Материал для урока по математике "Уравнение с одной переменной"

Равенство с переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменной х. Любое значение переменной, при котором f(х) и g(х) принимают равные числовые значения, называется корнем такого уравнения. Следовательно, решить уравнение – значит найти все корни уравнения или доказать, что их нет.

Уравнение x² + 1 = 0 не имеет действительных корней, но имеет корни мнимые: в данном случае это корни х₁ = i, х₂ = -i. В дальнейшем нас же будут интересовать лишь действительные корни уравнения.

Если уравнения имеют одинаковые корни, то они называются равносильными. Те уравнения, которые корней не имеют, относятся к равносильным.

Определим, равносильны ли уравнения:

а) х + 2 = 5 и х + 5 = 8

1. Решим первое уравнение

х + 2 = 5

х = 5 – 2

х = 3

2. Решим второе уравнение

х + 5 = 8

х = 8 – 5

х = 3

Корни уравнений совпадают, поэтому х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны.

б) x² + 1 = 0 и 2x² + 5 = 0

Оба данных уравнения не имеют действительных корней, поэтому являются равносильными.

в) х – 5 = 1 и x² = 36

1. Найдем корни первого уравнения

х – 5 = 1

х = 1 + 5

х = 6

2. Найдем корни второго уравнения

x² = 36

х₁ = 6, х₂ = -6

Корни уравнений не совпадают, поэтому х – 5 = 1 и x² = 36 неравносильны.

При решении уравнения его стараются заменить равносильным, но более простым уравнением. Поэтому важно знать, в результате каких преобразований данное уравнение переходит в уравнений, равносильное ему.

Теорема 1. Если в уравнении из одной части в другую перенести какое-либо слагаемое, изменив при этом знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение x² + 2 = 3х равносильно уравнению x² + 2 – 3х = 0.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю) , то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение (x² – 1) /3 = 2х равносильно уравнению x² – 1 = 6х. Обе части первого уравнения мы умножили на 3.

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах = b, где а и b – действительные числа, причем а называется коэффициентом при переменной, а b – свободным членом.

Рассмотрим три случая для линейного уравнения ах = b.

1. а ≠ 0. В таком случае х = b/а (т. к. а отлично от нуля) .

2. а = 0, b = 0. Уравнение примет вид: 0 ∙ х = 0. Это уравнение верно при любом х, т. е. корень уравнения – любое действительное число.

3. а = 0, b ≠ 0. В данном случае уравнение не будет иметь корней, т. к. деление на нуль запрещено (0 ∙ х = b) .

В результате преобразований многие уравнения сводятся к линейным.

Весь материал – смотрите документ.

Уравнения с одной переменной

Равенство с переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменной х. Любое значение переменной, при котором f(х) и g(х) принимают равные числовые значения, называется корнем такого уравнения. Следовательно, решить уравнение – значит найти все корни уравнения или доказать, что их нет.

Уравнение x² + 1 = 0 не имеет действительных корней, но имеет корни мнимые: в данном случае это корни х₁ = i, х₂ = -i. В дальнейшем нас же будут интересовать лишь действительные корни уравнения.

Если уравнения имеют одинаковые корни, то они называются равносильными. Те уравнения, которые корней не имеют, относятся к равносильным.

Определим, равносильны ли уравнения:

а) х + 2 = 5 и х + 5 = 8

1. Решим первое уравнение

х + 2 = 5

х = 5 – 2

х = 3

2. Решим второе уравнение

х + 5 = 8

х = 8 – 5

х = 3

Корни уравнений совпадают, поэтому х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны.

б) x² + 1 = 0 и 2x² + 5 = 0

Оба данных уравнения не имеют действительных корней, поэтому являются равносильными.

в) х – 5 = 1 и x² = 36

1. Найдем корни первого уравнения

х – 5 = 1

х = 1 + 5

х = 6

2. Найдем корни второго уравнения

x² = 36

х₁ = 6, х₂ = -6

Корни уравнений не совпадают, поэтому х – 5 = 1 и x² = 36 неравносильны.

При решении уравнения его стараются заменить равносильным, но более простым уравнением. Поэтому важно знать, в результате каких преобразований данное уравнение переходит в уравнений, равносильное ему.

Теорема 1. Если в уравнении из одной части в другую перенести какое-либо слагаемое, изменив при этом знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение x² + 2 = 3х равносильно уравнению x² + 2 – 3х = 0.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение (x² – 1)/3 = 2х равносильно уравнению x² – 1 = 6х. Обе части первого уравнения мы умножили на 3.

Линейным уравнением с одной переменной  называется уравнение вида ах = b, где а и b – действительные числа, причем а называется коэффициентом при переменной, а b – свободным членом.

Рассмотрим три случая для линейного уравнения ах = b.

1. а ≠ 0. В таком случае х = b/а (т.к. а отлично от нуля).

2. а = 0, b = 0. Уравнение примет вид: 0 ∙ х = 0. Это уравнение верно при любом х, т.е. корень уравнения – любое действительное число.

3. а = 0, b ≠ 0. В данном случае уравнение не будет иметь корней, т.к. деление на нуль запрещено (0 ∙ х = b).

В результате преобразований многие уравнения сводятся к линейным.

Решим уравнения

а) (1/5)х + 2/15= 0

1. Перенесем компонент 2/15 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Такое преобразование регламентируется теоремой 1. Итак, уравнение примет вид: (1/5)х = -2/15.

2. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 15. Сделать это позволяет нам теорема 2. Итак, уравнение примет вид:

(1/5)х ∙ 15= – 2/15 ∙ 15

3х = -2

х = -2/3.

Т.о., корень уравнения равен -2/3.

б) 2/3 + х/4 + (1 – х)/6 = 5х/12 – 1

1. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 12 (по теореме 2). Уравнение примет вид:

12(2/3 + х/4 + (1 – х)/6) = 12(5х/12 – 1)

8 + 3х + 2 – 2х = 5х – 12

10 + х = 5х – 12

2. Пользуясь теоремой 1, «соберем» все числа справа, а компоненты с х – слева. Уравнение примет вид:

10 +12 = 5х – х

22 = 4х

х = 22/4

х = 5,5

Т.о., корень уравнения равен 5,5.