Меню
Видеоучебник
Видеоучебник  /  Геометрия  /  8 класс  /  Геометрия 8 класс ФГОС  /  Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Урок 26. Геометрия 8 класс ФГОС

В этом уроке мы повторим определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Покажем способы нахождения значений синуса, косинуса, тангенса острых углов прямоугольного треугольника с помощью таблиц Брадиса и калькулятора. Найдем значения синуса, косинуса, тангенса для углов в 30°, 45° и 60°. Занесем полученные результаты в таблицу. На конкретных примерах покажем пользу использования таблицы. Рассмотрим способ легкого запоминания табличных значений.

Конспект урока "Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60"

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, что синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника можно записать и так

Синус и косинус одного и того же угла связаны между собой основным тригонометрическим тождеством: .

Посчитать значения синусов, косинусов, тангенсов, для всех острых углов прямоугольного треугольника очень трудно. Для этого существуют специальные таблицы Брадиса, названные так в честь Владимира Модестовича Брадиса, российского и советского математика.

Современные калькуляторы также помогают вычислить синусы, косинусы, тангенсы произвольных острых углов.

Но значения синуса, косинуса, тангенса для некоторых острых углов прямоугольного треугольника найти нетрудно.

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, острые углы которого равны 30º и 60º соответственно.

Запишем формулу, для нахождения синуса 30º: . Мы помним, что катет, лежащий напротив угла в 30º равен половине гипотенузы, то есть заменив гипотенузу удвоенной длиной катета, получим: .

Но это же отношение равно косинусу 60º: , то есть косинус шестидесяти градусов равен одной второй.

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством

, получим, что

Для вычисления тангенса, воспользуемся формулой:

;   .

Еще раз обратите внимание, что из-за того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна девяноста градусам

 и  .

Теперь давайте рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.

 В этом треугольнике Ac= BC и острые углы равны по 45º. Запишем теорему Пифагора для этого треугольника.

 .

Для удобства, занесем полученные нами значения для синуса, косинуса, тангенса в таблицу.

Теперь, давайте на одной задаче попробуем показать пользу использования таблицы, которую мы с вами составили.

Задача. Найти  если .

Решение.

Сначала будем решать эту задачу, пользуясь только формулами для вычисления синуса, косинуса, тангенса.

По теореме Пифагора найдем, что гипотенуза равна двум.

Подставим полученные значения в формулы для вычисления синуса и косинуса и получим:

А теперь давайте решим эту задачу с помощью таблицы. Посмотрим на строку тангенс и найдем клеточку, в которой записан . Получим, что тангенс равен  для угла в 60º. Тогда мы сразу можем записать, что синус 60º=, а косинус 60º=.

Ответ:  

То есть, пользоваться табличными значениям гораздо удобнее, чем каждый раз вычислять синус, косинус и тангенс для этих углов.

Задача. В прямоугольном треугольнике . Вычислить длины катетов прямоугольного треугольника.

Решение.

Ответ: .

Задача. Найти углы ромба с диагоналями  и .

Решение.

Ответ: .

Давайте еще раз повторим таблицу значений для синуса, косинуса, тангенса углов 30º, 45º, 60º.

А запомнить эту таблицу несложно. Давайте посмотрим на строки, в которых записаны синусы и косинусы углов. Там записаны одни и те же значения, только в строке синусов они записаны в порядке возрастания, а в строке косинус – в порядке убывания. Тангенсы не надо заучивать, достаточно знать, что тангенс – отношение синуса к косинусу.

0
22878

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт