Перпендикулярные прямые

Представим себе такую историю…

– Саша, ты меня звал? – спросил у друга Паша.

– Да, звал, – ответил Саша. – Помоги мне, пожалуйста, разобраться. Я собрался ехать на велосипеде в книжный магазин и спросил у старшего брата, как туда проехать. Он мне объяснил, что сначала надо проехать  км по дороге в сторону школы, а затем свернуть на дорогу, перпендикулярную той, по которой я ехал. Это как?

– Давай представим, что дороги – это у нас прямые. И твой брат сказал, что они перпендикулярны, – начал рассуждать Паша.

– А что это за перпендикулярные прямые? – перебил его Саша.

– Даже не знаю, – задумчиво ответил Паша и предложил, – а давай спросим у Мудряша.

– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу и выясним, какие же прямые называют перпендикулярными, – начал Мудряш. – Ребята, давайте вспомним, какой угол называют развёрнутым.

– Развёрнутым углом называют угол, равный , – напомнили мальчишки.

– Построим развёрнутый , – продолжил Мудряш. – Обратите внимание, что его стороны  и  образуют прямую. Теперь проведём биссектрису .

– Биссектриса делит угол на два равных угла, – вспомнил Паша.

– Верно! – отметил Мудряш.

– А значит, , – сказал Саша.

– Развёрнутый , тогда можем записать, что , – продолжил объяснять Мудряш. – А так как углы , то запишем: .

Если мы с вами достроим луч  до прямой , то получим развёрнутый . И эта сумма равна . Выше мы выяснили, что . Выразим из предпоследнего равенства : . Подставим значение : . Выполним вычитание и получим, что .

Таким же образом мы можем показать, что и .

Итак, при пересечении прямых  и  образовалось четыре прямых угла.

– И эти прямые называются перпендикулярными, – догадались Саша и Паша.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Запомните! Две прямые, образующие при пересечении четыре прямых угла, называют перпендикулярными прямыми.

Обозначают перпендикулярные прямые вот так: .

Прямые можно обозначать и одной маленькой латинской буквой. Например, .

– А можно проверить, являются ли прямые перпендикулярными? – спросили у Мудряша мальчишки.

– Конечно. Проверить, перпендикулярны прямые или нет, можно, например, с помощью угольника, – начал объяснять Мудряш. – Для этого нам надо совместить точку пересечения прямых с вершиной прямого угла угольника и расположить его так, чтобы одна из прямых совпала со стороной прямого угла угольника.

– Тогда если вторая прямая совпадёт со второй стороной прямого угла угольника, то, значит, прямые пересекаются под прямым углом, – догадался Саша.

– Верно! – сказал Мудряш. – Следовательно, прямые перпендикулярны.

– А есть ещё какой-нибудь способ проверить, перпендикулярны ли прямые? – спросил Паша.

– Есть, – ответил Мудряш. – Это можно сделать с помощью транспортира. Для этого нам надо совместить точку пересечения прямых с центром транспортира и расположить транспортир так, чтобы одна из прямых прошла по линейке.

– Тогда если вторая прямая проходит через штрих «», то данные прямые пересекаются под прямым углом, – помог Мудряшу Саша.

– А значит, эти прямые перпендикулярны, – добавил Паша.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Отметим, что совсем не обязательно измерять все четыре угла. Если один угол прямой, то и остальные три тоже будут прямыми.

– Давайте попробуем построить перпендикулярные прямые, – предложили мальчишки Мудряшу.

– Построить перпендикулярные прямые также можно с помощью угольника или транспортира, – начал Мудряш. – Чтобы построить перпендикулярные прямые с помощью угольника, мы сначала проведём произвольную прямую . Возьмём угольник и совместим сторону его прямого угла с этой прямой. Затем вдоль второй стороны прямого угла угольника проведём прямую  Таким образом, мы получим перпендикулярные прямые  и .

– Построить перпендикулярные прямые с помощью транспортира, наверное, будет сложнее, – задумались мальчишки.

– Совсем нет, – успокоил ребят Мудряш. – Давайте снова проведём произвольную прямую . Приложим к этой прямой транспортир так, чтобы она прошла по линейке. Затем найдём на шкале штрих, который соответствует .

– И проведём через него прямую, которая и будет перпендикулярна прямой , – догадался Паша.

– И назовём эту прямую , – добавил Саша.

