Иррациональные уравнения

Тема урока:

Иррациональные уравнения.

Цель урока:

1. Обобщать знания по решению иррациональных уравнений;

2. Познакомить учащихся с новыми нестандартными способами решения иррациональных уравнений;

3. Развитие логического мышления, памяти.

1). Вопросы теории:

1. Какое уравнение называется иррациональным?

2. Что значит решить уравнение?

3. Что такое корень уравнения?

4. Что называем О.Д.З. переменной уравнения?

5. С чего начинаем решение иррационального уравнения?

1. ^{2n + 1} √f (x) = g (x)

2. ²ⁿ √f (x) = g (x)

f (x) = g ^{2n + 1} (x)

f (x) ≥ 0; – ? обязательно ли? если есть это

Обязательна

g (x) ≥ 0;

проверка? [нет]

f (x) = g ²ⁿ (x)

А почему некоторые

6. Обязательно ли уравнение заменять громоздкой системой?

ученики выполняют

7. Если, не учитывая О.Д.З., переходим от иррационального

проверку?

уравнения к рациональному, что обязательно надо

[проверяют свою

сделать? [проверку]

вычислительную

Почему? [т.к. при четном показателе данное уравнение

технику]

заменяется следствием, т.е. нарушается равносильность

уравнений].

8. А если показатель корня нечетный, то полученное

уравнение равносильно данному? [да].

1.

√х – 3 = 0;

[3]

2.

√х² – 3 + 10 = 0;

[Ø]

3.

√2х + 5 + √х – 15 = -20;

[Ø]

4.

√х – 5 + √х² + 4 = 0;

[5]

5.

√х³ – 8

= 0; [2]

х²

6.

√х² – 16

= 0; [-4]

х – 4

7.

√х – 7 = √-х;

[Ø] О.Д.З. – пусто.

Решение:

(√х – 2)² = (√2х – 1)²;

х – 2 = 2х – 1;

х = -1

Ответ: -1.

I группа

II группа

III группа

х – 2 + 3∙ √х – 2 = 10;

√х² – 5 – √-4х = 0;

1 + √3х² – 2 = 2х;

√х – 2 = а; а ≥ 0; х – 2 = а²;

х² – 5 = -4х; х² + 4х – 5 = 0;

√3х² – 2 = 2х – 1;

а² + 3а – 10 = 0;

х₁= -5;

3х² – 2 = 4х² – 4х + 1;

а₁ = 2; а₂ = -5 (не подх.)

х₂ = 1 (пров. – не подх.)

х² – 4х + 3 = 0;

√х – 2 = 2; х = 6 (удовл.)

Ответ: -5.

х₁= 1; х₂ = 3

(удовл. – пров.)

(пров. – правильно)

Ответ: 6.

Ответ: 1; 3.

А). а (х₁; у₁) b (х₂; у₂)

Б).

12∙√х + 5∙√9 – х = 39; а (12; 5) b (√х;√9– х)

√3х² + 5х + 8 - √3х² + 5х + 1 = 1

Имеем: а ∙ b = 39

Умножим уравнение на сопряженное выра-

Но еще: а ∙ b = |а| ∙ |b| ∙ cos α;

жение левой части:

|a| = √12² + 5² = √144 + 25 = 13;

(√3х² + 5х + 8 - √3х² + 5х + 1) ∙

|b| = √ (√x)² + (√9 – x)² = √x + 9 – x = 3;

∙ (√3х² + 5х + 8 - √3х² + 5х + 1) =

Итак, имеем |a| ∙ |b| = 13∙3 = 39.

= 1 ∙ (√3х² + 5х + 8 - √3х² + 5х + 1);

Так как а ∙ b = 39 (по условию)

(3х² + 5х + 8) – (3х² + 5х + 1) =

и |a| ∙ |b| = 39, то имеем равенство:

= √3х² + 5х + 8 + √3х² + 5х + 1;

39 = 39 ∙ cos α; cos α = 1, поэтому α=а,b=0,

7 = √3х² + 5х + 8 + √3х² + 5х + 1;

а это значит а b, т.е. векторы а и b колли-

Решаем систему двух уравнений:

неарны, а поэтому их координаты пропор-

√3х² + 5х + 8 + √3х² + 5х + 1 = 1

циональны, т.е.

