Линейные уравнения с двумя переменными

Цели урока: 

Образовательные:

• повторить тему: «Уравнения. Линейные уравнения. Равносильные уравнения и их свойства»;
• обеспечить усвоение учащимися понятия  линейных уравнений с двумя переменными и их решением.

Развивающие:

• формировать интеллектуальные способности:
• умение сравнивать, строить аналоги, выделять  главное;
• умение обобщать и систематизировать пройденный материал;
• развивать логическое мышление, память, воображение, математическую речь;
• развивать активную познавательную деятельность. 

Воспитательные:

• воспитывать самостоятельность, активность, заинтересованность  учащихся  на всех этапах урока;
• формировать такие качества характера, как усидчивость, настойчивость, целеустремлённость. 

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Повторение пройденного материала

1)  На доске записи: 2х,  2х + 5 , 2х + 5 = 17.

2) Вопросы к классу:

– Дайте определение этим выражениям. (Ожидаемые ответы: произведение, одночлен,  сумма, многочлен, уравнение.)
– Что называется уравнением?
– Уравнение нужно…? (Решать)
– Что значит «решить уравнение»?
– Что является корнем уравнения?
– Какие уравнения являются равносильными?
– Какие свойства равносильности уравнений вы знаете?

III. Актуализация знаний учащихся

3) Задание всему классу:

– Преобразуйте выражения:(двое работают у доски). 

а) 2(х + 8) + 4(2х – 4) =                 б) 4(х – 2) + 2(3у + 4) =

После преобразования получили: а) 10х;    б) 4х + 6у:

– С помощью их составьте уравнения (ученики предлагают – учитель записывает уравнения на доске):

10х = 30;      4х + 6у = 28.

Вопросы:

– Как называется первое уравнение?
– Почему линейное?
– Сравните  второе уравнение с первым. Попробуйте сформулировать определение второго уравнения (Ожидаемый ответ: уравнение с двумя переменными; акцентируется внимание учащихся на  вид уравнения – линейное).

IV. Изучение нового материала

1) Объявляется тема урока. Запись темы в тетрадях. Самостоятельное  формулирование   учащимися определения уравнения с двумя переменными, линейного уравнения с двумя переменными (по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной), примеры уравнений с двумя переменными. Обсуждение проходит в форме фронтальной  беседы, диалога – рассуждения.

2) Задание  классу:

а) Напишите по два линейных уравнения с двумя переменными (учитель и ученики прослушивают ответы нескольких учеников; по выбору учителя один из них записывает свои уравнения на доске). 

б) Совместно с учениками определяются задачи  и вопросы, на которые они должны получить ответ на данном уроке.  Каждый ученик получает карточки с этими вопросами.

в) Работа с учащимися по решению этих вопросов и задач:

– Определите, какие из этих уравнений являются линейными  уравнениями с двумя переменными а) 6х² = 36; б) 2х – 5у = 9:  в) 7х + 3у³; г) 1/2х + 1/3у = 6 и т.д. Проблема может возникнуть с уравнением  х : 5 – у : 4 = 3 (знак деления нужно записать в виде дроби). Какие свойства равносильности уравнений нужно применить? (Ответы учащихся) Определите значения коэффициентов  а, в и с.

– Линейные уравнения с двумя переменными, как и все уравнения нужно решать. Что же является решением линейных уравнений с двумя переменными? (Дети дают определение).

Пример: Найдите решения уравнения: а) х – у = 12, ответы запишем в виде (х; у) или  х = …;  у = ….  Сколько решений имеет уравнение?

Примеры:  Найдите решения следующих уравнений  а) 2х + у = 7; б) 5х – у = 4.  Как вы нашли решения этих уравнений? (Подбирали).

– Как узнать, является ли пара чисел решением линейного уравнения с двумя переменными?

3) Работа с учебником.

– Найти в учебнике те места, где выделена главная мысль темы данного урока

а) Устное выполнение заданий: №1092,  №1094.

