Логарифмы и их свойства

Логарифмы и их свойства.

Последовательность изложения материала.

1.История развития логарифма

2Логарифм с произвольным основанием. Основное логарифмическое тождество.

3.Основные тождества логарифмирования и потенцирования Логарифмирование и потенцирование выражений.

4.Формула перехода от одного основания логарифмов к другому

5. Натуральные логарифмы. Десятичные логарифмы.

1.История логарифма.

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное.

Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos – «отношение» и ariqmo – «число», которое означало «число отношений». Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales - «искусственные числа», в противоположность numeri naturalts – «числам естественным».

В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы.

Термин «натуральный логарифм» ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием «Новые логарифмы» лондонский учитель Джон Спейдел.

Таким образом, прошло 394 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены (считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.

2.Определение: Логарифмом числа х по основанию а называются показатель степени в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число х.

у =log _aх; а^у=х; а^{loga х} =х-основное логарифмическое тождество.

Пример: 1) 2⁴=16, поэтому log ₂16=4 2) 2^-3=1\8, поэтому log₂8=-3 3) 6⁰=1, поэтому log ₆1=0.

Свойства логарифма, вытекающие из определения.

1. Логарифм единицы равен нулю, т. е. log_a1=0.

2. Логарифм основания равен единице, т.е.log_aa=1.

3. Для любого положительного числа х существует одно и только одно действительное число у, такое, что log_aх=у.

4. Из равенства log_aх₁=log_aх_2,следует х₁=х₂ (и наоборот).

Определить логарифм по данному числу и данному основанию. Определить основание логарифмирования по числу и логарифму. Определить число по логарифму и основанию.

Выполнить упражнения, заполнить пропуски:

1.log₂16=…,так как 2^…=16, log₂(1\8)=…,так как 2^…=(1\8), log₂1=…,так как 2^…=1.

2. log 25=…,так как ^…=25, log_…16=4,так как …⁴=16, log₂...=3,так как 2³=8,

log…(1\32)=-5,так как 2^…=1\8.

3.2^log₅⁵=…, (1\2)^log₅⁵=…, 5^log...4=…, 5^log...4=….

3.Переход от выражения к его логарифму называется логарифмированием.

Операция, обратная логарифмированию, называется потенцированием.

Основные тождества логарифмирования и потенцирования.

1. log_a(МN)= log_a M+ log_a N. 3. log_a N^m= mlog_a N.

2. log_a(М\N)= log_a M- log_a N.

Примеры: 1. Прологарифмировать: а) х = . Ответ: log х= logа+ logв-3 logс.

б) х =

2. Пропотенцировать: log х= 1\3logа+ 1\2logв. Ответ: х= .

4. Формула перехода от одного основания логарифмов к другому.

log_aN= , где -модуль логарифма.

log

5.log_aN=lgN=десятичный логарифм, log_eN = lnN-натуральный логарифм.

lgN=lnN\ln10=0,434lnN,lnN=2,3lgN,lge=1\ln10;lge=0,434;ln10=2,3.

Литература:

1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998.

2. Шахмейстер А.Х. Логарифмы.-2-е изд., исправленное и дополненное - СПб.: «ЧеРо-наНеве»,2005.

3. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках.- М.:Просвещение,1981.

4. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,1994.

5. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,1994.

6. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ.- М.:Мнемозина,2004.

1. Большая электронная энциклопедия «Кирилл и Мефодий»: 2004