Материал по математике "Числа. Натуральные числа"

Простейшее число — это натуральное число. Их используют в повседневной жизни для подсчета

предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для

подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных

предметов.

Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте.

Например, 1,2,3,4,5... – первые натуральные числа.

Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число

ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.

Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа

не существует.

Система счёта (счисления), которую мы используем, называется десятичной позиционной.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так

как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Для подсчета времени в градусной мере углов существует шестидесятеричная система счисления (основа

число 60). В 1 часе — 60 минут, в 1 минуте — 60 секунд; в 1 угловом градусе — 60 минут, в 1 угловой

минуте — 60 секунд.

Всякое натуральное число легко записать в виде разрядных слагаемых.

Числа 1, 10, 100, 1000... – это разрядные единицы. При их помощи натуральные числа записывают как

разрядные слагаемые. Таким образом, число 307 898 в виде разрядных слагаемых записывается так:

307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8

Самые употребляемые числа имеют не больше 12 разрядов. Числа, которые имеют больше 12 разрядов,

относятся к группе больших чисел.

Когда запись натурального числа состоит из одного знака — одной цифры, его называют однозначным

числом.

• числа 1, 5, 8 — однозначные числа.

Если запись числа состоит из 2-х знаков — двух цифр, его называют двузначным числом.

• числа 14, 33, 28, 95 — двузначные числа,

• числа 386, 555, 951 — трехзначные числа,

• числа 1346, 5787, 9999 — четырехзначные числа и т. д.

Обозначение натуральных чисел:

Множество натуральных чисел обозначают символом N.

Таблица натуральных (простых) чисел до 10 000.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые

цифры справа – это класс единиц, 3 следующие – это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и

так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом.

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например, число 7

меньше 11 (записывают так: 7 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 99.

Классы

Разряды

1-й класс   единицы

1-й разряд    единицы

2-й разряд   десятки

3-й разряд   сотни

2-й класс    тысячи

1-й разряд    единицы тысяч

2-й разряд   десятки тысяч

3-й разряд   сотни тысяч

3-й класс    миллионы

1-й разряд    единицы миллионов

2-й разряд   десятки миллионов

3-й разряд   сотни миллионов

4-й класс    миллиарды

1-й разряд    единицы миллиардов

2-й разряд   десятки миллиардов

3-й разряд   сотни миллиардов

Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го

класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса —

ептиллионы.

Основные свойства натуральных чисел.

• Коммутативность сложения.  a + b = b + a

• Коммутативность умножения. ab = ba

• Ассоциативность сложения. (a + b) + c = a + (b + c)

• Ассоциативность умножения.

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

Действия над натуральными числами.

     1. Сложение натуральных чисел результат: сумма натуральных чисел.

Формулы для сложения:

а + b = b + а

(а + b) + с = а + (b + с)

а + 0 = 0 + а = а

В основном, сложение натуральных чисел выполняется «столбиком».

     2. Вычитание натуральных чисел – операция, обратная сложению: разница натуральных чисел.

Если в + с = а, то

Если а = в, то а - b = а – а = 0

Формулы для вычитания:

(а + b) – с = (а - с) + b

а – (b + с) = (а - b) – с

а + (b – с) = (а + b) – с

а – (b - с) = а – b + с

Вычитание натуральных чисел удобно производить «столбиком».

     3. Умножение натуральных чисел: произведение натуральных чисел.

Формулы для умножения:

а ∙ b = b ∙ а

а ∙ b ∙ с = а ∙ (b ∙ с)

(а + b) ∙ с= а ∙ с + b ∙ с

(а – b) ∙ с = а ∙ с – b ∙ с

а ∙ 1 = 1 ∙ а = а

а ∙ 0 = 0 ∙ а = 0

0 ∙ 0 = 0

1 ∙ 1 = 1

Умножение лучше выполнять «столбиком».

     4. Деление натуральных чисел – операция, обратная операции умножения.

Если b ∙ с = а, то

Формулы для деления:

а : 1 = a

a : a = 1, a ≠ 0

0 : a = 0, a ≠ 0

(а ∙ b) : c = (a :c) ∙ b

(а ∙ b) : c = (b :c) ∙ a

(a ∙ b) : c = a : (b ∙ c)

Деление лучше выполнять в столбик.

Числовые выражения и числовые равенства.

Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением.

Например, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами.

У равенства есть левая и правая части.

Порядок выполнения арифметических действий.

Сложение и вычитание чисел – это действия первой степени, а умножение и деление - это действия

второй степени.

Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно

слева направо.

Когда выражения состоят из действия только первой и второй степени, то сначала выполняют действия

второй степени, а потом - действия первой степени.

Когда в выражении есть скобки – сначала выполняют действия в скобках.

Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.