Разработка урока по математике «Методы решения иррациональных уравнений»

Цель:

- обобщение знаний учеников по данной теме;

- демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;

- формирование навыка умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

- воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;

- повышение интереса к предмету.

Ход занятия.

I. Устная работа.

1) Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.

На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.

1) √х+3=2х-1;

2) х²-2√2х+3=0;

3) √х+⁴√х=0;

4) ²√5-√х+15=1;

5) (2-х*1/2=(х+6)*1/2+7х.

Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 5).

Определение иррационального уравнения:

2) Дайте определения иррационального уравнения.

Иррациональным называют уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)

3). Является ли число корнем уравнения:

1) √х-3=√3-х, х₀=4;

2) √2х+10=25-х, х₀=6;

3) √0,2х+2=√2, х₀=0.

4). Найти область определения функции:

1) у=√2х-5;

2) у=√х+1+√х²+5х+6.

II. Вступительное слово (учитель).

Итак, иррациональным называют уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)

Основная цель при решении иррациональных уравнений состоит в том, чтобы освободиться от знака радикала и получить рациональное уравнение,

При решении иррациональных уравнений применяют следующие основные методы:

- возведение в степень обеих частей уравнения;

- исследование области определения уравнения;

- введение новой переменной;

- разложение на множители.

Весь материал - в документе.

Урок в 11 классе по теме:

«Методы решения иррациональных уравнений »

Цель:

• обобщение знаний учеников по данной теме;

• демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений ;

• формирование навыка умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

• воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;

• повышение интереса к предмету.

Форма проведения: семинар.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Ход занятия:

I.Устная работа

1. Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.

На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.

1) =2х-1; 2) х² -2х+3=0; 3)

4) =1; 5) (2-х)=(х+6)½+7х

• Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 5). Определение иррационального уравнения:

2) Дайте определения иррационального уравнения.

Иррациональным называют уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)

3). Является ли число корнем уравнения:

1)=

2)=

3)=

4). Найти область определения функции:

1) у=; 2) у=+

II. Вступительное слово (учитель)

Итак, иррациональным называют уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)

Основная цель при решении иррациональных уравнений состоит в том, чтобы освободиться от знака радикала и получить рациональное уравнение,

При решении иррациональных уравнений применяют следующие основные методы:

• возведение в степень обеих частей уравнения;

• исследование области определения уравнения;

• введение новой переменной;

• разложение на множители.

А также дополнительные методы решения иррациональных уравнений.

К дополнительным методам решения иррациональных уравнений относяться следующие:

• Умножение на сопряженное;

• переход к уравнению с модулем;

• использование монотонности функции.

На предыдущих уроках мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.

Однако при решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.

В заданиях ЕНТ имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы сегодня познакомимся.

При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.

III.Выступление учеников

1 ученик из I группы

Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в степень корня.

1) 2 х - = х – 8

Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в левую часть.

Х+8=

Возведём обе части уравнения в квадрат:

=

Получаем:

х +1 4 = +16х + 64

Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение

+15х + 50 = 0

Корни этого уравнения х = -10 и х =-5

Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.

Если х = -5, то = -5-8

-13 = -13 – верно

х = -5 – корень уравнения

Если х = -10, то2*(-10)- = -10 +8

-22 = - 2 – неверно

х = -10 посторонний корень

Ответ: х =- 5

2) Решить уравнение: +1=2х (уч-ся решают самостоятельно, работа в группе)

2 ученик из II группы

Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.

1) Пусть дано уравнение: - = –

Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.

Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.

Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенств х=2

Данное уравнение определено только при х = 2.

Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:

- = –

5 = 5 – верно.

Ответ: х = 2.

2) Решить уравнение: += (уч-ся решают самостоятельно ,работа в группе)

3 ученик из III группы

Метод введения новой перменной.

Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Пример для изучения:

1)Дано уравнение: -2 = 1

ОДЗ уравнения: х х

Пусть , тогда Получаем уравнение t +2 =

= -1˂0 = 2

Тогда

=4; 2х+1=4х-4;2х=5;х=2,5

Ответ: х = 2,5

2) Решить уравнение: + =2( уч-ся решают самостоятельно, работа в группе)

4 ученик из IV группы

Метод разложения на множители.

Для решения данным методом следует пользоваться правилом:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю,а остальные при этом имеют смысл

Пример для изучения:

1. Рассмотрим уравнение: (х²-5х-6)=0

Решение:

1. =0 2)⟹

=-2 =6

Ответ:

2)Решить уравнение: *х=4( уч-ся решают самостоятельно,работа в группе)

5 ученик из V группы

Метод умножения на сопряженное

В основе данного способа решения иррациональных уравнений лежит формула (-+=а-в.Иногда использование этой формулы облегчает решение.

Пример для изучения:

+=34;

Решение: Освободимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби :

(х+)+ (х-)=34

х²+х²-1+2+х²+х²-1-2=34

4х²=36⟹,=-3

Проверка показывает,что корни удовлетворяют исходному уравнению .

Ответ:

2)Решить уравнение: -=2х+1 (уч-ся решают самостоятельно,работа в группе)

6 ученик из VI группы

Метод перехода к уравнению с модулем

Данный метод применяется,когда подкоренное выражения в иррациональном уравнении представляют собой полные квадраты.

Пример для изучения: +=11

Решение:

Х-3 - -4 - 3 +

+=11 ---------------------------------------------------------

Х+4 - + +

+=11

+=11

1)х 2)х 3) х

-х+3-х-4=11 -х+3+х+4=11 х-3х+4=11

=-6 7≠11 2х=10

Решений нет =5

2)Решить уравнение: + =5

( уч-ся решают самостоятельно,работа в группе)

7ученик из VII группы

Использование свойства монотонности функции.

Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:

Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид: f(x) = с, где f(x) –монотонно возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.

Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид f(x)= g(x), где функции f(x) и g(x) «встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.

Пример для изучения

1. Пусть дано уравнение: += 8

Левая часть уравнения функции являются возрастающая функция. Значит, уравнение имеет единственный корень.

Найдём этот корень подбором.

х = 10.

Проверкой убеждаемся, что число 10 является корнем данного уравнения.

Ответ: х = 10.

2)=2 (уч-ся решают самостоятельно работа в группе)

IV. Работа учеников в группах.

После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах по решению предложенных уравнений.

Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.

V . Домашнее задание : составить на все методы иррациональные уравнения и решить

VI. Итог урока:

рефлексия

Вопросы рефлексии:

Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?

Получены ли новые знания и умения?

Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.

Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?

Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?

Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать участие в таких занятиях?