Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений

Максимова И.В. МБОУ «СОШ № 4», г. Черногорск

Методическая разработка

урока алгебре в 8 классе

Тема урока: Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с применением компьютерных технологий.

Методы обучения: Проблемный, наглядный, коммуникативный, частично-поисковый. Данные методы обеспечивают высокую результативность в работе и, главное, развитие мышления учащихся, их познавательных интересов.

Формы обучения: Фронтальная, групповая, индивидуальная

Приемы деятельности учителя: Проблемное изложение нового материала; организация поисковой работы в группах; самостоятельной работы обучающихся; оценка работы обучающихся и коррекция.

Оборудование и материалы к уроку

Оборудование, ТСО: 1. Компьютер, интерактивная доска.

2. Дидактический материал к уроку: Презентация к уроку, тест, задания № 4 модуль «Алгебра» (ОГЭ 2017).

Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД:

Познавательные УУД: поиск и выделение необходимой информации для решения квадратных уравнений; выбор методов решения квадратных уравнений в зависимости от их типа; выдвижение.

Коммуникативные УУД: сотрудничество в поиске и сборе информации; умение выражать свои мысли.

Регулятивные УУД: прогнозирование, контроль, коррекция, рефлексия, оценка, саморегуляция.

Личностные УУД: формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний.

Ход урока.

1. Организационное начало урока

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы”.

Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.

2. Сообщение темы и цели урока.

А) постановка проблемы.

- Посмотрите на доску. Это лишь некоторые задания экзаменационной работы 9 класса. На сегодняшний день мы не знаем многих тем и алгоритмов решения некоторых заданий.

Но как вы думаете, что их объединяет?

Для их выполнения нужно уметь решать квадратные уравнения.

Применение тестовой системы приводит к необходимости в быстром решении уравнений. Поэтому мы должны научиться приемам, которые помогут экономить время и эффективно решать квадратные уравнения.

- А что для этого нужно знать? (способы решения квадратных уравнений)

Тема урока «Квадратные уравнения. Способы их решения»

- Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?

- Другими словами обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо?

(Для возможности выбора рационального пути решения).

- Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.

- Откройте тетради. Запишите число. Классная работа.

3. Обобщение и систематизация знаний.

а) актуализация знаний учащихся.

- Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения.

- Какое уравнение называется квадратным?

- От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

- По какой формуле вычисляется дискриминант ?

Закончите таблицу (3 ученика к доске)

- Понятие Д придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов.

- Проверим составленную таблицу.

- Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта.

Проведем цифровой диктант.

- Вычислим дискриминант.

- Укажите количество корней уравнения 2, 1 или 0.

- Запишите полученное пятизначное число.

Проверка 10220

- Можно ли, не решая уравнения, определить, имеет ли оно корни или нет?
(Да, можно. Уравнение всегда имеет  корни, если  первый коэффициент и свободный член имеют противоположные знаки.)
- А если они одного знака?
-(Тогда надо находить дискриминант)

Имеет ли корни квадратное уравнение 2x²​+5x−7=0?

1) применение формул корней квадратного уравнения.

Задание 1. Решите уравнение 2x²​+5x−7=0. (самостоятельно)

- К какому виду относится следующее квадратное уравнение x²​−7x=8.

(приведенное)

- Какую теорему используют для решении приведенных квадратных уравнений ?

(т. Виета)

- Напомним формулировку теоремы Виета и обратной ей.

- Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603) был по профессии адвокатом. Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занялся этими науками и вскоре пришёл к выводу о необходимости их усовершенствования, над чем и проработал ряд лет.

Виет сделал много открытий, но сам он больше всего ценил зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которая теперь называется «теоремой Виета».

«Если числа m и n  таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х² + p x + q = 0».

- Как будем рассуждать при подборе корней этого уравнения x²​−7x- 8=0.

2) подбор корней с применением теоремы Виета

Задание 2. Найдите корни квадратного уравнения x² ​−7x - 8=0. (

Задание 3. Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения х²+7х-11=0.

- Не решая уравнения, найдите значение выражения .

- Какую теорему применили?

Задание 4. Работа в группах.

Решить уравнения, составить таблицу.

Таблица 1. (Группа 1,3)

Вывод: Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 сумма коэффициентов равна нулю (а + в + с = 0), то один из корней равен 1, а другой .

Вывод: Пусть дано квадратное уравнение ах² + вх +с = 0. Если а – в + с = 0 или в = а + с, то х₁ = –1, х₂ = – .
Запись на доске и в тетрадях.

Это ещё один способ решения квадратных уравнений

3) применение свойств коэффициентов.

Задание 5. Выберите уравнения, которые можно решить, используя это свойство?

Запишите корни.

