Решение уравнений

Представим себе такую историю…

– Саша, над чем это ты задумался? – спросил у друга Паша.

– Я разгадываю загадки, – ответил Саша. – И осталась последняя, которую разгадать не получается. Помоги мне, пожалуйста.

– Читай, – сказал Паша.

– Равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти, – зачитал загадку Саша.

– Так это же уравнение, – не задумываясь ответил Паша.

– Точно! – обрадовался Саша. – И мы умеем их решать.

– А давай мы поговорим с Мудряшом о решении уравнений. Может, он расскажет нам что-то новое, – предложил Паша.

– Давай, – согласился Саша.

– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, вы уже вспомнили, что уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. И мы уже умеем решать уравнения. Например, уравнение вида , где  – неизвестное число, и  – известные числа, решается с помощью правила нахождения неизвестного слагаемого: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Решая уравнение , можем записать, что .

– Тогда , – выполнил вычитание Саша.

– Верно! – сказал Мудряш и продолжил, – уравнение вида , где  – неизвестное число,  и  – известные числа, решается с помощью правила нахождения неизвестного множителя: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. Например, решая уравнение , мы можем записать, что .

– И , – снова посчитал Саша.

– А теперь посмотрите на следующее уравнение , – сказал Мудряш. – Для его решения мы не сможем применить ни одно из известных нам правил. На этом уроке мы с вами научимся решать подобные уравнения.

Очевидно, что если к двум равным числам прибавить одно и то же число, то снова получим два равных числа. То есть если , то . Это утверждение называют свойством равенства. Оно будет справедливо и для уравнения.

Запомните! Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

Причём, если уравнение не имеет корней, то прибавляя к обеим частям уравнения одно и то же число или вычитая из обеих частей одно и то же число, мы всё равно получим уравнение, которое не имеет корней.

Давайте к левой и правой частям уравнения  прибавим число : .

– Сумма противоположных чисел в левой части даст нам 0, – заметил Паша.

– Правильно, – сказал Мудряш. – Тогда можем записать, что . Посмотрите, слагаемое четыре «перепрыгнуло» из левой части уравнения в правую, при этом изменив свой знак на противоположный.

Запомните! Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

Ребята, вернёмся к уравнению . Воспользуемся только что сформулированным утверждением и перенесём слагаемое  из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный. И перенесём слагаемое  из правой части уравнения в левую, также изменив его знак на противоположный. Таким образом, . Выполним преобразования в обеих частях уравнения: . Неизвестный множитель  найдём, разделив произведение на известный множитель: . И получим, что .

Теперь вернёмся к уравнению . Умножим его правую и левую части на . Выполним вычисления и получим . То есть это уравнение можно решить и таким способом. Получается, что мы умножили обе части уравнения на одно и то же число и получили уравнение, которое имеет такой же корень, что и исходное.

Запомните! Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

– А почему мы не можем умножать на 0 обе части уравнения? – спросил Саша.

– Давайте вернёмся к уравнению , – начал объяснять Мудряш, – и умножим его левую и правую части на 0: . Очевидно, что это равенство выполняется при любом значении икс, то есть корнем является любое число. А уравнение  имеет единственный корень – .

Ребята, а сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое: решите уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: первое уравнение . Перенесём  в правую часть уравнения, а  – в левую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения и получим, что .

Второе уравнение .  перенесём в правую часть уравнения, а – в левую, при этом не забудем изменить их знаки на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения и выполним вычитание в правой части. Получим, что . Тогда .

В третьем уравнении  перенесём в  правую часть уравнения, а  перенесём в левую часть уравнения, изменив знаки этих слагаемых на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения: . Чтобы найти неизвестный множитель , разделим произведение  на известный множитель . Нам надо разделить два числа с разными знаками, а значит, запишем частное модулей делимого и делителя со знаком «»: . Выполним деление в скобках и получим, что .

В последнем уравнении  перенесём  в правую часть уравнения, а  – в левую часть уравнения, изменив знаки этих слагаемых на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения и выполним сложение в правой части. Получим: . Запишем  в виде десятичной дроби . Чтобы найти неизвестный множитель , разделим произведение  на известный множитель  и получим .

Второе задание: решите уравнение:

а) ; б) ; в) .

Решение: первое уравнение . В первую очередь раскроем скобки в левой части уравнения. Для это воспользуемся распределительным свойством умножения . Умножим каждое слагаемое в скобках на : . Теперь перенесём слагаемое  в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный: . Выполним вычисления в правой части и получим . Чтобы найти неизвестный множитель , разделим произведение  на известный множитель . Делим два числа с разными знаками, а значит, запишем частное модулей делимого и делителя со знаком «»: . Выполним деление в скобках и в результате получим, что .

Второе уравнение . Так как перед скобками в левой части уравнения стоит знак «», то раскроем их, изменив знак каждого слагаемого на противоположный: . Теперь перенесём слагаемое  в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения и выполним вычисления в правой части. Тогда получим, что . Откуда .

И ещё одно уравнение . Раскроем первые скобки, воспользовавшись распределительным законом умножения. Умножим каждое слагаемое в этих скобках на два: .

Перед вторыми скобками стоит знак «», а значит, раскроем их, изменив знак каждого слагаемого на противоположный: . Слагаемые  и  перенесём из левой части уравнения в правую, изменив их знаки на противоположные: . Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения и выполним вычисления в правой части. Тогда получим, что . Чтобы найти неизвестный множитель , мы разделим произведение  на известный множитель  и в результате получим .