Материал по математике "Круглые тела"

1. Плос­кость, про­ве­ден­ная через центр шара, впи­сан­но­го в конус, па­рал­лель­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит объем ко­ну­са по­по­лам. Найти угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

2. В пи­ра­ми­де SABC ребра SC, и AC равны со­от­вет­ствен­но √93/6, 3 и 4.

Из­вест­но, что угол ABC тупой, ребро SC пер­пен­ди­ку­ляр­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен 8/√15.

Найти пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S, точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

3. Длина вы­со­ты SO пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равна 1, а длины сто­рон ос­но­ва­ния ABC равны 2√6 Точки M и N — се­ре­ди­ны от­рез­ков АС и AB.

Вы­чис­лить ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SАMN.

4. В пря­мой кру­го­вой конус впи­сан шар. От­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара равно 49 : 12.

Найти от­но­ше­ние удво­ен­но­го объем шара к объ­е­му ко­ну­са.

5. В пря­мом кру­гом ци­лин­дре, осе­вое се­че­ние ко­то­ро­го квад­рат со сто­ро­ной 12, хорда CD, рав­ная 6√3 пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­мет­ру AB.

Найти пло­щадь се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стью CDA₁, если AA об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра.

6. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S сто­ро­ной ос­но­ва­ния рав­ной 6 и бо­ко­вым реб­ром 5, про­ве­де­на плос­кость MKS через се­ре­ди­ны ребер AB и AD. В пи­ра­ми­ду впи­сан шар.

Найти пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью MKS.

7. Че­ты­ре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но ка­са­ют­ся. Най­ди­те ра­ди­ус сферы, ка­са­ю­щей­ся всех четырёх сфер.

8. Че­ты­ре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга. Най­ди­те вы­со­ту ко­ну­са, со­дер­жа­ще­го эти сферы так, что все они ка­са­ют­ся бо­ко­вой по­верх­но­сти и три из них — ос­но­ва­ния ко­ну­са.

9. Два шара ка­са­ют­ся друг друга и гра­ней трёхгран­но­го угла, все плос­кие углы ко­то­ро­го пря­мые.

Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов этих шаров.

10. Внут­ри пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра с реб­ром a‍ рас­по­ло­же­ны че­ты­ре рав­ных шара. Каж­дый шар ка­са­ет­ся трёх дру­гих и трёх гра­ней тет­ра­эд­ра. Най­ди­те ра­ди­у­сы шаров.

11. Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равно b,‍ а плос­кий угол при вер­ши­не равен α.‍

Най­ди­те ра­ди­ус сферы опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

12. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60‍°.‍

Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

13. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60‍°.‍

Най­ди­те ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду.

14. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 45‍°.‍

Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

Весь материал - в документе.

Круглые тела

1.Плос­кость, про­ве­ден­ная через центр шара, впи­сан­но­го в конус, па­рал­лель­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит объем ко­ну­са по­по­лам. Найти угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

2. В пи­ра­ми­де SABC ребра SC, и AC равны со­от­вет­ствен­но 3 и 4. Из­вест­но, что угол ABC тупой, ребро SC пер­пен­ди­ку­ляр­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен Найти пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S, точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

3. Длина вы­со­ты SO пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равна 1, а длины сто­рон ос­но­ва­ния ABC равны Точки M и N — се­ре­ди­ны от­рез­ков АС и AB. Вы­чис­лить ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SАMN.

4. В пря­мой кру­го­вой конус впи­сан шар. От­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара равно 49 : 12. Найти от­но­ше­ние удво­ен­но­го объем шара к объ­е­му ко­ну­са.

5. В пря­мом кру­гом ци­лин­дре, осе­вое се­че­ние ко­то­ро­го квад­рат со сто­ро­ной 12, хорда , рав­ная пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­мет­ру Найти пло­щадь се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стью если об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра.

6. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де с вер­ши­ной сто­ро­ной ос­но­ва­ния рав­ной 6 и бо­ко­вым реб­ром 5, про­ве­де­на плос­кость через се­ре­ди­ны ребер и В пи­ра­ми­ду впи­сан шар. Найти пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью

7. Че­ты­ре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но ка­са­ют­ся. Най­ди­те ра­ди­ус сферы, ка­са­ю­щей­ся всех четырёх сфер.

8. Че­ты­ре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга. Най­ди­те вы­со­ту ко­ну­са, со­дер­жа­ще­го эти сферы так, что все они ка­са­ют­ся бо­ко­вой по­верх­но­сти и три из них — ос­но­ва­ния ко­ну­са.

9. Два шара ка­са­ют­ся друг друга и гра­ней трёхгран­но­го угла, все плос­кие углы ко­то­ро­го пря­мые. Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов этих шаров.

10. Внут­ри пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра с реб­ром a‍ рас­по­ло­же­ны че­ты­ре рав­ных шара. Каж­дый шар ка­са­ет­ся трёх дру­гих и трёх гра­ней тет­ра­эд­ра. Най­ди­те ра­ди­у­сы шаров.

11. Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равно b,‍ а плос­кий угол при вер­ши­не равен α.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

12. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60‍°.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

13. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60‍°.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду.

14. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 45‍°.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

15. Сто­ро­на ос­но­ва­ния и вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды пи­ра­ми­ды равны a.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

16. Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA‍₁B‍₁C‍_1‍ опи­са­на около шара ра­ди­у­са R.‍ Точки M‍ и N —‍ се­ре­ди­ны рёбер BB‍_1‍ и CC‍₁.‍ В шар впи­сан ци­линдр так, что его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти AMN.‍ Най­ди­те объём ци­лин­дра

17. Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁.

а) До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­на­ми в точ­ках A, B₁, B, C₁ со­став­ля­ет тре­тью часть объ­е­ма приз­мы.

б) Най­ди­те угол между пря­мы­ми AB₁ и BC₁, если из­вест­но, что AB = 2, AA₁ = 4.

18. Все плос­кие углы при вер­ши­не S пи­ра­ми­ды SABC пря­мые.

а) До­ка­жи­те, что точка S, точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и точка, рав­но­уда­лен­ная от вер­шин пи­ра­ми­ды (центр опи­сан­ной сферы), лежат на одной пря­мой.

б) Най­ди­те ра­ди­ус сферы впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SABC, если из­вест­но, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.

19. В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит тре­уголь­ник со сто­ро­ной 18. Вы­со­та приз­мы равна Точка N делит ребро A₁C₁ в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая, от точки A₁.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BAN.

б) Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

20. а) До­ка­жи­те, что ме­ди­а­ны тет­ра­эд­ра (от­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие вер­ши­ны с точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан про­ти­во­по­лож­ных гра­ней) и от­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны про­ти­во­по­лож­ных ребер, пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б) Дан тет­ра­эдр с пря­мы­ми плос­ки­ми уг­ла­ми при вер­ши­не Пло­ща­ди гра­ней и равны со­от­вет­ствен­но 132, 150, 539. Най­ди­те объем тет­ра­эд­ра.

21. Все ребра пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равны

а) По­стро­ить се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AFC₁.

б) Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

22. Все ребра куба равны

а) По­строй­те се­че­ние куба, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ны ребер AB, BC, CC₁.

б) Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

23. Все ребра пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равны 4.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ны ребер BC, CC₁, A₁C₁.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

24. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 3, AA₁ = 4, AD = 5.

а) До­ка­жи­те, что точки B, C₁, D и A₁ не лежат в одной плос­ко­сти.

б) Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках B, C₁, D и A₁.

25. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­ны ребра и SC = 17.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AB и SC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки А, В и се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны S.