Осевая и центральная симметрии

Представим себе такую историю…

– Саша, чем ты занимаешься? – спросил у друга Паша.

– Я разгадываю ребус, – ответил Саша. – Учитель математики сказал, что, разгадав его, мы узнаем, о чём будем говорить на следующем уроке. Хочешь разгадаем его вместе?

– С удовольствием! – сказал Паша.

– Смотри, первая картинка в ребусе – лиса, но она перевёрнута, – начал Саша.

– Это значит, что слово «лиса» надо читать справа налево, то есть «асил», – рассуждал Паша.

– А запятые перед и после картинки означают, что первую и последнюю буквы в этом слове надо убрать, – продолжил Саша. – Тогда у нас останется слог «си».

– Верно, – сказал Паша. – Затем идёт буква «м», а после нарисован змей.

– И снова перед и после картинки стоят запятые, – заметил Саша, – а значит, в слове «змей» мы уберём первую и последнюю буквы и у нас останется слог «ме». Потом идёт буква «т». А что нарисовано на следующей картинке?

– Это цирк, – ответил Паша. – Но картинка перевёрнута.

– Точно, – сказал Саша. – Тогда получается слово «криц».

– Но не забудь про запятые перед и после этой картинки, – заметил Паша.

– То есть уберём первую и последнюю буквы и получим слог «ри», – продолжил Саша.

– И у нас осталась буква «я». Теперь давай посмотрим, что у нас получилось, – предложил другу Паша.

– У нас получилось слово «симметрия», – назвал зашифрованное слово Саша.

– Значит, на следующем уроке математики мы будем говорить о симметрии, – сделал вывод Паша и предложил, – но давай прежде поговорим о ней с Мудряшом.

– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, в 5 классе вы уже познакомились с симметричными фигурами.

– Точно, – вспомнил Саша. – Это фигуры, которые имеют ось симметрии.

– Верно, – сказал Мудряш. – Также вспомним, что ось симметрии – это прямая (или воображаемая линия), которая делит геометрическую фигуру на две зеркально одинаковые фигуры.

Посмотрите на следующую фигуру. При перегибании листа бумаги по прямой l «половинки» этой фигуры, расположенные по разные стороны от прямой l, совпадут.

– То есть прямая l является осью симметрии для этой фигуры, – сделал вывод Паша.

– И эта фигура является симметричной относительно прямой l, – добавил Саша.

– Правильно, – отметил Мудряш. – Теперь посмотрите на следующий рисунок. На нём изображены прямая l и треугольник . Представим, что этот треугольник нарисован чернилами. Тогда перегнув лист бумаги по прямой l, треугольник  оставит отпечаток, и мы получим треугольник, который назовём .

Теперь соединим точки  и ,  и ,  и . Заметим, что отрезки ,  и  перпендикулярны прямой l. И прямая l делит каждый из этих отрезков пополам.

Запомните! Точки  и  называют симметричными относительно прямой l, если прямая l перпендикулярна отрезку  и делит его пополам.

– Получается, что точки  и ,  и ,  и  симметричны относительно прямой l? – спросил Саша.

– Верно, – ответил Мудряш и продолжил, – пусть нам дана точка  и прямая l. Давайте построим точку, симметричную точке  относительно прямой. l Через точку  проведём прямую , перпендикулярную прямой l. Для этого воспользуемся угольником... Пересечение прямых  и l обозначим точкой О. Затем отложим на прямой  отрезок , равный отрезку . Таким образом, мы построили точку  симметричную точке  относительно прямой l.

– Построить точку, симметричную данной, совсем не сложно. А вот как построить, например, треугольник, симметричный треугольнику  относительно прямой l? – спросили у Мудряша мальчишки.

– Для этого нам надо в первую очередь построить точки, симметричные точкам ,  и  относительно прямой l, – начал объяснять Мудряш. – Построим точку , симметричную точке  относительно прямой l, точку , симметричную точке  относительно прямой l, и точку , симметричную точке  также относительно прямой l. Соединим эти точки отрезками и получим треугольник .

– Он и будет симметричным треугольнику ? – спросил Саша.

– Да, – ответил Мудряш. – Треугольники  и  называют симметричными относительно прямой l.

– Мне кажется, что эти треугольники равны, – заметил Паша.

– Это так, – сказал Мудряш. – Запомните! Любые две фигуры, симметричные относительно некоторой прямой, равны.

Посмотрите на фигуру. Прямая l – ось симметрии этой фигуры. Каждая её точка, не лежащая на оси симметрии, имеет симметричную себе точку.

Итак, мы с вами поговорили об осевой симметрии. Теперь давайте рассмотрим центральную симметрию.

Посмотрите на следующий рисунок. Здесь точка О является серединой отрезка . Тогда можно сказать, что точки  и  симметричны относительно точки О.

