Квадратные уравнения

Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений

Цель: Научить решать задачи с помощью квадратных уравнений.

Показать историческое и  практическое значение изучаемой темы и межпредметную связь.

Оборудование: Медиапроектор, экран, раздаточный материал

План

1.  Оргмомент

*приветствие

*эпиграф к уроку

В наше время прогресс науки неотделим от достижений талантливых математиков-прикладников. Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец. Наряду с математикой ему необходимо и глубокое знание предмета прикладного исследования.     Б.В.Гнеденко.

2. Домашнее задание

П.47,№№1045,1046,1047

      3.Актуализация

 Слайд №2. Сообщение темы урока.  

Слайд №3.  Карта истории развития решения квадратных уравнений.(выступают учащиеся.

      4.Путешествие «Вокруг света за квадратными уравнениями»

Слайд №4. Квадратные уравнения в Древнем Египте

В египетских папирусах  встречаются задачи  на геометрическую прогрессию и  задачи на вычисление площадей и объёмов. Евклид  (ІІІ в. до н.э.)  решал квадратные уравнения геометрическим  способом.

Слайд №5.  Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне (2000 лет до н.э.)

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности  была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. В клинописных текстах содержатся первые задачи на проценты.

Слайд №6. Квадратные уравнения в Древней Индии.

 В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. По поводу таких соревнований говорилось:

Как солнце блеском своим затмевает звезды,

так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях,

предлагая и решая алгебраические задачи.

Квадратные уравнения вида ах²=b,   ах²+х=b  решаются с отрицательными числами. Вот одна из задач знаменитого индийского математика 12 века Бхаскары.

Слайд №7

Задача

Обезьянок резвых стая

Решение:  (х/8)²+12=х;      х²/64+12=х;   х²+12*64=64х;   х²-64х+768=0;  х₁=16; х₂=48.

Ответ:16;  48.

Слайд №8. Квадратные уравнения в Китае (1 тысячелетие до н.э.).

Квадратные уравнения в Китае применялись к прямоугольному треугольнику и с помощью теоремы Пифагора решались практические задачи.

Слайд №9. Задача №2.«Имеется водоём со стороной 10 чи. В центре его растёт камыш, который выступает  над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

Решение.( х+1)²=х²+5²;     х²+2х+1= х² +25;                   2х=24;   х=12;   12+1=13

Ответ:12чи;  13 чи.

Слайд №10. Квадратные уравнения в  Древней Греции.

Наибольших успехов в решении квадратных уравнений добился греческий ученый Диофант (ІІІв. н. э.), но только с положительными числами. О нём потом писали:

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешил проблем:

И засуху предсказывал, и ливни

Поистине его познанья дивны

Слайд №11.Квадратные уравнения в средневековой Европе (портреты Н.Тартальи, Ф. Виета, Д. Кардано).

Слайд №12. В математике, физике и технике часто встречаются задачи, которые решаются с помощью квадратного уравнения.
Задача №3.Если в начальный момент тело находилось на высоте h₀ над поверхностью Земли, то, в момент времени t оно будет находиться на высоте h, где

h=h₀+v₀t-4,9t²
Задача № 4.Артиллеристам-зенитчикам  приходится решать обратную. Снаряд  выпущен вертикально вверх с начальной скоростью 392м/с. Через какой промежуток времени он окажется на высоте 5880м?

Слайд №13. Решение: h=5880,   v₀=392,  h₀=0 ( так как снаряд летит с поверхности Земли).Получаем   5880=392t-4,9t²,   t²-80t+1200, решаем по теореме, обратной теореме Виета.   Получаем: t₁=20,  t₂=60.Это значит, что снаряд побывает на высоте 5880 м дважды: через 20 с ( поднимаясь вверх) и через 60 с (падая вниз).

Слайд №14.Задачи с геометрическим содержанием

Слайд №15. Задача №5 .

Парус имеет форму прямоугольного треугольника. На его изготовление пошло 15 м²  ткани, длина его большего катета на 3,5 м больше ширины. Какова длина и ширина паруса?

Ответ:4 м:7,5м.

1/2х(х+3,5)=15;                 х²/2+3,5х*0,5-15=0;         х²+3,5х-30=0

2х²+7х-60=0;       D=49+4*2*60=529,     х₁=-7,5;   х₂=4;        х+3,5=7,5(м)

Ответ:4м; 7,5м.

Слайд№16. Задачи с экономическим содержанием

Задача № 6.

Клиент открыл счёт в банке, положив на него 30 000р.Через год он положил на свой счёт ещё 50 000р. В конце второго года на счёте оказалось103200р. Сколько процен-

тов в год платил банк?

Слайд №17.  Формулы простых и сложных процентов (сундуки).

Слайд №18                  S_n=S₀(1+p/100)ⁿ          S_n=S₀(1+pn/100)                                      

Решение. 30 000(1+р/100)²+50 000(1+р/100)=103 200; пусть (1+р/100)=у, тогда

300у²+500у-1032=0;      3у²+5у-10,32;      Д=25+4*3*10,32=148,84;    12,2²

У₁=-17,2/6                        у₂=1,2       1+р/100=1,2    р=20%

Ответ:20%

Слайд №19. Задачи с экономическим содержанием (картинка)

Квадратные уравнения в задачах ХМАО.

Слайд №20.

 Задача №7. На оленеводческой ферме стадо увеличивается в результате естественного прироста и приобретения новых оленей. В начале1991г. стадо составляло 3 000 голов, а в конце года ферма купила ещё 700 голов. В конце 1992г. В стаде насчитывалось 4400 голов. Определите процент естественного прироста оленей.

Слайд №21.

                                          S_n=S₀(1+p/100)ⁿ          S_n=S₀(1+pn/100)                                       

Решение ( на доске).3000(1+х/100)²+700(1+х/100)=4400;  30у²+7у-44=0;    Д=73²,  у=1,1    1+х/100=1.1;     х=10%.

Ответ: 10%

Слайд №22. Итог урока

Что нового узнали на уроке?

Какие сведения останутся в памяти на долго?

Появилось ли желание глубже изучать предмет и самим активнее добывать знания?

Какие навыки  вы приобрели?

Всем большое спасибо!

До следующей встречи.