Представим себе такую историю…
– Саша, вчера за 5 порций мороженого ты заплатил на 6 рублей больше, чем я за 3 порции. Давай с тобой посчитаем, сколько стоит одна порция мороженого, – предложил другу Паша.
– Давай, – согласился Саша.
– Так как ты съел 5 порций, а я – 3, то от 5 отнимем 3 и получим, что ты съел на 2 порции мороженого больше, – вычислил Паша.
– И заплатил я на 6 рублей больше, – сказал Саша.
– Тогда разделим 6 на 2 и получим, что порция мороженого стоит 3 рубля, – посчитал Паша.
– Вот и выяснили! – обрадовался Саша.
– Знаешь, Саша, мне кажется, что эту задачу мы могли бы решить и с помощью уравнения, – задумался Паша. – Давай спросим у Мудряша.
– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.
– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!
– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Решим вашу задачу с помощью уравнения. Пусть рублей стоит одна порция мороженого. Саша съел 5 порций, а значит, заплатил рублей. Паша 3 порции и заплатил рублей.
– Причём я заплатил на 6 рублей больше, чем Паша, – отметил Саша.
– Тогда мы можем составить уравнение: . Решив это уравнение, мы найдём стоимость порции мороженого, – объяснил Мудряш.
– Решим это уравнение. Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения: . Выполним вычисления и получим, что , – решили уравнение мальчишки.
– Верно! – сказал Мудряш. – Получается, что одна порция мороженого стОит три рубля.
Ребята, давайте на этом уроке мы с вами порешаем задачи с помощью уравнений.
Первая задача: в первом ящике в три раза больше яблок, чем во втором. Если из
первого переложить 10 кг во второй, то яблок в ящиках будет поровну.
Сколько яблок в каждом ящике?
Решение: Пусть кг яблок во втором ящике. В первом ящике яблок в три
раза больше, то есть кг. Если из первого переложить 10 кг во второй, то яблок в ящиках будет поровну, а значит, можем записать
уравнение: . Перенесём в правую часть уравнения, – в левую часть, изменив знаки на противоположные: .
Приведём подобные слагаемые в левой части: . Неизвестный множитель найдём как частное и . И получим, что . То есть у нас 10 кг яблок во втором ящике. Тогда в первом – , то есть кг яблок.
Ответ: кг яблок в первом ящике, кг яблок во втором ящике.
Вторая задача: Из вазочки взяли сначала конфет, а потом ещё половину оставшихся конфет. После этого в вазочке осталась всех конфет. Сколько конфет осталось в вазочке?
Решение: Пусть конфет было в вазочке первоначально. Потом из вазочки взяли конфет, и в ней осталось конфет. А потом взяли половину оставшихся конфет, то есть ) конфет. В результате в вазочке осталась всех конфет, то есть .
Реши получившееся уравнение: . Раскроем скобки в левой части, умножив каждое слагаемое в скобках : . Перенесём слагаемые и в правую часть уравнения, а – в левую часть уравнения, изменив их знаки на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения, найдём разность в правой части и получим: . Неизвестный множитель икс находим как частное произведения – , и известного множителя – : . Заменяем деление умножением и в результате получаем, что . То есть конфет было в вазочке первоначально. После того, как из вазочки взяли конфет, а потом ещё половину оставшихся, в ней осталась одна всех конфет. А значит, мы одну умножим на и получим, что в вазочке осталось конфет.
Ответ: конфет осталось в вазочке.
Третья задача: Периметр прямоугольника равен см. Одна из его сторон на см больше другой. Найдите площадь прямоугольника.
Решение: Пусть см одна сторона прямоугольника. Тогда другая сторона – ) см. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. Его находят по формуле: . Тогда для нашего прямоугольника можем записать: . Решим это уравнение. Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в них на : . Перенесём в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный: . Приведём подобные слагаемые в левой части и найдём разность в правой части уравнения: . Неизвестный множитель будет равен , то есть . Следовательно, одна сторона прямоугольника равна см. Тогда другая сторона будет равна см.
Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. Её находят по формуле: , где и – длины соседних сторон прямоугольника. Площадь нашего прямоугольника равна произведению . Выполним умножение и получим см².
Ответ: площадь прямоугольника равна см².
Следующая задача: Скорый поезд проходит расстояние между двумя городами за ч, а пассажирский – за часов минут. Пассажирский поезд идёт со скоростью на км/ч меньшей, чем скорый. Чему равно расстояние между городами?
Решение: пусть км/ч – скорость скорого поезда. Тогда ) км/ч – скорость пассажирского поезда, так как он идёт медленнее, чем скорый, на км/ч.
Мы с вами знаем, что расстояние равно скорости, умноженной на время, то есть . Скорый поезд проходит расстояние между двумя городами за ч со скоростью км/ч, а значит, можем записать: . Это же расстояние пассажирский поезд проходит за часов минут, то есть за ч. Тогда можем записать: .
Так как поезда проходят одинаковое расстояние, то можем составить уравнение: . Решим это уравнение. Раскроем скобки в правой части, умножив каждое слагаемое в них на : . Перенесём в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения: . Тогда . Частное двух отрицательных чисел равно частному их модулей. Выполним деление и получим, что . То есть скорость скорого поезда равна км/ч.
Теперь, чтобы найти расстояние между городами, подставим значение , например, в равенство: , . Выполним умножение и получим км.
Ответ: расстояние между городами – км.
Следующая задача: отцу года, а сыну лет. Через сколько лет отец будет в три раза старше сына?
Решение: пусть через лет отец будет старше сына в три раза. Тогда через лет сыну будет лет, а отцу – лет, что в три раза больше, чем сыну. Таким образом, можем записать уравнение: . Решим это уравнение. Раскроем скобки в левой части, умножив каждое слагаемое в них на : . перенесём в правую часть уравнения, а – в левую часть, изменив знаки этих слагаемых на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения, выполним вычитание – в правой части: . Тогда , . Получается, что через года отец будет старше сына в раза.
Ответ: через года отец будет старше сына в три раза.
И решим ещё одну задачу: сложили три числа. Первое составило % от суммы, второе – %. Чему равно третье число, если оно на меньше второго?
Решение: пусть – сумма трёх чисел. Мы с вами знаем, чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь. Первое число составляет % от суммы. Запишем: % , тогда – первое число.
Второе число составляет % от суммы. % запишем в виде десятичной дроби , тогда – второе число.
Третье число на меньше второго, то есть .
Таким образом, запишем сумму трёх чисел и получим уравнение: . Решим его. Перед скобками в левой части стоит знак «», поэтому раскроем их, оставив знаки слагаемых без изменения: . Перенесём в правую часть уравнения, а – в левую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения: . Тогда и . В выражение вместо подставим : . Выполним вычисления и получим, что третье число равняется .
Ответ: третье число – .