"Конус. Элементы конуса"

ГЕОМЕТРИЯ

КОНУС

Задача

Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания 6 метров ?

4

6

КОНУС

КОНУС – ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, причем этот катет будет является высотой конуса, второй катет – радиусом конуса, а гипотенуза образующей конуса.

ℓ

Н

r

КОНУС

КРУГОВОЙ КОНУС – ТЕЛО, ОГРАНИЧЕННОЕ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ И КРУГОМ .

Р

r

О

α

КОНУС

ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА

Коническая поверхность – боковая поверхность конуса

КОНУС

ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА

Круг – основание конуса

КОНУС

ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА

Точка Р – вершина конуса

Р

КОНУС

ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА

Образующие конической поверхности – образующие конуса

ℓ

КОНУС

ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА

Прямая, проходящая через центр основания и вершину – ось конуса

О

КОНУС

ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА

Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания – высота конуса

У прямого конуса ось и высота совпадают.

У наклонного конуса ось и высота не совпадают

Н

О

КОНУС

ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА

Радиус основания конуса – радиус конуса

О

r

КОНУС

Боковая поверхность

(коническая поверхность)

Образующие

Основание (круг)

Вершина

Ось

Высота

Радиус

ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА:

КОНУС

СЕЧЕНИЯ КОНУСА

Сечения, проходящее

через ось(осевые)

Сечения, перпендикулярные оси (поперечные)

Сечение, проходящее через вершину, не содержащее ось конуса

Равнобедренный треугольник: боковые стороны – образующие, основание – диаметр конуса

Если равносторонний треугольник – конус называется равносторонним

Равнобедренный треугольник: боковые стороны – образующие, основание – хорда окружности основания

Круг радиуса меньшего, радиуса основания

Конические сечения конуса – линии пересечения секущих плоскостей с боковой поверхностью конуса

Конические сечения широко используются в технике ( эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны ); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.

Усечённый конус

Если плоскостью, параллельной основанию конуса, отсечь от него верхнюю часть, то оставшаяся часть (между секущей плоскостью и основанием), называется усечённый конус

ВИДЫ КОНУСОВ

ПРЯМОЙ

КОНУС

УСЕЧЁННЫЙ

КОНУС

НАКЛОННЫЙ

КОНУС

Так выглядит развертка конуса

Развёрткой конуса является круговой сектор, у которого радиус равен образующей конуса R=ℓ ,

а длина дуги равна длине окружности основания конуса L=C=2 π R

Формулы

для вычисления боковой поверхности

и полной поверхности конуса:

S бок.= π Rℓ

S осн.= π R²

S п.п.к. =S бок. +S осн. = π R(R+ ℓ )

α

ℓ

С = 2 π R

Задача

Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания 6 метров ?

4

6

Задача

Дано: Н=4 м

D =6 м

Найти: S бок.=?

Решение:

S бок.= π Rℓ

R=D:2 = 6:2 = 3( м)

ℓ = √ Н ² + R² = √ 4 ² + 3 ² = 5

S бок. ≈ 3,14 * 3 * 5 ≈ 47,1 (м ² )

Ответ: ≈ 4 8 м ²

4

3

3

6

ЕГЭ

ЕГЭ

ЕГЭ

• Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.