Координатная плоскость

Представим себе такую историю…

– Привет, Саша! Мы идём в субботу в кино? Ты купил билеты? – спросил у друга Паша.

– Купил, – ответил Саша. – У нас 5 и 6 места.

– А в каком ряду наши места? – снова задал вопрос Паша. – Ведь в кинотеатре много рядов, и на каждом из них есть и 5, и 6 место.

– Наши места в 3 ряду, – уточнил Саша.

– Вот теперь понятно, – сказал Паша. – Места в зрительном зале кинотеатра всегда задают двумя числами: первое число – номер ряда, второе число – номер кресла в этом ряду. А знать только номер ряда или только номер кресла нам будет мало.

– Можно сказать, что номер ряда и номер кресла в этом ряду – это наши координаты в зале, – добавил Саша.

– Саша, а мы ведь на уроках математики не раз встречались с координатами, – сказал Паша.

– Точно. На координатной прямой мы отмечали точку, зная её координату, – вспомнил Саша

– Да. Но положение точки на координатной прямой определяется одной координатой, а расположение наших с тобой мест в зале – двумя, – задумался Паша. – Может, Мудряш поможет нам разобраться в этом.

– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, вы уже знакомы с координатной прямой. Это прямая, на которой выбрали начало отсчёта, единичный отрезок и направление. Вы знаете, как найти точку на ней, если известна координата этой точки. Например, числу  соответствует единственная точка .

Однако, покупая билеты в кино, вы обратили внимание, чтобы отыскать нужное нам место в зале, недостаточно знать одну координату, то есть только номер ряда или только номер кресла.

Чтобы занять нужное место, нам надо знать и номер кресла, и номер ряда, то есть две координаты.

Подобным образом можно обозначить положение точки на плоскости.

Давайте на плоскости проведём две перпендикулярные координатные прямые таким образом, чтобы их начала отсчёта совпали. Эти прямые называют осями координат. Обозначим точку их пересечения точкой О. Точку О называют началом координат. Горизонтальную ось обозначают буквой  и называют осью абсцисс, или осью , а вертикальную ось обозначают буквой  и называют осью ординат, или осью .

Ось  и ось  образуют прямоугольную систему координат. А плоскость, на которой задана система координат, называют координатной плоскостью.

Обратите внимание, что координатные оси разделяют плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями и нумеруют против часовой стрелки: первая четверть, вторая четверть, третья четверть, четвёртая четверть.

– А давайте отметим на координатной плоскости какую-нибудь точку, – предложили ребята Мудряшу.

– Давайте отметим точку , – начал Мудряш. – Проведём через эту точку прямые, перпендикулярные осям координат. Пересечение с осью  обозначим точкой , а с осью  – точкой .

Посмотрите, точка  на оси  имеет координату .

– А точка  на оси  имеет координату , – помогли Мудряшу ребята.

– Верно, – сказал Мудряш. – Число  называют абсциссой точки , число  – ординатой точки . Эти числа определяют положение точки  на координатной прямой.

– И их называют координатами точки ? – задали вопрос мальчишки.

– Да, – ответил Мудряш. – И записывают так: При этом обратите внимание, что абсциссу всегда ставят на первое место, а ординату – на второе.

– А если поменять местами минус  и ? – спросили ребята.

– Тогда мы получим другую точку. Например, точку , – объяснил Мудряш. – Отметим эту точку на координатной плоскости.

Для этого на оси  находим абсциссу точки . Она равна . Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Затем на оси  находим ординату точки . Она равна минус трём. Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Точка, в которой пересекаются эти прямые, и есть точка .

– А какие координаты имеет точка О? – поинтересовался Паша.

– Абсцисса и ордината у начала координат равны 0. Записывают это так: .

Ребята, посмотрите на рисунок. Здесь отмечены точка и точка .

– Точка  лежит на оси , а точка  лежит на оси , – отметили мальчики.

– И обратите внимание, что у точки  ордината равна , а у точки  абсцисса равна , – добавил Мудряш. – Запомните! Если точка лежит на оси абсцисс, то её ордината равна , а если точка лежит на оси ординат, то  равна её абсцисса.

