Графики функций тангенс и косинус

Функции y = tgx и

y = ctgx,

их свойства и графики

Определение

Тангенсом угла α называют число, равное

отношению sin α к cos α , обозначают tg α , т. е.

Тангенс определён для всех углов α , кроме тех,

для которых косинус равен нулю

Для любого угла α ≠ π /2 + π k , k Є Z существует, и при том

единственный tg α

+ ∞

y

Ось тангенсов

120°

180°

1

x

- 45°

не существует

Тангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞

х = 1

– ∞

3

Определение

Котангенсом угла α называют число, равное

отношению cos α к sin α , обозначают с tg α , т. е.

Котангенс определён для всех углов α , кроме тех,

для которых синус равен нулю

Для любого угла α ≠ π k , k Є Z существует, и при том

единственный с tg α

Y

Ось котангенсов

– ∞

+ ∞

120°

у = 1

180°

0°

X

45°

Не существует

Котангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞

Построение графика функции y = tg x , если х Є [ ̶ π ∕ 2; π ∕ 2 ]

у = tg x

y

х

у= tg x

0

± π ∕ 6

± π ∕ 4

± π ∕ 3

± π ∕ 2

0

1

≈ ± 0,6

x

± 1

- 1

≈ ±1,7

Не

существ.

6

Построение графика функции y = tg x .

у= tg x

y

1

x

- 1

0 при хє (0; π /2) и при сдвиге на π n , n є Z . у 0 при хє (- π /2; 0) и при сдвиге на π n , n є Z . " width="640"

Свойства функции y=tg x .

у= tg x

y

1

x

- 1

Нули функции:

tg х = 0 при х = π n , n є Z

у 0 при хє (0; π /2) и при сдвиге на π n , n є Z .

у 0 при хє (- π /2; 0) и при сдвиге на π n , n є Z .

Свойства функции y=tg x .

y

у= tg x

Асимптоты

1

x

- 1

При х = π ∕ 2+ π n , n є Z - функция у= tg x не определена.

Точки х = π ∕ 2+ π n , n є Z – точки разрыва функции.

9

0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 9. При х = - функция у = tgx не определена. Имеет точки разрыва графика 9 " width="640"

Запишите все свойства функции y = tg x .

1. Область определения:

2. Множество значений функции:

3. Периодическая, Т=

4. Нечётная функция

5. Возрастает на всей области определения.

6. Нули функции у = 0 при х =

7. у 0 при хє и при сдвиге на

8. у 0 при хє и при сдвиге на

9. При х = - функция у = tgx не определена.

Имеет точки разрыва графика

9

у

1

х

0

-

-

-

-

3

3

2

2

2

2

-1

y = tgx

y = tgx – b

y = tgx + a

у

1

х

0

-

-

-

-

3

3

2

2

2

2

-1

y = tg(x – a)

y = tgx

у

1

х

0

-

-

-

3

3

-

2

2

2

2

-1

y = ItgxI

y = tgx

Функция y = ctg x

у= c tg x

• Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х= π k, k Z .
• Область значений функции – все действительные числа.
• Функция убывает на интервалах
• Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат.
• Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π .

у

1

х

-

- π

π

0

-

-1

Задача №1.

Найти все корни уравнения tgx = 1, принадлежащих промежутку – π ≤ х ≤ 3 π ∕ 2 .

Решение.

• Построим графики

функций у= tg x и у=1

у= tg x

y

у = 1

• х 1 = − 3 π⁄ 4

х 2 = π⁄ 4

х 3 = 5 π⁄ 4

1

− π

0

x

х 2

х 1

х 3

3 π / 2

π

- 1

15

Задача № 2 .

Найти все решения неравенства tgx 1, принадлежащие промежутку – π ≤ х ≤ 2 π .

• Построим графики функций у = tg x и у = −1

у= tg x

y

1

x

7 π / 4

3 π / 4

− π / 4

(

)

//////

////////

//////

0

- 1

у = − 1

• х ϵ (− π /2 ; − π⁄ 4 );

х ϵ ( π /2 ; 3 π⁄ 4 );

х ϵ ( 3 π /2 ; 7 π⁄ 4 )