Линейные уравнения с параметром

Цель работы:

1) Ввести понятия:

  а) параметр;

  б) уравнения с параметрами;        

  в) системы допустимых значений параметров;

  г) равносильность для уравнений с параметрами.

2) Рассмотреть общие принципы для решения линейных уравнений с параметрами.

В процессе решения существенную роль играет теорема о равносильности.

Два уравнения, содержащие одни и те же  параметры, называют  равносильными, если: они  имеют смысл при одних и тех  же значениях параметров; каждое решение первого  уравнения является решением второго и наоборот.

Необходимость рассматривать уравнения с буквенными коэффициентами возникает часто. Прежде всего это полезно тогда, когда формулируются некоторые общие свойства, присущие не одному конкретному уравнению, а целому классу уравнений. Разумеется, то, что в уравнении одни буквы мы считаем неизвестными, а другие – параметрами, в значительной степени условно. В реальной практике из одного и того же соотношения между переменными приходится выражать одни переменные через другие, то есть решать уравнение относительно одной  буквы, считая ее обозначением неизвестного, а другие буквы параметрами.

При решении уравнений с параметрами чаще всего встречаются две задачи:

1) Найти формулу для решения уравнения;

2) Исследовать решения уравнения в зависимости от изменения значений параметров.

МБОУ «Тумакская СОШ»

Работу выполнила уч-ца 9 класса Асхарова Альбина

Куратор Мулдашева А.Р.

Цель работы:

• 1)Ввести понятия:

а) параметр;

б) уравнения с параметрами;

в) системы допустимых значений параметров;

г) равносильность для уравнений с параметрами.

• 2)Рассмотреть общие принципы для решения линейных уравнений с параметрами.

• Рассмотрим уравнения вида: , где

переменные.

Переменные , которые при решения уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

• Параметры договорились обозначать первыми буквами латинского алфавита , а неизвестные Исследовать и решить уравнение с параметрами – это значит:
• 1.Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
• 2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

• В процессе решения существенную роль

играет теорема о равносильности.

• Теорема.

Два уравнения, со-держащие одни и те же параметры, называют равносильными, если: они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

• Определение

Система значений пара-метров , при которых левая и правая части неравенства имеют смысл в области действительных чисел, называют системой

допустимых значений

параметров.

• Определение: Уравнение вида

где - выражения, зависящие от параметров,

переменная, называют линейным.

• Перепишем уравнение в виде:

• 1) Если А=В=0, то уравнение примет вид: 0 x =0.При любом значении x это равенство верно. Значит уравнение имеет бесчисленное множество корней, x – любое число.

• Возможны три случая :

• 2)Если А=0,В , то уравнение примет вид 0 x =В. Корней нет.

• 3) Если А , то уравнение имеет единственный

корень:

Пример 1:Исследовать и решить уравнение с параметром:

• 2 ) При а=2 уравнение примет вид 0х=1. Корней нет.

• 1)При а=1 уравнение примет вид: 0х=0.Это равенство верно при любом х, значит

х

• 3) При и уравнение имеет один корень:

или

Графическая иллюстрация исследования по параметру а:

Ответ: 1).При а=1, х- любое число,

2).При а=2, решений нет,

3).При и , .

Пример 2. Решить уравнение с параметром:

Разложим на множители левую и правую часть уравнения. Получим:

1) Если а=1, то уравнение примет вид: 0 x =0. Уравнение имеет бесчисленное множество корней. х

2)Если , то уравнение имеет один корень

или

Графическая иллюстрация исследования по параметру а:

Ответ: 1).При а=1, х- любое число,

2).При , .

• Исследовать и решить уравнения с параметром.

• Данное уравнение равносильно с учетом D(y):

- канонический вид линейного уравнения с параметром, наиболее удобный для исследования.

а) Если , то существует единственное решение:

б) Выясним, при каких значениях параметра m x=-3.

то есть, при m =-0,4

в) Если m=2,25, то 0 x=26,5 , следовательно, решений нет .

Графическая иллюстрация исследования по параметру а:

Ответ: 1)При единственное решение .

2)При m=2,25 .

3) При m=-0,4 .

4) При m=1 уравнение не определено или не имеет смысла.

Тренировочные упражнения.

• Решить и исследовать уравнения с параметром:

4).

1).

5).

2).

3).

6).

7).

Вывод:

• Необходимость рассматривать уравнения с буквенными коэффициентами возникает часто. Прежде всего это полезно тогда, когда формулируются некоторые общие свойства, присущие не одному конкретному уравнению, а целому классу уравнений. Разумеется, то, что в уравнении одни буквы мы считаем неизвестными, а другие – параметрами, в значительной степени условно. В реальной практике из одного и того же соотношения между переменными приходится выражать одни переменные через другие, то есть решать уравнение относительно одной буквы, считая ее обозначением неизвестного, а другие буквы параметрами.

• При решении уравнений с параметрами чаще всего встречаются две задачи:

1)Найти формулу для решения уравнения;

2) Исследовать решения уравнения в зависимости от изменения значений параметров.

• В простейших случаях, как мы убедились, решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага –преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения.

• Исследование линейного уравнения с параметром - это первый шаг в познании методов исследования систем линейных уравнений с большим количеством неизвестных, которые имеют широкое применение на практике.

• Так, в задачах математической экономики можно найти системы, состоящие из нескольких сотен уравнений с таким же примерно числом неизвестных. Для их решения разработаны мощные машинные методы. Основную роль при этом играют компактные способы записи систем и их преобразований. Представьте себе: система из тысячи уравнений с тысячью неизвестными содержит миллион коэффициентов.

• Мы пока стоим на пороге познания методов исследования реальных процессов. Математика дает нам универсальные методы для будущей профессиональной работы в области ЭКОНОМИКИ.