Решение задач с помощью уравнений

Представим себе такую историю…

– Саша, вчера за 5 порций мороженого ты заплатил на 6 рублей больше, чем я за 3 порции. Давай с тобой посчитаем, сколько стоит одна порция мороженого, – предложил другу Паша.

– Давай, – согласился Саша.

– Так как ты съел 5 порций, а я – 3, то от 5 отнимем 3 и получим, что ты съел на 2 порции мороженого больше, – вычислил Паша.

– И заплатил я на 6 рублей больше, – сказал Саша.

– Тогда разделим 6 на 2 и получим, что порция мороженого стоит 3 рубля, – посчитал Паша.

– Вот и выяснили! – обрадовался Саша.

– Знаешь, Саша, мне кажется, что эту задачу мы могли бы решить и с помощью уравнения, – задумался Паша. – Давай спросим у Мудряша.

– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Решим вашу задачу с помощью уравнения. Пусть  рублей стоит одна порция мороженого. Саша съел 5 порций, а значит, заплатил  рублей. Паша 3 порции и заплатил  рублей.

– Причём я заплатил на 6 рублей больше, чем Паша, – отметил Саша.

– Тогда мы можем составить уравнение: . Решив это уравнение, мы найдём стоимость порции мороженого, – объяснил Мудряш.

– Решим это уравнение. Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения: . Выполним вычисления и получим, что , – решили уравнение мальчишки.

– Верно! – сказал Мудряш. – Получается, что одна порция мороженого стОит три рубля.

Ребята, давайте на этом уроке мы с вами порешаем задачи с помощью уравнений.

Первая задача: в первом ящике в три раза больше яблок, чем во втором. Если из

первого переложить 10 кг во второй, то яблок в ящиках будет поровну.

Сколько яблок в каждом ящике?

Решение: Пусть  кг яблок во втором ящике. В первом ящике яблок в три

раза больше, то есть  кг. Если из первого переложить 10 кг во второй, то яблок в ящиках будет поровну, а значит, можем записать

уравнение: . Перенесём  в правую часть уравнения,  – в левую часть, изменив знаки на противоположные: .

Приведём подобные слагаемые в левой части: . Неизвестный множитель  найдём как частное  и . И получим, что . То есть у нас 10 кг яблок во втором ящике. Тогда в первом –  , то есть  кг яблок.

Ответ:  кг яблок в первом ящике,  кг яблок во втором ящике.

Вторая задача: Из вазочки взяли сначала  конфет, а потом ещё половину оставшихся конфет. После этого в вазочке осталась  всех конфет. Сколько конфет осталось в вазочке?

Решение: Пусть  конфет было в вазочке первоначально. Потом из вазочки взяли  конфет, и в ней осталось  конфет. А потом взяли половину оставшихся конфет, то есть ) конфет. В результате в вазочке осталась  всех конфет, то есть .

Реши получившееся уравнение: . Раскроем скобки в левой части, умножив каждое слагаемое в скобках : . Перенесём слагаемые  и  в правую часть уравнения, а  – в левую часть уравнения, изменив их знаки на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения, найдём разность в правой части и получим: . Неизвестный множитель икс находим как частное произведения – , и известного множителя – : . Заменяем деление умножением и в результате получаем, что . То есть  конфет было в вазочке первоначально. После того, как из вазочки взяли  конфет, а потом ещё половину оставшихся, в ней осталась одна  всех конфет. А значит, мы одну  умножим на  и получим, что в вазочке осталось  конфет.

Ответ:  конфет осталось в вазочке.

Третья задача: Периметр прямоугольника равен  см. Одна из его сторон на  см больше другой. Найдите площадь прямоугольника.

Решение: Пусть  см одна сторона прямоугольника. Тогда другая сторона – ) см. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. Его находят по формуле: . Тогда для нашего прямоугольника можем записать: . Решим это уравнение. Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в них на : . Перенесём  в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный: . Приведём подобные слагаемые в левой части и найдём разность в правой части уравнения: . Неизвестный множитель  будет равен , то есть . Следовательно, одна сторона прямоугольника равна  см. Тогда другая сторона будет равна  см.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. Её находят по формуле: , где  и  – длины соседних сторон прямоугольника. Площадь нашего прямоугольника равна произведению . Выполним умножение и получим  см².

Ответ: площадь прямоугольника равна  см².

Следующая задача: Скорый поезд проходит расстояние между двумя городами за  ч, а пассажирский – за  часов  минут. Пассажирский поезд идёт со скоростью на  км/ч меньшей, чем скорый. Чему равно расстояние между городами?

Решение: пусть  км/ч – скорость скорого поезда. Тогда ) км/ч – скорость пассажирского поезда, так как он идёт медленнее, чем скорый, на  км/ч.

Мы с вами знаем, что расстояние равно скорости, умноженной на время, то есть . Скорый поезд проходит расстояние между двумя городами за  ч со скоростью  км/ч, а значит, можем записать: . Это же расстояние пассажирский поезд проходит за  часов  минут, то есть за  ч. Тогда можем записать: .

Так как поезда проходят одинаковое расстояние, то можем составить уравнение: . Решим это уравнение. Раскроем скобки в правой части, умножив каждое слагаемое в них на : . Перенесём  в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения: . Тогда . Частное двух отрицательных чисел равно частному их модулей. Выполним деление и получим, что . То есть скорость скорого поезда равна  км/ч.

Теперь, чтобы найти расстояние между городами, подставим значение , например, в равенство: , . Выполним умножение и получим  км.

Ответ: расстояние между городами –  км.

Следующая задача: отцу  года, а сыну  лет. Через сколько лет отец будет в три раза старше сына?

Решение: пусть через  лет отец будет старше сына в три раза. Тогда через  лет сыну будет  лет, а отцу –  лет, что в три раза больше, чем сыну. Таким образом, можем записать уравнение: . Решим это уравнение. Раскроем скобки в левой части, умножив каждое слагаемое в них на : .  перенесём в правую часть уравнения, а  – в левую часть, изменив знаки этих слагаемых на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения, выполним вычитание – в правой части: . Тогда , . Получается, что через  года отец будет старше сына в  раза.

Ответ: через  года отец будет старше сына в три раза.

И решим ещё одну задачу: сложили три числа. Первое составило % от суммы, второе – %. Чему равно третье число, если оно на  меньше второго?

Решение: пусть  – сумма трёх чисел. Мы с вами знаем, чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь. Первое число составляет % от суммы. Запишем:  % , тогда  – первое число.

Второе число составляет % от суммы. % запишем в виде десятичной дроби , тогда  – второе число.

Третье число на  меньше второго, то есть .

Таким образом, запишем сумму трёх чисел и получим уравнение: . Решим его. Перед скобками в левой части стоит знак «», поэтому раскроем их, оставив знаки слагаемых без изменения: . Перенесём  в правую часть уравнения, а  – в левую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения: . Тогда  и . В выражение  вместо  подставим : . Выполним вычисления и получим, что третье число равняется .

Ответ: третье число – .