Запомните! Точки  и  называют симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка .

Давайте построим точку, симметричную точке  относительно точки О. Для этого проведём луч . Затем отложим на этом луче отрезок , равный отрезку . Тогда точки  и  симметричны относительно точки .

– А можно ли построить треугольник, симметричный, например, треугольнику  относительно точки О? – спросили у Мудряша Саша и Паша.

– Конечно, можно, – ответил Мудряш. – Для этого мы построим точку , симметричную точке  относительно точки О, точку , симметричную точке  относительно точки О, и точку , симметричную точке  также относительно точки О.

– Теперь соединим точки ,  и  отрезками и получим треугольник , – сказал Саша.

– И этот треугольник является симметричным треугольнику  относительно точки О, – добавил Паша.

– Молодцы! – похвалил мальчишек Мудряш.

– Эти треугольники равны, – заметил Паша.

– Верно, – сказал Мудряш. – Запомните! Любые две фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Ребята, а теперь давайте с вами посмотрим на окружность с центром в точке О. Проведём диаметр . Диметр состоит из двух радиусов:  и . Мы знаем, что все радиусы одной окружности равны между собой, а значит, отрезок  равен отрезку . Следовательно, точки  и  симметричны относительно точки О.

Таким образом, все точки окружности можно разбить на пары точек, симметричных относительно центра этой окружности.

Говорят, что точка О – центр симметрии окружности.

– А какие ещё геометрические фигуры имеют центр симметрии? – спросили мальчишки.

– Например, отрезок  имеет центр симметрии ­– точку О, которая является его серединой. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. У квадрата центром симметрии также является точка пересечения его диагоналей, – привёл примеры Мудряш.

С симметрией вы постоянно встречаетесь в повседневной жизни. Люди используют симметрию в орнаментах, предметах быта, архитектуре, технике.

Симметрия также встречается в природе. Например, в форме цветов и листьев растений, в форме кристаллов и снежинок, в порхающей бабочке и хвосте павлина. 

Симметрия создаёт ощущение соразмерности, порядка, гармонии.

– Ребята, а сейчас давайте выполним несколько заданий, – предложил Мудряш.

Задание первое: проверьте с помощью угольника и линейки, симметричны ли относительно прямой l точки.

Решение: проверим, симметричны точки  и  или нет. Для этого воспользуемся определением. Соединим точки  и  и проверим с помощью угольника, перпендикулярна ли прямая l отрезку . Прямая l перпендикулярна отрезку . Теперь с помощью линейки проверим, делит ли прямая l отрезок  пополам. Прямая l делит отрезок  на два равных отрезка. Следовательно, точки  и  симметричны относительно прямой l.

Теперь проверим, симметричны ли точки  и . Соединим их. С помощью угольника проверим, перпендикулярна ли прямая l отрезку . Прямая l перпендикулярна отрезку . Затем с помощью линейки проверим, делит ли прямая l отрезок  пополам. Отрезки не равны, а значит, точки  и  не симметричны относительно прямой l.

И проверим, симметричны ли точки  и . Соединим их. Приложим угольник к точке пересечения отрезка  с прямой l и увидим, что они не перпендикулярны. А значит, точки  и  не симметричны относительно прямой l, хотя прямая делит отрезок  пополам.

Второе задание: проверьте с помощью линейки, симметричны ли относительно точки О точки  и ,  и .

Решение: чтобы проверить, симметричны точки  и  относительно точки О, воспользуемся определением. Соединим точки  и  и с помощью линейки проверим, является ли точка О серединой отрезка . Видим, что отрезки  и  не равны, а значит, точки  и  не симметричны относительно точки О.

Теперь соединим точки  и . Приложим к отрезку  линейку. Видим, что отрезки  и  равны, следовательно, точки  и  симметричны относительно точки О.

И ещё одно задание: начертите отрезок  и отметьте точку  вне этого отрезка. Постройте отрезок, симметричный отрезку  относительно точки . Сравните полученный отрезок и отрезок .

Решение: начертим с помощью линейки отрезок , равный 5 см. Отметим точку  вне этого отрезка. Чтобы построить отрезок, симметричный данному относительно точки , мы в первую очередь построим точки, симметричные точкам А и БЭ относительно точки .

Проведём луч  и отложим на нём отрезок , равный отрезку . Затем проведём луч  и отложим на нём отрезок , равный отрезку . Таким образом мы построили точки  и , симметричные соответственно точкам  и  относительно точки .

Теперь соединим точки  и  и получим отрезок . Этот отрезок симметричен отрезку  относительно точки .

Давайте с помощью линейки измерим полученный отрезок. Видим, что его длина равна пяти сантиметрам, а значит, отрезок  равен отрезку  и равен 5 см.