√3х² + 5х + 8 – √3х² + 5х + 1 = 7

12

=

5

; Решим это уравнение:

√3х² + 5х + 8 = 4;

Это уравнение равносильно данному, т.к. все преобразования были тождественны, поэтому достаточно проверку сделать, подставив в это уравнение.

√x

√9 – х

3х² + 5х + 8 = 16;

12∙√9 – х = 5∙√х;

3х² + 5х – 8 = 0;

144 (9 – х) = 25х;

D = 25 + 96 = 121;

169х = 144∙9;

х =

144∙9

=

1296

= 7

113

;

169

169

169

(Проверка сделана).

Ответ: 7

113

х_1,2 =

-5 ± 11

; х₁ = 1; х₂ = -

8

= -2

2

169

6

3

3

(оба удовлетворяют)

Ответ:1;-2

2

3

В).

³√24 + √х - ³√5 + √х = 1;

a – b = 1; a = 1 + b;

О.Д.З: х≥0

a³ – b³ = 19; (1 + b)³ – b³ = 19;

Пусть ³√24 + √х = а;

³√5 + √х = b;

a = 1 + b; b₁ = 2;

Тогда a – b = 1;

b² + b – 6 = 0; b₂ = -3;

Возведем в куб оба

a = 1 + b;

равенства и вычтем из

В итоге: (3; 2), (-2; -3).

1-ого второе:

Значит: ³√24 + √х = 3; или ³√24 + √х = -2; 24 + √х = -8;

a³ – b³ = 19;

³√5 + √х = 2; ³√5 + √х = -3; 5 + √х = -27;

Решим систему

Нет

уравнений:

24 + √х = 27; √х = 3; решений.

5 + √х = 8; √х = 3;

х = 9

А).

Б). а (х₁; у₁) b (х₂; у₂)

√х² + 9 – √х² – 7 = 2;

4∙√-х + 3∙√4 + х = 10; а (4; 3), b (√-х; √4+х)

Умножим на сопряженное выражение

а ∙ b = 10

√х² + 9 + √х² – 7:

Но: а ∙ b = |а| ∙ |b| ∙ cos α;

х² + 9 – х² – 7 = 2(√х² + 9 + √х² – 7);

|а| = √4² + 3² = 5; |b| = √(√-х)² + (√4 + х)² = 2

√х² + 9 + √х² – 7 = 8;

|а| ∙ |b| = 5 ∙ 2 = 10. Итак, имеем:

Решим систему:

10 = 10 ∙ cos α; следовательно cos α = 1;

√х² + 9 – √х² – 7 = 2

α = 0°; т.е. а, b = 0, откуда а b

√х² + 9 + √х² – 7 = 8

(коллинеарные), а тогда координаты

√х² + 9 = 5;

пропорциональны.

х² + 9 = 25; х² = 16

4

=

3

; 4 ∙ √4 + х = 3 ∙ √-х;

х₁ = 4; х₂ = -4; Проверка сделана.

√-х

√4 + х

16(4 + х) = 9(-х); 25х = -64;

Ответ: ±4.

х = -

64

= - 2

14

;

25

25

Проверка: 4∙√-(-64/25) + 3∙√4 – 64/25 = 10;

4∙8

+

3∙2∙3

= 10;

2∙(16+9)

= 10;

5

5

5

10 = 10.

Ответ: -2

14

25

а + b = 4;

а + b = 4;

а = 4 – b;

(а + b)(а² – аb + b²) = 16;

а² – аb + b² = 4;

(4 – b)² – b(4 – b) + b² = 4;

а = 4 – b;

(b – 2)² = 0

а = 2;

Далее имеем:

³√9 – √х + 1 = 2;

b² – 4b + 4 = 0;

b = 2; а = 4 – 2 = 2;

b = 2;

³√7 + √х + 1 = 2;

9 – √х + 1 = 8;

√х + 1 = 1;

х = 0;

0 Є [-1; +∞)

7 + √х + 1 = 8;

√х + 1 = 1;

х = 0;