б) Решение примеров №1096 (для слабых учащихся),  №1097 (для сильных).

в) Повторить свойства равносильности уравнений.

Задание: применяя свойства равносильности уравнений, выразите переменную У через переменную Х в уравнении 5х + 2у = 12 («минута» на самостоятельное решение, затем общий обзор решения на доске  с последующим объяснением).

г) Выполнение примера  № 1099 (один из учащихся выполняет  задание у доски).

Историческая справка

1. Ребята,  уравнения, с которыми мы сегодня познакомились на уроке, называются  Диофантовыми  линейными уравнениями с двумя переменными, по имени древнегреческого учёного и математика Диофанта, жившего около 3,5 тысяч лет тому назад. Древние математики сначала составляли задачи, а затем трудились над их решением. Таким образом, было составлено множество задач, с которыми мы и знакомимся, и учимся их решать.

2. А также эти уравнения называются неопределёнными уравнениями. Над решением таких уравнений трудились многие математики. Одним из них является Пьер Ферма – французский математик. Он занимался теорией решения неопределённых уравнений.

V. Итог урока.

Линейные уравнения с двумя переменными.

Цели урока:

• Образовательные:

  • повторить тему: «Уравнения. Линейные уравнения. Равносильные уравнения и их свойства»;

  • обеспечить усвоение учащимися понятия  линейных уравнений с двумя переменными и их решением.

• Развивающие:

  • формировать интеллектуальные способности:

  • умение сравнивать, строить аналоги, выделять  главное;

  • умение обобщать и систематизировать пройденный материал;

  • развивать логическое мышление, память, воображение, математическую речь;

  • развивать активную познавательную деятельность. 

• Воспитательные:

  • воспитывать самостоятельность, активность, заинтересованность  учащихся  на всех этапах урока;

  • формировать такие качества характера, как усидчивость, настойчивость, целеустремлённость. 

Задачи, которые должен решать учитель, на уроке:

• учить выделять главную мысль в тексте;

• учить задавать вопросы учителю, самому себе или ученикам;

• учить использовать приобретённые знания для решения нестандартных задач;

• учить умению математически правильно высказать  свою мысль.

Задачи, которые должны  решать ученики на данном уроке: 

• знать определение линейного уравнения с двумя переменными;

• уметь составлять простые линейные уравнения;

• уметь правильно находить значения переменных а, в  и с; 

• уметь выделять среди уравнений линейные уравнения с двумя переменными; 

• ответить на вопрос: что является решением линейного уравнения с двумя переменными?

• как узнать: является ли пара чисел решением уравнения?   

• уметь выразить одну переменную через другую.

Тип урока: урок  усвоения нового материала.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Повторение пройденного материала

1)  На доске записи: 2х,  2х + 5 , 2х + 5 = 17.

2) Вопросы к классу:

– Дайте определение этим выражениям. (Ожидаемые ответы: произведение, одночлен,  сумма, многочлен, уравнение.)
– Что называется уравнением?
– Уравнение нужно…? (Решать)
– Что значит «решить уравнение»?
– Что является корнем уравнения?
– Какие уравнения являются равносильными?
– Какие свойства равносильности уравнений вы знаете?

III. Актуализация знаний учащихся

3) Задание всему классу:

– Преобразуйте выражения:(двое работают у доски). 

а) 2(х + 8) + 4(2х – 4) =                 б) 4(х – 2) + 2(3у + 4) =

После преобразования получили: а) 10х;    б) 4х + 6у:

– С помощью их составьте уравнения (ученики предлагают – учитель записывает уравнения на доске): 10х = 30;      4х + 6у = 28.

Вопросы:

– Как называется первое уравнение?
– Почему линейное?
– Сравните  второе уравнение с первым. Попробуйте сформулировать определение второго уравнения (Ожидаемый ответ: уравнение с двумя переменными; акцентируется внимание учащихся на  вид уравнения – линейное).