Теперь отметим на координатной плоскости точку  и точку .

– У этих точек абсцисса и ордината – противоположные числа, – заметил Паша.

– Правильно, – сказал Мудряш. – И эти точки симметричны относительно точки О, то есть относительно начала координат. Запомните! Две точки с противоположными абсциссами и ординатами симметричны относительно начала координат.

Отметим на координатной плоскости точку  и точку .

– У этих точек абсциссы – противоположные числа, а ординаты равны, – заметили мальчишки.

– Верно, – сказал Мудряш. – При этом точки  и  симметричны относительно оси . Запомните! Две точки с равными ординатами и противоположными абсциссами симметричны относительно оси ординат.

А теперь давайте отметим точку  и точку .

– У этих точек, наоборот, абсциссы равны, а ординаты – противоположные числа, – снова заметили Саша и Паша.

– При этом точки  и  симметричны относительно оси . Запомните! Две точки с равными абсциссами и противоположными ординатами симметричны относительно оси абсцисс.

Ребята, а сейчас давайте выполним несколько заданий, – предложил Мудряш.

Задание первое: найдите координаты точек ,  и , изображённых на рисунке.

Решение: найдём координаты точки . Для этого проведём через неё прямую, перпендикулярную оси , и прямую, перпендикулярную оси . Видим, что точка пересечения прямой, перпендикулярной оси , и оси  имеет координату 3, а значит, абсцисса точки  равна 3. Точка пересечения прямой, перпендикулярной оси , и оси  имеет координату 4, а значит, ордината точки  равна 4.

Найдём координаты точки . Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси , и прямую, перпендикулярную оси . Точка пересечения прямой, перпендикулярной оси , и оси  имеет координату , а значит, абсцисса точки  равна . Точка пересечения прямой, перпендикулярной оси , и оси  имеет координату , а значит, ордината точки  равна .

И найдём координаты точки . Проведём через неё прямые, перпендикулярные осям координат. Видим, что точка пересечения прямой, перпендикулярной оси , и оси  имеет координату , а значит, абсцисса точки  равна . Точка пересечения прямой, перпендикулярной оси , и оси  имеет координату , а значит, ордината точки  равна .

Второе задание: отметьте на координатной плоскости точки: , , .

Решение: отметим точку . Абсцисса точки  равна . Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Ордината точки  равна . Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Точка, в которой пересекаются эти прямые, и есть точка .

Теперь отметим точку . Абсцисса точки  равна . Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Ордината точки БЭ – 1. Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Точка, в которой пересекаются эти прямые, и есть точка .

Осталось отметить точку . Абсцисса этой точки равна , а значит, точка  лежит на оси ординат. Ордината этой точки равна .

И ещё одно задание: постройте на координатной плоскости отрезки  и , если точка , , , . Найдите точку пересечения этих отрезков.

Решение: чтобы построить отрезки  и , отметим на координатной плоскости точки , ,  и .

Отметим точку . Абсцисса этой точки равна , а значит, точка  лежит на оси ординат. Ордината этой точки равна .

Отметим точку . Абсцисса точки  равна . Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Ордината точки  равна . Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Точка, в которой пересекаются эти прямые, и есть точка .

Отметим точку . Ордината этой точки равна , а значит, точка  лежит на оси абсцисс. Абсцисса этой точки равна .

Отметим точку . Абсцисса точки  равна . Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Ордината точки ДЭ равна . Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Точка, в которой пересекаются эти прямые, и есть точка .

Соединим точки  и ,  и . Обозначим точку пересечения отрезков  и  точкой . Найдём координаты этой точки. Для этого проведём через неё прямую, перпендикулярную оси , и прямую, перпендикулярную оси . Видим, что точка пересечения прямой, перпендикулярной оси , и оси  имеет на оси  координату , а значит, абсцисса точки  равна . Точка пересечения прямой, перпендикулярной оси , и оси  имеет на оси  координату , а значит, ордината точки  равна .

Таким образом, отрезки  и  пересекаются в точке .