Уравнение (неравенство) с параметрами (методический материал)

Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:

ax+1=4

Пример нелинейного уравнения с параметром:

Log _x² (a+3) /(7-x) = 5

где x — независимая переменная a — параметр.

Аналогично подразделяются и неравенства. Ниже будут представлены примеры решений уравнений и неравенств с параметрами.

Весь материал - в документе.

Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:

Пример нелинейного уравнения с параметром:

где  — независимая переменная  — параметр.

Аналогично подразделяются и неравенства. Ниже будут представлены примеры решений уравнений и неравенств с параметрами.

Примеры

Пример 1.При каком квадратное уравнение имеет ровно один корень?

Решение. Любое квадратное уравнение имеет одно решение, когда его дискриминант равен нулю. Итак, дискриминант нашего уравнения: . Далее имеем: , откуда .

Ответ:.

Пример 2. При каком система уравнений :

.

имеет ровно два решения?

Решение. Сначала надо преобразовать два уравнения системы, выделив в них полные квадраты:

Нетрудно догадаться, что эти два равенства системы есть ни что иное, как уравнения окружностей. Первая окружность имеет центр в точке , радиус , а вторая центр в точке и радиус . Если построить схематично эти окружности в одной системе координат, то можно заметить, что их общих точек пересечения будет две в том случае, если . И задачу можно считать решённой.

Ответ:.

Пример 3. При всех решить неравенство .

Решение. Рассмотрим три случая:

1. Если , то неравенство приобретает вид ;

2. Если , то все коэффициенты квадратного трехчлена будут положительны, значит, решение неравенства можно представить в виде , где , - корни многочлена и . Далее находим:

Следовательно, , если и , если .

3. Если , то ветви параболы направлены вниз, естественно решение в общем виде будет выглядеть вот так: .

Нам остается лишь записать ответ.

Ответ: если , то ; если , то ; если , то ; если , то .