямой, график обратной пропорциональности симметричен относительно начала координат и т.д. Простейшие операции над графиками удобно производить по правилам:

1 .y=f(x)+b- параллельный перенос на графика y=f(x) на Ь единиц вдоль оси ординат.

1. y=f(x+a) - параллельный перенос вдоль оси абсцисс графика
   функции y=f(x) на а единиц.

2. y=f(-x) - отражение графика функции y=f(x) относительно оси ординат.

3. y=-f(x)- отражение графика функции y=f(x) относительно оси абсцисс.

Приведем примеры построения графиков более сложных функций.

1. у=(х²-4х+3)²

у₁=х²-4х+3; у=у₁²

Строим график функции у₁=х² - 4х+3. Отмечаем на графике характерные точки - вершину параболы, точки пересечения параболы с осями координат и одну промежуточную точку: );М,(3;0);М2(4;3);-Мз(1;0);

В силу симметрии графика относительно прямой х=2 для построения эскиза достаточно трех точек: М_о; М₁ М₂.

Возводим в квадрат ординаты этих точек:

а) М₀(2;-1): у₁ =-1, отсюда y=y₁²=l, получаем точку К₍₎(2;1);

б) Mi(3;0): у₁=0, отсюда у=0, получаем точку
К1(3;0);

в) М₂(4;3): у₁=3, отсюда у=9, получаем точку
К₂(4;9);

Наносим полученные точки на нижний рисунок, соединяем их плавной линией и учитываем симметрию относительно прямой х=2.

2. y=|-x^z+4|x|+5|

Строим график функции у=х²+4х+5. Затем выполняем отражения относительно оси ординатой оси абсцисс.

3.На плоскости функция у=f(х) задает семейство кривых, зависящих от параметра а. Каждое семейство обладает определенным свойством. Например: семейство у=f(х;а) – параллельные между собой прямые Семейство вида у-у₀=а(х-х₀) состоит из прямых с геометрически решать задачи с параметрами.

Задача: Найти все значения параметра к, при котором система уравнений

у-0,5=к(х+2)

у=√х имеет решения.

Прямые семейства у-0,5=к(х) переходят друг в друга путем преобразования поворота с центром в точке (-2;0,5). Данная система будет иметь решение, если прямые имеютс «полупараболой» у=√х хотя бы одну общую точку.

На рисунке отмечены два положения прямой, которым соответсвуют некоторые значения параметра к₁ и к₂. На первой прямой лежит вершина. Вторая прямая касается «полупараболы». Значение к₁найдем, подставив в первое уравнение системы пару (0;0), к₁=-1/4.

Значение к₂получим, потребовав от системы иметь одно решение.

у-0,5=к(х+2)

у²=х

к0

Система равносильна уравнению ку²-у+0,5+2к=0 при к0, которое имеет один корень при к₂=1/4 . Ответ: к₂=1/4

4.При каких значениях параметра b уравнение имеет одно решение?

Решение: Область определения:х˂2 и х≠0. Для удобства обозначим Запишем уравнение, равносильное исходному: , а0

Переходим к равносильной системе:

х˂2

х≠0

Строим график функции у= Семейство параллельных прямых у=а должно пересекать полученный график только в одной точке.

Из рисунка видно, что это требование выполняется лишь при а2, т.е.

Заключение

Приведённые примеры иллюстрируют интеграцию алгебраического и
геометрического методов в виде их сочетания. Этот способ интеграции
позволяет сравнить между собой алгебраический и геометрический методы,
их силу и эффективность, выявить преимущества и недостатки каждого.
Основное преимущество геометрического метода в его наглядности. Он
позволяет увидеть то, что в алгебраическом методе скрыто за
аналитическими выкладками. Кроме того, выполненный рисунок позволяет
рассуждать, делать выводы. Недаром еще великий математик Р. Декарт в
своём труде «Правила для руководства ума» специально выделял правило о
том, что «полезно чертить ... фигуры и преподносить их внешним чувствам,
для того чтобы таким образом нам было легче сосредоточивать внимание

нашего ума»

В данной работе на конкретных примерах показано, что при решении некоторых алгебраических задач целесообразно применять геометрический метод решения, а иногда это единственный метод, доступный учащимся, так как для решения другим методом у них не хватает запаса знаний на данный момент.

Методы, рассмотренные в этом проекте, рекомендуют учителям математики для применения их на уроках с 5 по 11 класс, как на базовом уровне, так и на профильном. Данная работа поможет коллегам в их практической деятельности.

Литература

Основные источники:

1. Башмаков, М. И. Математика [Текст] : учеб. для образовательных учреждений, реализующих прогр. нач. и сред. проф. образования / М. И. Башмаков.- 7-е изд., стер.- Москва : ИЦ «Академия», 2013.- 256 с. - [Рекомендовано ФГУ «ФИРО»].

