Элементы комбинаторики

Цели занятия.

Образовательные:

познакомить обучающихся с новым разделом математики: "Комбинаторика",  основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека;

Развивающие:

развивать умения решать комбинаторные  задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» по формулам, практических навыков и умений, аналитические способности, логическое мышление,

Воспитывающая:

формировать активность личности обучающегося, умение работать в группе

показать, что решения комбинаторных задач возникли из практических потребностей человека.

Оборудование: компьютеры, проектор, экран, презентация, тесты, книги.

Ход занятия

1. Организационный момент.

Класс разделен на группы. В группе может быть 4 или 5обучающихся.

Каждый обучающийся отвечает за свое поручение. (Тем самым он учится быть и руководителем, и секретарем и т.д). Переходя от каждого нового задания, обучающиеся меняются поручениями. 

Проверка д/з.

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)

Задачи такого типа называются комбинаторными.

Комбинаторика –  раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторные задачи  делятся на несколько групп.

2. Сообщение новых знаний.
   1. Задача:

Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?

abc  acb

bac bca

cab cba     ответ:6

Это задача на   перестановки

Перестановкой из n элементов называется  каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

Pn = n(n-1)(n-2)∙…∙3∙2∙1

Pn = n!

Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!    n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Факториалы растут удивительно быстро.

n          1          2          3          4          5          6          7          8                   9                    10

n!        1          4          6          24        120      720      5040    40 320    362 880       3 628800

 Задача. Сколькими способами можно расставить  8 участниц  финального забега  на  восьми беговых дорожках?

P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320

Задача.

Квартет

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?

P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Задача. У нас имеется  5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги . Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

  Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.

Это размещения .

Размещением из n элементов по k (k≤n)  называется любое множество, состоящее из k  элементов, взятых в определённом порядке из данных  n  элементов.

A_n^k=n!/(n-k)!

 Задача. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами  можно составить  расписание на один день, чтобы  в нём было 4 различных предмета? 

A94 =9!/5! = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024

Задача.  Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5  книг?

Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

123  124  125  134  135  145

        234  235  245

                345         ответ: 10

Это сочетания .   

Сочетанием из n элементов по k  называется любое множество, составленное  из  k элементов, выбранных  из данных  n  элементов.

C_n^k=n!/((n-k)!k!)

  Задача. В  классе  7 человек  успешно занимаются  математикой.  Сколькими способами  можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

C₇² =21

Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать так, чтобы он начинался словами «Сколькими способами…»

3. Физкультминутка.
4. Закрепление темы.

Тест по комбинаторики ( 8 обучающихся выполняют тест на компьютере, остальные на бумаге, взаимопроверка)

Вариант 1.

1.    Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

 1) 30                          2)       100              3)       120              4) 5

 2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

 1) 128                        2)       495                   3) 36                     4) 48

 3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

 1) 10                          2) 60                     3) 20                     4) 30

  № задания   1          2          3

 № ответа       3          2          4

                                                          Вариант 2.

1.    Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1)           100              2)       30                3)       5                  4)     120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1)           3                  2)       6                  3)       2                  4)     1

3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.

1)           10000                    2)       1680             3)       32              4)    1600

№ задания     1          2          3

№ ответа        4          1          2

Вариант 3.

1.    Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1)           24                2)       4                  3)       16                4) 20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1)           30                2)       21                3)       14                4) 7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1)  22                         2)       11                3)       150              4)     110

№ задания     1          2          3

№ ответа        1          2          4

Вариант 4

1.    Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5        2)       120              3)       25                4)   100

2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх  для участия в праздничном концерте?

1) 455                           2)       45           3)       475                4)   18

3.  В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1)  600                       2)       100              3)       300              4)720

№ задания     1          2          3

№ ответа        2          1          4

2)  Проблемный вопрос:

Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?

Решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, задач из  ГИА, ЕГЭ.

Области применения  комбинаторики:
-учебные заведения ( составление расписаний)

-сфера общественного питания (составление меню)

-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

-агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

-география (раскраска карт)

-биология (расшифровка кода ДНК)

-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

-криптография (разработка методов шифрования)

-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

-военное дело (расположение подразделений)

    Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.

  Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.

  Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.

Вывод:

Комбинаторика повсюду.

Комбинаторика везде.

Комбинаторика вокруг  нас.

VI. Д/з:

 1.В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров. 

  Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?

2.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но  забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

3.     В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

4. Проект «История комбинаторики»

VII.Итог, рефлексия.

Определи своё  настроение в конце урока.