203х²+220х+17=0

5x²​−9x+4=0.

x²+6x−16=0 

25х² – 20х – 5 = 0

2х² – 11х + 15 = 0.

Проверка

- Чем удобен это способ?

( позволяет устно найти корни уравнения)

Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть еще специальные и общие методы. Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности. И оценим его “перспективы”.

4) Метод “переброски” старшего коэффициента.

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y²+by+ac=0, которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения. и 

Пример: решите уравнение

2х² - 9х - 5=0

заменим приведенным квадратным уравнением с “переброской” коэффициента а

( D0 ), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

вернемся к корням исходного уравнения

Ответ: 5; -0,5

Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

Задание 6. Решение одного уравнения разными способами.

Решите уравнение х² - 4х + 3 = 0 различными методами

- У доски 5 обучающихся. Метод, которым придется решать, написан в произвольно выбираемой карточке: 1) по общей формуле; 2) по формуле с четным вторым коэффициентом; 3) по теореме Виета; 4) по сумме коэффициентов; 5) графическим способом.

- Каким из способов проще и быстрее решить данное уравнение?

Задание 7. Тестирование с самопроверкой.

-Чтобы проверить, как вы умеете применять, полученные знания выполним тест. (Приложение 1.)

Время выполнения теста 5 - 7 минут. Выпишите буквенный код в тетрадь.

- Свои предварительные результаты вы можете узнать уже сейчас. Проверьте правильность выполнения заданий. Критерии выставлении оценки следующие :

Критерии оценки

«5» - 5 заданий

«4» - 4 задания

«3» - 3 задания

«2» - 1 – 2 задания

4. Подведение итогов.

– Какие способы решения квадратных уравнений существуют.

- Это, конечно, далеко не все способы решения квадратных уравнений.

- Итогом нашей работы будет: заполнение этой блок схемы (фреймана) начнем в классе, а дома вы ее должны продолжить. А так же к каждому виду и способу решения придумать свое уравнение, и решить его. Оформить фреймон необходимо на альбомном листе.

Приложение1 Презентация «Квадратные уравнения»

Тест по теме «Квадратные уравнения»

Вариант 1 ЧАСТЬ 1

А1. Найдите сумму корней уравнения: .

1) -0,25 2) корней нет 3) 0,25 4) 12

А2. Найдите произведение корней уравнения: .

1) -0,5 2) 1 3) 0,5 4) 5

А3. Найдите произведение корней уравнения: .

1) -14 2) 7 3) -7 4) 4

А4. Сколько действительных корней имеет уравнение .

1) 1 2) 2 3) 3 4) ни одного

А5. Сколько действительных корней имеет уравнение . 1) 4 2) 2 3) 3 4) ни одного

А6. Сколько действительных корней имеет уравнение .

1) 3 2) 2 3) 1 4) ни одного.

А7. Найдите значение коэффициента а, если в уравнении один из корней уравнения равен -1.

1) -14 2) -12 3) -2 4) -1

А8. Найдите значение коэффициента b, если в уравнении один из корней уравнения равен 2.

1) -4 2) 4 3) -2 4) 2

А9. Запишите квадратное уравнение, имеющее корни .

1) 2) 3) 4)

А10. Найдите сумму корней уравнения: .

1) 2) корней нет 3) 4)

ЧАСТЬ 2

_В1. Найдите корни уравнения:

Вариант 2 ЧАСТЬ 1

А1. Найдите сумму корней уравнения: .

1) -5 2) 5 3) 2,5 4) -2,5

А2. Найдите произведение корней уравнения: .

1) -0,75 2) 1,5 3) 0,5 4) 0,75

А3. Найдите произведение корней уравнения: .

1) 70 2) -4 3) -70 4) -35

А4. Сколько действительных корней имеет уравнение .

1) 1 2) 2 3) 3 4) ни одного

А5. Сколько действительных корней имеет уравнение . 1) 1 2) 2 3) 3 4) ни одного

А6. Сколько действительных корней имеет уравнение .

1) 3 2) 2 3) 1 4) ни одного.

А7. Найдите значение коэффициента а, если в уравнении один из корней уравнения равен -1.

1) 3 2) -13 3) -3 4) -1

А8. Найдите значение коэффициента b, если в уравнении один из корней уравнения равен 2.

1) -4 2) -7 3) -2 4) -14

А9. Запишите квадратное уравнение, имеющее корни .

1) 2) 3) 4)

А10. Найдите сумму корней уравнения: .

1) 10 2) 6 3) корней нет 4) 4

ЧАСТЬ 2

В1. Найдите корни уравнения: .

Ответы:

Приложение 2

с

НЕПОЛНЫЕ

ПРИВЕДЕННЫЕЕ

ВИДЫ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

ПОЛНЫЕ

Дискриминантт