2. Башмаков, М. И. Математика. Задачник [Текст] : учеб. пособие для образовательных учреждений, реализующих прогр. нач. и сред. проф. образования / М. И. Башмаков.- 2-е изд., стер. – Москва : ИЦ «Академия», 2013.- 416 с. - [Рекомендовано ФГУ «ФИФО»].

3. Богомолов, Н. В. Математика [Текст] : учеб. для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. – 6-е изд., стер. – Москва : Дрофа, 2009. – 365 с. – [Допущено МО РФ].

4. Богомолов, Н. В. Сборник задач по математике [Текст] : учеб. пособие для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования/ Н. В. Богомолов. – 5-е изд., стер. – Москва : Дрофа, 2009. – 204 с. – [Допущено МО РФ].

Дополнительные источники:

1. Башмаков, М. И. Математика. Книга для преподавателя [Текст] : методическое пособие для образовательных учреждений, реализующих. программы нач. и сред. проф. образования / М. И. Башмаков. – Москва : ИЦ «Академия», 2013. – 224 с. – [Рекомендовано ФГАУ «ФИРО»].

2. Богомолов, Н. В. Сборник дидактических заданий по математике [Текст] : учеб. пособие для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования / Н. В. Богомолов, Л. Ю. Сергиенко. – 3-е изд., стер. – Москва : Дрофа, 2009. – 236 с. – [Допущено МО РФ].

3. Григорьев, В. П. Сборник задач по высшей математике [Текст] : учеб. пособие для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования / В. П. Григорьев, Т. Н. Сабурова. – Москва : ИЦ «Академия», 2010. – 160 c. [Рекомендовано ФГУ “ФИРО”].

4. Григорьев, В. П. Элементы высшей математики [Текст] : учеб. для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. – 5-е изд., стер. – Москва : ИЦ «Академия», 2010. – 320 с. – [Допущено МО РФ].

5. Кочетков, Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учеб. для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования / Е. С. Кочетков, В. В. Соколов, С. О. Смерчинская. – 2-е изд., испр. и перераб.– Москва : ФОРУМ, 2008. – 240 с. – [Допущено МО РФ].

6. Пехлецкий, И. Д. Математика [Текст] : учеб. для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования / И. Д. Пехлецкий,

– 6-е изд., стер. – Москва : ИЦ «Академия», 2010. – 304 с. – [Допущено МО РФ].

Периодические издания (отечественные журналы):

1. Математика [Текст] : методический журнал для учителей математики / учредитель ООО «Чистые пруды». - . - Москва : ИД «Первое сентября», 2008 - . - Ежемес. - [http://mat.lseptember.ru/].

2. Научные исследования в образовании [Текст] : приложение к журналу «Профессиональное образование. Столица» / учредители Департамент образования города Москвы; Российская академия образования; Академия профессионального образования. – 2006 – . – Москва : НИИРПО, 2008 – . – Ежемес.

3. Образование. Карьера. Общество [Текст] : учредитель ГОУ «Кузбасский региональный институт развития профессионального образования». – 2005 -.- Кемерово : ГОУ « КРИРПО», 2008 -.- Ежеквар. - [http://www.krirpo.ru/].

4. Профессиональное образование. Столица [Текст] : информационно-педагогическое, научно-методическое издание / учредители Департамент образования города Москвы; Российская академия образования; Академия профессионального образования. – 1997 – . – Москва : НИИРПО, 2008 – . – Ежемес. [http://www.e-profobr.ru/].

Интернет-ресурсы:

1. Вся математика в одном месте – математический портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://www.allmath.ru, свободный. - Загл. с экрана. – (Дата обращения: 27.08.2013).

2. Математика: справочник формул по алгебре и геометрии, решения задач и примеров. Математические формулы on-line [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://www.pm298.ru, свободный. - Загл. с экрана. - (Дата обращения: 27.08.2013).

3. Математика в нашем колледже [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://www.kptc.org/mathematic/index.html, свободный. - Загл. с экрана. - (Дата обращения: 27.08.2013).

4. Форум - математический сайт allmatematika.ru [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://www. allmatematika.ru, свободный. - Загл. с экрана. - (Дата обращения: 27.08.2013).

5. Электронно-библиотечная система издательства «Лань» [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://lanbook.com/ebs.php, для доступа к информ. ресурсам требуется авторизация. - Загл. с экрана.- (Дата обращения: 27.08.2013).

6. Электронно-библиотечная система «КнигаФонд» [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.knigafund.ru/, для доступа к информ. ресурсам требуется авторизация. - Загл. с экрана. - (Дата обращения: 27.08.2013