IV. Изучение нового материала

1) Объявляется тема урока. Запись темы в тетрадях. Самостоятельное  формулирование   учащимися определения уравнения с двумя переменными, линейного уравнения с двумя переменными (по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной), примеры уравнений с двумя переменными. Обсуждение проходит в форме фронтальной  беседы, диалога – рассуждения.

2) Задание  классу:

а) Напишите по два линейных уравнения с двумя переменными (учитель и ученики прослушивают ответы нескольких учеников; по выбору учителя один из них записывает свои уравнения на доске). 

б) Совместно с учениками определяются задачи  и вопросы, на которые они должны получить ответ на данном уроке.  Каждый ученик получает карточки с этими вопросами.

в) Работа с учащимися по решению этих вопросов и задач:

– Определите, какие из этих уравнений являются линейными  уравнениями с двумя переменными а) 6х² = 36; б) 2х – 5у = 9:  в) 7х + 3у³; г) 1/2х + 1/3у = 6 и т.д. Проблема может возникнуть с уравнением  х : 5 – у : 4 = 3 (знак деления нужно записать в виде дроби). Какие свойства равносильности уравнений нужно применить? (Ответы учащихся) Определите значения коэффициентов  а, в и с.

– Линейные уравнения с двумя переменными, как и все уравнения нужно решать. Что же является решением линейных уравнений с двумя переменными? (Дети дают определение).

Пример: Найдите решения уравнения: а) х – у = 12, ответы запишем в виде (х; у) или  х = …;  у = ….  Сколько решений имеет уравнение?

Примеры:  Найдите решения следующих уравнений  а) 2х + у = 7; б) 5х – у = 4.  Как вы нашли решения этих уравнений? (Подбирали).

– Как узнать, является ли пара чисел решением линейного уравнения с двумя переменными?

3) Работа с учебником.

– Найти в учебнике те места, где выделена главная мысль темы данного урока

а) Устное выполнение заданий: №1092,  №1094.

б) Решение примеров №1096 (для слабых учащихся),  №1097 (для сильных).

в) Повторить свойства равносильности уравнений.

Задание: применяя свойства равносильности уравнений, выразите переменную У через переменную Х в уравнении 5х + 2у = 12 («минута» на самостоятельное решение, затем общий обзор решения на доске  с последующим объяснением).

г) Выполнение примера  № 1099 (один из учащихся выполняет  задание у доски).

Историческая справка

1. Ребята,  уравнения, с которыми мы сегодня познакомились на уроке, называются  Диофантовыми  линейными уравнениями с двумя переменными, по имени древнегреческого учёного и математика Диофанта, жившего около 3,5 тысяч лет тому назад. Древние математики сначала составляли задачи, а затем трудились над их решением. Таким образом, было составлено множество задач, с которыми мы и знакомимся, и учимся их решать.

2. А также эти уравнения называются неопределёнными уравнениями. Над решением таких уравнений трудились многие математики. Одним из них является Пьер Ферма – французский математик. Он занимался теорией решения неопределённых уравнений.

V. Итог урока

1)  Обобщение пройденного материала на уроке. Ответы  на все вопросы, поставленные перед учениками в начале урока:

– Какие уравнения называются линейными с двумя переменными?
– Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?
– Как записывается это решение?
– Какие уравнения называются равносильными?
– Назовите свойства равносильности уравнений?
– Какие задачи мы на уроке решали, на какие вопросы отвечали?

2) Выполнение самостоятельной работы.

Для слабых:

– Найдите значения переменных а, в и с  в  уравнении  –1,1х + 3,6у = – 34?
– Найдите хотя бы одно решение уравнения х – у = 35?
– Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного линейного уравнения с двумя переменными  2х – у = 4?

Для сильных:

– Составьте  линейное  уравнение с двумя переменными  к задаче Диофанта: Во дворе дома ходят  фазаны и кролики. Количество всех ног оказалось равным 26.
– Выразите переменную   у   через  х   в уравнении  3х – 5у = 8.

VI. Сообщение домашнего задания