– Всё верно! – отметил Мудряш и продолжил, – отметим, что с помощью угольника мы можем провести прямую, которая перпендикулярна данной, через некоторую точку. Причём эта точка может лежать на данной прямой, а может и не лежать.

Давайте построим произвольную прямую  и отметим на ней произвольную точку .

Возьмём угольник и совместим сторону прямого угла угольника с нашей прямой , а вершину прямого угла угольника совместим с точкой .

Затем проведём прямую  вдоль второй стороны прямого угла угольника.

Вот так мы с вами провели прямую , перпендикулярную прямой , через точку , лежащую на прямой .

Ребята, а сейчас давайте построим произвольную прямую  и отметим произвольную точку , которая не лежит на этой прямой.

– И проведём через эту точку прямую, перпендикулярную прямой ? – заинтересованно спросили у Мудряша мальчики.

– Да, – ответил Мудряш. – Для этого мы приложим угольник так, чтобы одна сторона его прямого угла совпала с нашей прямой , а вторая проходила через точку .

– Затем проведём прямую вдоль второй стороны прямого угла угольника, – продолжил построение Паша. – Можем назвать её, например, .

– Получается, что мы провели прямую , перпендикулярную прямой , через точку , которая не лежит на прямой , – сделали вывод Саша и Паша.

– Молодцы, ребята! – похвалил Пашу и Сашу Мудряш. – А теперь посмотрите на следующие рисунки. На них изображены перпендикулярные прямые, на которых лежат пары отрезков. Такие отрезки называют перпендикулярными.

Так, на первом рисунке на перпендикулярных прямых 𝑎 и  лежат перпендикулярные отрезки  и . На втором рисунке на перпендикулярных прямых  и  также лежат перпендикулярные отрезки  и .

Перпендикулярными также могут быть два луча, луч и отрезок, отрезок и прямая, луч и прямая. Посмотрите на следующие рисунки.

– На первом рисунке на перпендикулярных прямых  и  изображены лучи  и . Они перпендикулярны, – сказали Саша и Паша.

– Верно! – отметил Мудряш.

– На втором рисунке на перпендикулярных прямых  и 𝑏 изображены луч  и отрезок . Они тоже перпендикулярны, – продолжили ребята, и у них возник вопрос, – а что на третьем рисунке?

– На следующем рисунке у нас изображены перпендикулярные прямые 𝑎 и . На прямой  лежит отрезок , – начал объяснять Мудряш.

– А значит, отрезок  перпендикулярен прямой , – догадался Паша и продолжил, – тогда на последнем рисунке, так как прямые  и  перпендикулярны, луч  перпендикулярен прямой .

– Правильно, – сказал Мудряш и задал вопрос, – Саша, Паша, а какие геометрические фигуры, элементы которых перпендикулярны, вы знаете?

– Прямоугольник, – сразу же ответил Саша.

– Да, любые его две соседние стороны перпендикулярны, – добавил Мудряш.

– Прямоугольный треугольник, – привёл пример Паша, – так как один из его углов равен девяноста градусам.

– А ещё примером является прямоугольный параллелепипед, ведь он состоит из шести прямоугольников, а мы выше сказали, что у прямоугольника любые две соседние стороны перпендикулярны.

– Ребята, а сейчас давайте выполним задание, чтобы закрепить навыки построения перпендикулярных прямых, – сказал Мудряш.

Задание: Начертите угол , градусная мера которого равна . Отметьте на луче  точку  и проведите через неё прямые, перпендикулярные прямым  и .

Решение: в первую очередь мы с вами построим угол, равный . Для этого отметим произвольную точку . Затем начертим луч  с началом в этой точке . Теперь приложим к этому лучу транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой , а сам луч прошёл через начало отсчёта на шкале. Найдём на шкале транспортира штрих, который соответствует , и проведём через него луч . Таким образом, мы построили угол , который равен .

Отметим на луче  точку . Проведём через неё сначала прямую, перпендикулярную прямой . Для этого воспользуемся угольником. Совместим сторону его прямого угла с прямой , а вершину прямого угла – с точкой . И проведём прямую  вдоль второй стороны прямого угла нашего угольника.

Теперь проведём через точку  прямую, перпендикулярную прямой .

Приложим угольник так, чтобы одна сторона его прямого угла совпала с нашей прямой , а вторая проходила через точку . Теперь проведём прямую вдоль второй стороны прямого угла угольника и назовём её .

Итак, мы провели прямые  и , которые перпендикулярны соответственно прямым  и .