«Комбинаторные задачи. Правило умножения"

Предмет: Математика

Класс: 9 класс

Учебник: Алгебра 9 кл. Мордкович А.Г, Семенов П.В. и др.

Тема урока: «Комбинаторные задачи. Правило умножения».

Тип урока: открытие нового знания.

Основные цели:

1) Формировать умение строить правила на примере правила умножения для решения комбинаторных задач;

2) Формировать умение сравнивать на примере сравнения разных способов решения комбинаторных задач и выбирать эффективный способ решения;

3) Формировать умение применять новый способ для решения прикладных задач.

4) Тренировать умение фиксировать шаги учебной деятельности.

• Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности.

- Здравствуйте, ребята! Посмотрите внимательно на слайд. (Слайд 2) Скажите, как вы понимаете высказывание Зига Зиглара «Те, кто прежде, чем тронуться с места, ждут, пока на всех светофорах по их маршруту загорится зеленый свет, никогда не сдвинутся с места!»

• Обсуждение высказывания. Акцентируется внимание на фразу: «…ждут, пока на всех светофорах по их маршруту загорится зеленый свет…». В процессе беседы выясняется, что при соблюдении правил жизни, все же не стоит ссылаться на неблагоприятные условия. Гораздо полезнее быть активным участником жизни, а не пассивным наблюдателем.

- Как вы думаете, почему сегодня урок начинаем с этого высказывания?

• Возможный вариант ответа:

- Не надо ждать, когда тебе объяснят новый материал. Лучше постараться самому открыть знания.

- А как вы открываете новые знания? (Сначала мы получим задания на повторение, потом выполним пробное действие, зафиксируем затруднение и построим план выхода из затруднения, составим эталон и будем учиться его применять.)

- Вспомните, какую тему вы начали изучать на прошлом уроке. (Комбинаторные задачи.)

- Сколько способов решения комбинаторных задач вы изучили? Какие? (Три способа: метод перебора, таблица вариантов, дерево вариантов.)

- Сегодня вы продолжите узнавать способы решения комбинаторных задач.

2. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном действии.

- Предлагаю вам сейчас решить задачу, которая поможет вам повторить необходимые для открытия нового знания способы решения комбинаторных задач.

• Учащимся предлагается решить задачу разными способами (1 ряд – способом перебора, 2 ряд – таблицей вариантов, 3 ряд – деревом вариантов). (Слайд 3)

Задача: «Записать всевозможные двузначные числа, используя цифры 3, 5, 7. Подчитать их количество» (Ответ: 9.) (Слайды 4 - 6)

- Что вы сейчас повторили? (Способы решения комбинаторных задач.)

- Какой из этих способов вы считаете самым рациональным?

• Учащиеся записывают на планшетках номер понравившегося им способа.

- Почему?

- Вам надо за одну минуту решить задачу, понравившемся вам способом. (Слайд 7)

Задание на пробное действие: «Десять студентов решили пообедать в кафе, но места за столом не были назначены заранее, между ними возник спор, как лучше разместиться за столом. Хозяин кафе предложил им попробовать все возможности и пообещал, что начиная с того дня, когда закончатся все возможные способы размещения, он будет кормить их в кафе бесплатно. Студенты обрадовались и заключили договор. Через сколько дней они получат бесплатный обед?»

- Вам понятно задание? У вас одна минута.

- Время вышло. Запишите свой ответ на планшетках.

- У кого нет ответа? Что вы не смогли сделать? (Я не смог решить задачу, понравившемся мне способом.)

- У кого есть ответ, вы можете доказать, что решили заду правильно? Что вы не можете? (Я не могу доказать, что решил задачу правильно.)

3. Выявление места и причины затруднения.

- Какое задание вы должны были выполнить?

- Почему вы не смогли выполнить задание?

• Возможные варианты ответов: (Слайд 8)

- нам дали мало времени;

- у нас мало места в тетрадях для построения дерева вариантов;

- у нас не получается продумать таблицу вариантов;

- необходимо перебрать большое количество вариантов;

- нет быстрого способа.

- Что вы не знаете? (Мы не знаем эффективного способа решения комбинаторных задач.) (Слайд 9)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

- Посовещайтесь в парах в течение 1 минуты:

1) сформулируйте цель дальнейшей деятельности;

2) сформулируйте тему урока.

• Одна из пар озвучивает результат обсуждения, остальные при необходимости уточняют, дополняют.

• Возможный вариант ответа: (Слайд 10)

Цели урока: 1) узнать новый способ (эффективный) решения комбинаторных задач;

2) отрабатывать умения и применять этот способ к задачам прикладного характера и заданиям ГИА.

Тема урока: «Еще один способ решения комбинаторных задач».

- Ваш вариант близок к истине, но, хочу обратить ваше внимание на то, что каждый способ решения комбинаторных задач имел свое название. Что это значит? (Надо тему уроку назвать по названию способов.)

