Представим себе такую историю…
– Саша, чем ты занимаешься? – спросил у друга Паша.
– Я разгадываю ребус, – ответил Саша. – Учитель математики сказал, что, разгадав его, мы узнаем, о чём будем говорить на следующем уроке. Хочешь разгадаем его вместе?
– С удовольствием! – сказал Паша.
– Смотри, первая картинка в ребусе – лиса, но она перевёрнута, – начал Саша.
– Это значит, что слово «лиса» надо читать справа налево, то есть «асил», – рассуждал Паша.
– А запятые перед и после картинки означают, что первую и последнюю буквы в этом слове надо убрать, – продолжил Саша. – Тогда у нас останется слог «си».
– Верно, – сказал Паша. – Затем идёт буква «м», а после нарисован змей.
– И снова перед и после картинки стоят запятые, – заметил Саша, – а значит, в слове «змей» мы уберём первую и последнюю буквы и у нас останется слог «ме». Потом идёт буква «т». А что нарисовано на следующей картинке?
– Это цирк, – ответил Паша. – Но картинка перевёрнута.
– Точно, – сказал Саша. – Тогда получается слово «криц».
– Но не забудь про запятые перед и после этой картинки, – заметил Паша.
– То есть уберём первую и последнюю буквы и получим слог «ри», – продолжил Саша.
– И у нас осталась буква «я». Теперь давай посмотрим, что у нас получилось, – предложил другу Паша.
– У нас получилось слово «симметрия», – назвал зашифрованное слово Саша.
– Значит, на следующем уроке математики мы будем говорить о симметрии, – сделал вывод Паша и предложил, – но давай прежде поговорим о ней с Мудряшом.
– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.
– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!
– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, в 5 классе вы уже познакомились с симметричными фигурами.
– Точно, – вспомнил Саша. – Это фигуры, которые имеют ось симметрии.
– Верно, – сказал Мудряш. – Также вспомним, что ось симметрии – это прямая (или воображаемая линия), которая делит геометрическую фигуру на две зеркально одинаковые фигуры.
Посмотрите на следующую фигуру. При перегибании листа бумаги по прямой l «половинки» этой фигуры, расположенные по разные стороны от прямой l, совпадут.
– То есть прямая l является осью симметрии для этой фигуры, – сделал вывод Паша.
– И эта фигура является симметричной относительно прямой l, – добавил Саша.
– Правильно, – отметил Мудряш. – Теперь посмотрите на следующий рисунок. На нём изображены прямая l и треугольник . Представим, что этот треугольник нарисован чернилами. Тогда перегнув лист бумаги по прямой l, треугольник оставит отпечаток, и мы получим треугольник, который назовём .
Теперь соединим точки и , и , и . Заметим, что отрезки , и перпендикулярны прямой l. И прямая l делит каждый из этих отрезков пополам.
Запомните! Точки и называют симметричными относительно прямой l, если прямая l перпендикулярна отрезку и делит его пополам.
– Получается, что точки и , и , и симметричны относительно прямой l? – спросил Саша.
– Верно, – ответил Мудряш и продолжил, – пусть нам дана точка и прямая l. Давайте построим точку, симметричную точке относительно прямой. l Через точку проведём прямую , перпендикулярную прямой l. Для этого воспользуемся угольником... Пересечение прямых и l обозначим точкой О. Затем отложим на прямой отрезок , равный отрезку . Таким образом, мы построили точку симметричную точке относительно прямой l.
– Построить точку, симметричную данной, совсем не сложно. А вот как построить, например, треугольник, симметричный треугольнику относительно прямой l? – спросили у Мудряша мальчишки.
– Для этого нам надо в первую очередь построить точки, симметричные точкам , и относительно прямой l, – начал объяснять Мудряш. – Построим точку , симметричную точке относительно прямой l, точку , симметричную точке относительно прямой l, и точку , симметричную точке также относительно прямой l. Соединим эти точки отрезками и получим треугольник .
– Он и будет симметричным треугольнику ? – спросил Саша.
– Да, – ответил Мудряш. – Треугольники и называют симметричными относительно прямой l.
– Мне кажется, что эти треугольники равны, – заметил Паша.
– Это так, – сказал Мудряш. – Запомните! Любые две фигуры, симметричные относительно некоторой прямой, равны.
Посмотрите на фигуру. Прямая l – ось симметрии этой фигуры. Каждая её точка, не лежащая на оси симметрии, имеет симметричную себе точку.
Итак, мы с вами поговорили об осевой симметрии. Теперь давайте рассмотрим центральную симметрию.
