Параллельные прямые

Представим себе такую историю…

– Паша, что ты читаешь? – спросил у друга Саша.

– Я читаю книгу о поездах, – ответил другу Паша. – В ней очень много интересного написано. Например, я узнал, когда появились первые поезда и как они были устроены, когда и где появилась первая железная дорога.

– Знаешь, Паша, мне всегда было интересно, как расположены железнодорожные рельсы, – сказал Саша.

– В книге написано, что рельсы можно сравнить с параллельными прямыми, – рассказал Паша.

– А что это за параллельные прямые? – спросил Саша.

– Даже не знаю, – ответил Паша. – А давай спросим у Мудряша.

– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, давайте разберёмся, какие же прямые называют параллельными. Пусть на плоскости есть прямая  и точка , которая не лежит на этой прямой.

Проведём через точку  несколько прямых. Обратите внимание, каждая из этих прямых, кроме прямой , пересекает прямую . Тогда про прямые  и  мы можем сказать, что они параллельны. Записывают это так: . И говорят: «Прямые  и  параллельны» или «прямая  параллельна прямой ».

Запомните! Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называют параллельными.

Паша, Саша, может, вы приведёте примеры геометрических фигур, элементы которых лежат на параллельных прямых?

– Думаю, что стороны прямоугольника лежат на параллельных прямых, – предположил Паша.

– Да. Но только противолежащие стороны прямоугольника лежат на параллельных прямых. Его соседние стороны перпендикулярны, – сказал Мудряш. – У прямоугольного параллелепипеда  на параллельных прямых лежат, например, рёбра  и ;  и ;  и . А как вы думаете, рёбра  и  тоже лежат на параллельных прямых?

– Да, ведь они не пересекаются, – сказал Саша.

– Но они не лежат в одной плоскости, – заметил Паша.

– Верно, – сказал Мудряш. – Запомните! Прямые, которые не пересекаются, но не лежат в одной плоскости, называют скрещивающимися.

На следующем рисунке изображены отрезки  и , которые лежат на параллельных прямых  и . Такие отрезки также называют параллельными.

Лучи и , лежащие на параллельных прямых  и , также параллельны.

– Тогда у прямоугольника  параллельны противолежащие стороны  и ,  и , – догадались мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – В прямоугольном параллелепипеде параллельными являются, например, рёбра  и ;  и .

Ребята, а теперь посмотрите на рисунок. Здесь прямые  и  перпендикулярны прямой , так как соседние стороны прямоугольника перпендикулярны. Причём прямая  параллельна прямой , так как противолежащие стороны прямоугольника параллельны. Тогда можем сформулировать следующее свойство.

Запомните! Если две прямые, лежащие в одной плоскости, перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Построить параллельные прямые мы можем с помощью угольника и линейки.

Давайте проведём прямую, параллельную прямой , через точку . Для этого мы совместим сторону прямого угла угольника с прямой . К другой стороне прямого угла угольника прикладываем линейку. Теперь двигаем наш угольник вдоль линейки до тех пор, пока точка  не окажется на стороне прямого угла угольника. Затем проводим прямую . Прямые  и  параллельны.

 Итак, мы с вами познакомились с параллельными прямыми и умеем их строить.

– Теперь понятно, почему рельсы сравнивают с параллельными прямыми. Ведь они никогда не пересекаются, – разобрались мальчишки.

– Кроме рельсов, представление о параллельных прямых дают нам также провода воздушных линий электропередач, линии дорожной разметки, линии в тетради в линейку, следы, оставленные автомобилем на снегу, который двигался прямолинейно.

– Паша, Саша, а сейчас давайте выполним несколько заданий, – предложил ребятам Мудряш.

Задание первое: проведите через точки  и  прямые, параллельные прямой .

Решение: строить прямые, параллельные прямой , будем с помощью угольника и линейки. Сначала проведём прямую, параллельную прямой , через точку . Для этого совместим сторону прямого угла угольника с прямой . К другой стороне прямого угла угольника приложим линейку. Затем будем двигать наш угольник вдоль линейки, пока точка  не окажется на стороне прямого угла угольника. Проведём прямую. Назовём её . Прямые  и  параллельны.

Теперь проведём прямую, которая будет параллельна прямой , через точку . Совместим сторону прямого угла угольника с прямой . К другой стороне прямого угла угольника приложим линейку и будем двигать угольник вдоль линейки до тех пор, пока точка  не окажется на стороне прямого угла угольника. Теперь проведём прямую. Назовём её . Прямые  и  параллельны.

Задание второе: проверьте с помощью угольника и линейки, параллельны ли прямые  и ,  и .

Решение: проверить, параллельны ли прямые, можно с помощью угольника и линейки. Возьмём угольник и совместим сторону его прямого угла с прямой . К другой стороне его прямого угла прикладываем линейку. Теперь двигаем угольник вдоль линейки до прямой . Видим, что сторона угольника совместилась с прямой . Значит, прямая  параллельна прямой .

Продолжим двигать наш угольник вдоль линейки до прямой . Видим, что сторона угольника не совместилась с прямой . А значит, прямая  не параллельна прямой .

Следующее задание: проведите через каждую вершину треугольника  прямую, параллельную противоположной стороне.

Решение: проведём через вершину  прямую, параллельную противоположной стороне . Возьмём угольник и совместим сторону его прямого угла с прямой . К другой стороне его прямого угла приложим линейку и будем двигать угольник вдоль линейки до тех пор, пока точка  не окажется на стороне прямого угла угольника. Проведём прямую , параллельную стороне .

Теперь проведём через вершину  прямую, параллельную противоположной стороне . Возьмём угольник и совместим сторону его прямого угла с прямой . К другой стороне его прямого угла приложим линейку и будем двигать угольник вдоль линейки до тех пор, пока точка  не окажется на стороне прямого угла угольника. Проведём прямую , параллельную стороне .

И проведём через вершину  прямую, параллельную противоположной стороне . Возьмём угольник и совместим сторону его прямого угла с прямой . К другой стороне его прямого угла приложим линейку и будем двигать угольник вдоль линейки до тех пор, пока точка  не окажется на стороне прямого угла угольника. Проведём прямую , параллельную стороне .

Таким образом, мы через каждую вершину треугольника  провели прямые, параллельные противолежащим сторонам.

И ещё одно задание: начертите угол , градусная мера которого равна . Отметьте между сторонами угла точку  и проведите через эту точку прямые, параллельные сторонам угла.

Решение: в первую очередь мы с вами построим угол, равный . Для этого отметим произвольную точку . Затем начертим луч  с началом в этой точке . Теперь приложим к этому лучу транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой , а сам луч прошёл через начало отсчёта на шкале. Найдём на шкале транспортира штрих, который соответствует шестидесяти градусам, и проведём через него луч . Таким образом, мы построили угол , который равен .

Отметим точку  между сторонами построенного угла. Возьмём угольник и совместим сторону его прямого угла со стороной . К другой стороне его прямого угла приложим линейку и будем двигать угольник вдоль линейки до тех пор, пока точка  не окажется на стороне прямого угла угольника. Проведём прямую , параллельную стороне  угла .

Затем сторону прямого угла угольника совместим со стороной . К другой стороне прямого угла угольника приложим линейку и будем двигать его вдоль линейки до тех пор, пока точка  не окажется на стороне прямого угла угольника. Проведём прямую , параллельную стороне  угла .

Итак, мы провели через точку  прямые  и , параллельные соответственно сторонам  и  угла .