- Предложите еще раз тему урока. (Мы не можем пока правильно назвать тему урока, потому что не знаем этот способ и его название.)

- Для достижения поставленной цели вы сейчас будете работать с заданием 2:

Задание 2. «Обед десяти» «Десять студентов решили пообедать в кафе, но места за столом не были назначены заранее, между ними возник спор, как лучше разместиться за столом. Хозяин кафе предложил им попробовать все возможности и пообещал, что начиная с того дня, когда закончатся все возможные способы размещения, он будет кормить их в кафе бесплатно. Студенты обрадовались и заключили договор. Через сколько времени, они получат бесплатный обед?»

- Как вы понимаете вопрос: «Через сколько дней они получат бесплатный обед?» (Следовательно, необходимо посчитать количество возможных пересадок без повторения.)

- Что теперь необходимо сделать? (Составить план действий по реализации сформулированной цели.)

- У вас в группах лежат таблицы, с помощью которых вы составите план. Проанализируйте эту таблицу и, заполнив ее, попробуйте составить план работы. (Слайд 11)

10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 =

• После обсуждения на доске фиксируется план действий:

1) определить количество свободных мест для каждого участника;

2) выписать полученные числа;

3) с помощью задачи № 1 догадаться, что должно стоять вместо знака «?»;

4) сформулировать новый способ решения комбинаторных задач.

5. Реализация построенного проекта.

• Работа организуется в группах, одна из групп озвучивает результат работы, остальные при необходимости уточняют, дополняют. (Слайд 12)

Решение: Р = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 = 3 628 800 (дней) ̴ 9942 (лет). Если есть 3 раза в день, то можно потратить 3 314 лет.

• После выступления групп на доску вывешивается эталон. (Слайд 13 - 14)

Эталон

1) Определение: Перестановками без повторений из n элементов по n называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.

2)Правило умножения: _{ }, где n – число различных элементов.

3) Алгоритм решения комбинаторных задач правилом умножения:

• Внимательно прочитать условие задачи.

• Выяснить, является ли эта задача комбинаторной задачей без повторения.

• Если «да», то необходимо определить количество объектов, принимающих участие в перестановках.

• Записать произведение всех чисел в порядке убывания, начиная с наибольшего определенного вами на предыдущем шаге.

• Если «нет», то это правило не работает.

- Вы справились с затруднением?

- Какой способ вы узнали?

- Как вы теперь сформулируете тему урока? «Комбинаторные задачи. Правило умножения».

- Что вы теперь можете делать?

6. Первичное закрепление во внешней речи.

Задание 3. Учащимся предлагается посмотреть фрагмент мультфильма «Квартет» и посчитать количество возможных пересадок понравившимся способом. Оценивается скорость получения ответа. Обсуждается рациональность выбранного способа. (Слайд 16 - 19)

Задание 4. Решите эту же задачу, учитывая, что стало 5 участников. (Слайд 20 - 21)

Задание 5. В 9 классе в среду 6 уроков: алгебра, литература, английский язык, русский язык, биология, физкультура. Сколько вариантов расписания на среду может составить завуч? (Слайд 22)

Задачу 5 предлагается решить в парах, проговаривая алгоритм решения, после выполнения задания проводится самопроверка, проводится коррекция ошибок.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (Слайд 23)

• Для самостоятельной работы учащимся предлагается выполнить задание 6:

Задание 6. а) Весной мама покупает ребенку фрукты (банан, яблоко, апельсин, лимон, груша, персик, киви). Найдите число возможных вариантов съедания фруктов.

б) 11 футболистов строятся перед началом матча случайным образом. Сколько существует способов построения?

в) Сколькими способами можно расположить на полке 9 книг?

Учащиеся выполняют самостоятельную работу, проводят самопроверку по эталону для самопроверки. Ответы показывают на планшетках. (Слайд 24)

8. Включение в систему знаний и повторение. (Слайд 25-26)

Задание 7. В 9 классе во вторник 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, обществознание и геометрия. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что геометрия - последний урок?

Задание 8. Имеется 9 различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

9. Рефлексия учебной деятельности

- Что вы сегодня узнали нового? (Слайд 27)

- Какова была цель вашей деятельности?

- Почему вы поставили перед собой такую цель?

- Вы достигли поставленной цели?

- Что вы использовали, и что вам помогло в достижении цели?

Домашнее задание: 1) n.5.18 стр.117 № 18.16(а, б)

2) Творческое задание: Подсчитать количество возможных комбинаций шифра из фильма «Код Да Винчи».

(Слайды 30 - 31) (Демонстрируется фрагмент фильма «Код да Винчи», отобранный для домашней работы)

- Оцените свою работу на уроке с помощью пирамиды. Определите, насколько высоко вам удалось подняться. (Слайд 29)

9