Посмотрите на следующий рисунок. Здесь точка О является серединой отрезка . Тогда можно сказать, что точки и симметричны относительно точки О.
Запомните! Точки и называют симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка .
Давайте построим точку, симметричную точке относительно точки О. Для этого проведём луч . Затем отложим на этом луче отрезок , равный отрезку . Тогда точки и симметричны относительно точки .
– А можно ли построить треугольник, симметричный, например, треугольнику относительно точки О? – спросили у Мудряша Саша и Паша.
– Конечно, можно, – ответил Мудряш. – Для этого мы построим точку , симметричную точке относительно точки О, точку , симметричную точке относительно точки О, и точку , симметричную точке также относительно точки О.
– Теперь соединим точки , и отрезками и получим треугольник , – сказал Саша.
– И этот треугольник является симметричным треугольнику относительно точки О, – добавил Паша.
– Молодцы! – похвалил мальчишек Мудряш.
– Эти треугольники равны, – заметил Паша.
– Верно, – сказал Мудряш. – Запомните! Любые две фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
Ребята, а теперь давайте с вами посмотрим на окружность с центром в точке О. Проведём диаметр . Диметр состоит из двух радиусов: и . Мы знаем, что все радиусы одной окружности равны между собой, а значит, отрезок равен отрезку . Следовательно, точки и симметричны относительно точки О.
Таким образом, все точки окружности можно разбить на пары точек, симметричных относительно центра этой окружности.
Говорят, что точка О – центр симметрии окружности.
– А какие ещё геометрические фигуры имеют центр симметрии? – спросили мальчишки.
– Например, отрезок имеет центр симметрии – точку О, которая является его серединой. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. У квадрата центром симметрии также является точка пересечения его диагоналей, – привёл примеры Мудряш.
С симметрией вы постоянно встречаетесь в повседневной жизни. Люди используют симметрию в орнаментах, предметах быта, архитектуре, технике.
Симметрия также встречается в природе. Например, в форме цветов и листьев растений, в форме кристаллов и снежинок, в порхающей бабочке и хвосте павлина.
Симметрия создаёт ощущение соразмерности, порядка, гармонии.
– Ребята, а сейчас давайте выполним несколько заданий, – предложил Мудряш.
Задание первое: проверьте с помощью угольника и линейки, симметричны ли относительно прямой l точки.
Решение: проверим, симметричны точки и или нет. Для этого воспользуемся определением. Соединим точки и и проверим с помощью угольника, перпендикулярна ли прямая l отрезку . Прямая l перпендикулярна отрезку . Теперь с помощью линейки проверим, делит ли прямая l отрезок пополам. Прямая l делит отрезок на два равных отрезка. Следовательно, точки и симметричны относительно прямой l.
Теперь проверим, симметричны ли точки и . Соединим их. С помощью угольника проверим, перпендикулярна ли прямая l отрезку . Прямая l перпендикулярна отрезку . Затем с помощью линейки проверим, делит ли прямая l отрезок пополам. Отрезки не равны, а значит, точки и не симметричны относительно прямой l.
И проверим, симметричны ли точки и . Соединим их. Приложим угольник к точке пересечения отрезка с прямой l и увидим, что они не перпендикулярны. А значит, точки и не симметричны относительно прямой l, хотя прямая делит отрезок пополам.
Второе задание: проверьте с помощью линейки, симметричны ли относительно точки О точки и , и .
Решение: чтобы проверить, симметричны точки и относительно точки О, воспользуемся определением. Соединим точки и и с помощью линейки проверим, является ли точка О серединой отрезка . Видим, что отрезки и не равны, а значит, точки и не симметричны относительно точки О.
Теперь соединим точки и . Приложим к отрезку линейку. Видим, что отрезки и равны, следовательно, точки и симметричны относительно точки О.
И ещё одно задание: начертите отрезок и отметьте точку вне этого отрезка. Постройте отрезок, симметричный отрезку относительно точки . Сравните полученный отрезок и отрезок .
Решение: начертим с помощью линейки отрезок , равный 5 см. Отметим точку вне этого отрезка. Чтобы построить отрезок, симметричный данному относительно точки , мы в первую очередь построим точки, симметричные точкам А и БЭ относительно точки .
Проведём луч и отложим на нём отрезок , равный отрезку . Затем проведём луч и отложим на нём отрезок , равный отрезку . Таким образом мы построили точки и , симметричные соответственно точкам и относительно точки .
Теперь соединим точки и и получим отрезок . Этот отрезок симметричен отрезку относительно точки .
Давайте с помощью линейки измерим полученный отрезок. Видим, что его длина равна пяти сантиметрам, а значит, отрезок равен отрезку и равен 5 см.