Касательная к окружности

Давайте вспомним, как могут располагаться окружность и прямая в зависимости от отношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности.

Напомним, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Сегодня мы особо рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности. А общая точка окружности и прямой называется точкой касания прямой и окружности.

Давайте, на рисунке укажем касательные к окружности и назовем точки касания.

Здесь касательными к окружности будут прямые b и d, точками касания будут точки C и F.

Теперь давайте из центра окружности проведем радиусы к точкам касания. По рисунку можно предположить, что радиусы, проведенные к точке касания будут перпендикулярны касательной.

Давайте попробуем доказать или опровергнуть это утверждение.

Пусть прямая p – касательная к окружности с центром в точке О и точка А – точка касания.

Предположим, что касательная p не перпендикулярна радиусу ОА. Тогда радиус ОА – наклонная к прямой p. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую p. Поскольку перпендикуляр, проведенный из точки меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки, то получаем, что расстояние от точки О до прямой p меньше радиуса, то есть прямая и окружность пересекаются в двух точках. Но тогда прямая p – секущая, а по условию, она – касательная.

Таким образом, предположение о том, что касательная не перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, не подтвердилось.

То есть мы доказали свойство касательной к окружности. Сформулируем ее:

Теорема (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Задача. Радиус  окружности с центром  делит хорду  пополам. Доказать, что касательная, проведенная через точку , параллельна хорде .

Доказательство.

 равнобедренный

 медиана и высота

Построим окружность, проведем хорду АB, проведем радиус ОК, который делит хорду АB пополам. Проведем касательную к окружности в точке К.

Проведем радиусы ОА и ОB и рассмотрим равнобедренный треугольник AOB. Поскольку ОК делит AB пополам, то часть этого отрезка OH будет являться медианой и высотой, то есть OH перпендикулярно AB. По свойству касательной, касательная, проведенная в точке К будет перпендикулярна ОК. Таким образом, мы получили две прямые, которые перпендикулярны радиусу ОК.

 и 

Что и требовалось доказать.

Теперь давайте рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках B и C. Отрезки AB и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А. Эти отрезки обладают следующим свойством:

Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Доказательство.

 и

,  – общая,  – как радиусы

Следовательно, ,

Что и требовалось доказать.

Это свойство запомнить не сложно, достаточно вспомнить героя сказок – Буратино. Его круглое личико мы примем за окружность. А стороны его колпачка – за касательные, проведенные из одной точки. Очевидно, что стороны колпачка равны, и если мы проведем линию из центра колпачка вертикально вниз, то углы тоже будут равны.

Задача. Через концы хорды , равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке . Найдите .

Решение. Выполним чертеж.

 − равносторонний

 (по свойству отрезков касательной)

 (по свойству касательной)

 (по свойству углов равнобедренного треугольника)

Ответ:

Теперь, давайте попробуем сформулировать и доказать признак касательной.

Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство.

По условию теоремы, данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. А значит, он является расстоянием от центра окружности до прямой. То есть радиус окружности и расстояние до прямой равны, а, значит, окружность с прямой имеют одну общую точку. То есть, прямая является касательной к окружности, что и требовалось доказать.

Задача. Через данную точку  окружности с центром  провести касательную к этой окружности.

Решение.

Построим прямую ОА. Через точку А проведем прямую p перпендикулярно прямой ОА. По признаку касательной, эта прямая будет касательной к окружности в точке А.

Задача. К окружности с радиусом  проведена касательная из точки , удаленной от центра на расстояние, равное . Найти длину отрезка касательной от точки  до точки касания.

Решение. Сделаем чертеж.

Рассмотрим треугольник АОB.  (по свойству касательной)  (по теореме Пифагора)

;

Ответ:

Задача. Доказать, что касательные к окружности, проведенные через концы диаметра, параллельны.

Решение. Выполним чертеж.

По свойству касательных, углы между диаметром и касательными равны .

Значит, по признаку параллельности прямых, получаем, что касательные параллельны.

Задача. Отрезки  и  являются отрезками касательных к окружности с центром , проведенными из точки . Найти , если середина отрезка  лежит на окружности.

Решение. Выполним чертеж.

,  (по свойству касательных)

 Рассмотрим треугольник ОАМ. По свойству касательной – это прямоугольный треугольник с катетом равным радиусу и гипотенузой, равной двум радиусам.

 и  (по свойству отрезков касательных)

Ответ:

Давайте повторим главное:

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойство касательной к окружности. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Еще раз сформулируем свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Сформулируем признак касательной.

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.