Взаимное расположения прямой и окружности

Прежде чем приступить к новой теме, давайте вспомним, что такое окружность и вспомним основные элементы окружности.

Напомню, что окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, равноудаленных от точки О, которую называют центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности, называется радиусом. Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром и равна двум радиусам.

Сегодня мы выясним, сколько общих точек могут иметь окружность и прямая. Если прямая p проходит через центр окружности, то, очевидно, она имеет с окружностью две общие точки.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда прямая p не проходит через центр окружности. Опустим на прямую перпендикуляр из центра окружности и обозначим его буквой d. Длина этого перпендикуляра – расстояние от центра окружности до данной прямой p.

Теперь давайте попробуем определить взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения d и радиуса окружности. Возможны три случая:

Первый случай.

Получим, что ОА и ОB равны радиусу окружности, то есть точки А и B лежат на окружности. А, значит, они являются общими точками прямой p и окружности.

А может быть есть еще общие точки, у прямой и окружности? Допустим, что, действительно, есть еще одна общая точка C. Тогда медиана ОD равнобедренного треугольника OBC, проведенная к основанию AC, является высотой, то есть перпендикулярна прямой p. Поскольку середина отрезка AB – точка H не совпадает с серединой отрезка AC – точкой D, значит, отрезки ОD и ОH не совпадают. Получается, что из точки О проведены два перпендикуляра к прямой p, а такого быть не может.

То есть доказали, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. В таком случае, прямая называется секущей по отношению к окружности.

Рассмотрим второй случай.

В этом случае, длина перпендикуляра ОH=r, то есть точка H лежит на окружности. Больше общих точек у прямой и окружности нет.

Докажем это. Возьмем на прямой точку М. В любом случае ОМ будет больше OH, следовательно, точка М не будет лежать на окружности.

Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. В таком случае, прямая называется касательной к окружности.

Теперь, давайте, рассмотрим третий случай.

В этом случае, , то есть, окружность и прямая не имеют общих точек. Можно сказать, что если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Задача. Определить взаимное расположение прямой и окружности, если:

а) , ;    б) , ;    в) , ;

Решение.

а) , прямая является секущей для окружности и они имеют две общие точки

б) , прямая и окружность не пересекаются

в) , прямая и окружность имеют одну общую точку

Задача. Диаметр окружности равен  см а расстояние от центра окружности до прямой равно:  см  дм  мм  см

 дм  см.

Решение.

Найдем радиус окружности.

 см

Теперь сравним получившийся радиус с расстоянием от центра окружности до прямой. Не забудем все перевести в одни единицы измерения.

 дм  см

 мм  см

 дм  см

Получим, что с прямой, расстояние до которой равно четырем целым пятнадцать сотых сантиметра, окружность имеет две общие точки.

С прямой, расстояние до которой равно двум дециметрам или двадцати сантиметрам, окружность не имеет общих точек.

С прямой, расстояние до которой равно сто три миллиметра, окружность не имеет общих точек.

Задача. Даны окружность с центром в точке  и точка . Где находится точка , если  см, а длина отрезка  равна:  см,  см,  мм.

Решение. Для определения места положения точки А, сравним длину отрезка ОА с радиусом окружности.

Получим, что в случае, когда длина отрезка равна 4 сантиметрам, точка А лежит внутри окружности), в случае, когда ОА равно 10 сантиметрам, точка А лежит вне окружности (). В случае, когда ОА равно 50 миллиметрам или, что тоже самое, 5 сантиметрам, точка А лежит на окружности( мм  см)

Итак, сегодня на уроке мы рассмотрели три случая взаимного расположения прямой и окружности, в зависимости от соотношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности. Повторим их.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.