Функция и её свойства

Цели урока:

Закрепление свойств функции

Развитие умений исследования графиков функции

Выполнение упражнений и построение графиков функций

Функция – зависимость одной переменной от другой, причем для любых значений х соответствует единственное значение функции y.

График функции – множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты соответствующим значениям функции.

Свойства функций

Область определения функции

Множество значений функции

Монотонность

Четность

Ограниченность

Наибольшее, наименьшее значение

Точки экстремума

Выпуклость

Пересечение с осями координат

Промежутки знакопостоянства.

Функция и её свойства

9 класс

Урок повторения и обобщения

изученного материала

Содержание

• Цели урока
• Определение
• Виды функций
• Свойства функций
• Задание 1
• Задание 2
• Тест

Цели урока

• Закрепление свойств функции

• Развитие умений исследования графиков функции

• Выполнение упражнений и построение графиков функций

Определение

Функция – зависимость одной переменной от другой, причем для любых значений х соответствует единственное значение функции y.

График функции – множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты соответствующим значениям функции .

Виды функций

• Линейная
• Прямая пропорциональность
• Обратная пропорциональность
• Квадратичная
• Квадратный корень
• Модуль
• Другие функции

Свойства функций

• Область определения функции
• Множество значений функции
• Монотонность
• Четность
• Ограниченность
• Наибольшее, наименьшее значение
• Точки экстремума
• Выпуклость
• Пересечение с осями координат
• Промежутки знакопостоянства

Пример

у

у = 2х +1

х

0

1

у

1

3

х

1

Задание 1

• Изобразите схематически графики функций

Пример

у = 3х

у

х

1

0

у

3

0

х

0

1

Пример

4

у

у =

x

х

1

2

-4

-2

-1

4

у

4

-1

-2

2

-4

1

х

0

1

Пример

у

у = х 2

х

-2

2

1

0

-1

у

4

1

0

1

4

х

0

1

Пример

у

х

0

4

9

у

0

2

3

х

1

0

Пример

у

y=|x|

х

-3

0

3

у

-3

0

3

х

0

1

Задание 2

• Исследовать график функции

3

2

1

1

2

3

Тест

1. Найдите область определения функции

2. Исследуйте на ограниченность функцию

а) ограничена сверху

б) ограничена снизу

в) ограничена снизу и сверху

г) не ограничена ни снизу, ни сверху

3. Среди заданных функций укажите возрастающие

а) 2, 4

б) 1, 2, 4

в) 3

г) 1, 2

4. Среди заданных функций укажите убывающие

а) 1, 3

б) 3

в) 3, 4

г) 1

5. Среди заданных функций укажите четные

а) 1, 3

б) 1, 2

в) 3, 4

г) 1, 4

6. Среди заданных функций укажите нечетные

а) 1, 3

б) 2, 4

в) 2, 3

г) 3, 4

7. Найдите множество значений функций

Верно

Не верно

0) Свойства функции График функции - прямая D(f)=(-  ;+  ) Функция не является ни четной, ни нечетной Возрастает Не ограничена ни снизу, ни сверху Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений Функция непрерывна Е( f)= (  ;+  ) 1 " width="640"

Линейная функция y = k х+ m ( k0)

Свойства функции

График функции - прямая

• D(f)=(-  ;+  )
• Функция не является ни четной, ни нечетной
• Возрастает
• Не ограничена ни снизу, ни сверху
• Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений
• Функция непрерывна
• Е( f)= (  ;+  )

1

Линейная функция y=kx+m (k

Свойства функции

График функции - прямая

• D(f)=(-  ;+  )
• Функция не является ни четной, ни нечетной
• Убывает
• Не ограничена ни снизу, ни сверху
• Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений
• Функция непрерывна
• Е( f)= (  ;+  )

1

0) График функции - прямая Свойства функции D(f)=(-  ;+  ) Функция является нечетной Возрастает Не ограничена ни снизу, ни сверху Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений Функция непрерывна Е( f)= (  ;+  ) 1 " width="640"

Прямая пропорциональность y=kx (k0)

График функции - прямая

Свойства функции

• D(f)=(-  ;+  )
• Функция является нечетной
• Возрастает
• Не ограничена ни снизу, ни сверху
• Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений
• Функция непрерывна
• Е( f)= (  ;+  )

1

Прямая пропорциональность y=kx (k

Свойства функции

График функции - прямая

• D(f)=(-  ;+  )
• Функция является нечетной
• Убывает
• Не ограничена ни снизу, ни сверху
• Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений
• Функция непрерывна
• Е( f)= (  ;+  )

1

0) Свойства функции D(f)=(-  ;0) U (0;+  ) Нечётная Убывает на открытом луче (-  ;0), и на открытом луче ( 0 ;+  ) Не ограничена ни снизу, ни сверху y наим , y наиб не существует Непрерывна на открытом луче (-  ;0), и на открытом луче ( 0 ;+  ) E(f )=(-  ;0) U (0;+  ) Выпукла вниз при x0, выпукла вверх при xГрафик функции - гипербола 1 " width="640"

Обратная пропорциональность ( k0)

Свойства функции

• D(f)=(-  ;0) U (0;+  )
• Нечётная
• Убывает на открытом луче (-  ;0), и на открытом луче ( 0 ;+  )
• Не ограничена ни снизу, ни сверху
• y наим , y наиб не существует
• Непрерывна на открытом луче (-  ;0), и на открытом луче ( 0 ;+  )
• E(f )=(-  ;0) U (0;+  )
• Выпукла вниз при x0, выпукла вверх при x

График функции - гипербола

1

0, выпукла вниз при xГрафик функции - гипербола 1 " width="640"

Обратная пропорциональность ( k

Свойства функции

• D(f)=(-  ;0) U (0;+  )
• Нечётная
• Возрастает на открытом луче (-  ;0), и на открытом луче ( 0 ;+  )
• Не ограничена ни снизу, ни сверху
• y наим , y наиб не существует
• Непрерывна на открытом луче ( -  ;0), и на открытом луче ( 0 ;+  )
• E(f )=(-  ;0) U (0;+  )
• Выпукла вверх при x0, выпукла вниз при x

График функции - гипербола

1

0) График функции - парабола Свойства функции D(f)=(-  ;+  ) Чётная Убывает на луче (-  ;0 ] , возрастает на луче [0 ;+  ) Ограничена снизу, не ограничена сверху y наим =0, y наиб не существует Непрерывна E(f)=[0; +  ) Выпукла вниз " width="640"

Квадратичная функция y=kx 2 (k0)

График функции - парабола

Свойства функции

• D(f)=(-  ;+  )
• Чётная
• Убывает на луче (-  ;0 ] , возрастает на луче [0 ;+  )
• Ограничена снизу, не ограничена сверху
• y наим =0, y наиб не существует
• Непрерывна
• E(f)=[0; +  )
• Выпукла вниз

Квадратичная функция y=kx 2 (k

Свойства функции

График функции - парабола

• D(f)=(-  ;+  )
• Чётная
• Убывает на луче [0;+  ), возрастает на луче ( -  ;0]
• Ограничена сверху, не ограничена снизу
• y наиб =0, y наим не существует
• Непрерывна
• E(f)= (-  ;0]
• Выпукла вверх

0) Свойства функции График функции - парабола D(f)=(-  ;+  ) Убывает на луче (-  ; ] , возрастает на луче [ ; +  ) Ограничена снизу, не ограничена сверху y наим = y 0 , y наиб – не существует Непрерывна E(f)=[y 0 ; +  ) Выпукла вниз 1 " width="640"

Квадратичная функция y=ax 2 +bx+c (a0)

Свойства функции

График функции - парабола

• D(f)=(-  ;+  )
• Убывает на луче (-  ; ] , возрастает на луче [ ; +  )
• Ограничена снизу, не ограничена сверху
• y наим = y 0 , y наиб – не существует
• Непрерывна
• E(f)=[y 0 ; +  )
• Выпукла вниз

1

Квадратичная функция y=ax 2 +bx+c (a

Свойства функции

• D(f)=(-  ;+  )
• Возрастает на луче (-  ; ] , убывает на луче [ ;+  )
• Ограничена сверху, не ограничена снизу
• y наиб = y 0 , y наим – не существует
• Непрерывна
• E(f)= (-  ; y 0 ]
• Выпукла вверх

График функции - парабола

1

Квадратный корень

График функции – ветвь параболы в первой четверти

Свойства функции

• D(f)=[0 ;+  )
• Не является ни четной, ни нечетной
• Возрастает на луче [0 ;+  )
• Ограничена снизу, не ограничена сверху
• y наим =0, y наиб не существует
• Непрерывна
• E(f)=[0; +  )
• Выпукла вверх

Модуль y=|x|

Свойства функции

• D(f)=(-  ;+  )
• Чётная
• Убывает на луче (-  ;0 ] , возрастает на луче [0 ;+  )
• Ограничена снизу, не ограничена сверху
• y наим =0, y наиб не существует
• Непрерывна
• E(f)=[0; +  )
• Функцию можно считать выпуклой вниз

Функция y=x 2n+1 (n N)

Свойства функции

График функции - кубическая парабола

• D(f)=(-  ;+  )
• Нечётная
• Возрастает
• Не ограничена ни снизу, ни сверху
• y наим , y наиб не существует
• Непрерывна
• E(f )=(-  ;+  )
• Выпукла вверх при x0

0, выпукла вверх при x1 " width="640"

Функция y=x -(2n+1)

График функции - гипербола

Свойства функции

• D(f)=(-  ;0) U (0;+  )
• Нечётная
• Убывает на открытом луче (-  ;0), и на открытом луче ( 0 ;+  )
• Не ограничена ни снизу, ни сверху
• y наим , y наиб не существует
• Непрерывна на открытом луче (-  ;0), и на открытом луче ( 0 ;+  )
• E(f )=(-  ;0) U (0;+  )
• Выпукла вниз при x0, выпукла вверх при x

1

Функция y=x -2n

Свойства функции

График функции - гипербола

• D(f)=(-  ;0) U (0;+  )
• Чётная
• Возрастает на открытом луче (-  ;0), и убывает на открытом луче ( 0 ;+  )
• Ограничена снизу, не ограничена сверху
• y наим, y наиб не существует
• Непрерывна на открытом луче (-  ;0), и на открытом луче ( 0 ;+  )
• E(f )= (0;+  )
• Выпукла вниз при x0

1

Функция y=x 2n (n N)

График функции - парабола

Свойства функции

• D(f)=(-  ;+  )
• Чётная
• Убывает на луче (-  ;0 ] , возрастает на луче [0 ;+  )
• Ограничена снизу, не ограничена сверху
• y наим =0, y наиб не существует
• Непрерывна
• E(f)=[0; +  )
• Выпукла вниз