Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом, понятиями, которые связывают острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника.

Прежде всего, давайте повторим основные сведения о прямоугольном треугольнике. Пусть нам дан прямоугольный треугольник ABC. Вершина C, угол С= 90º – прямой, гипотенуза с. Вершина А, угол α - острый, катет a. Вершина B, угол β - острый, катет b.

Напомним, что сумма углов треугольника равна 180º, значит, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Мы знаем, что стороны прямоугольного треугольника связаны между собой теоремой Пифагора.

Катет, BC является противолежащим для угла А, катет AC является прилежащим для угла А. Аналогично, катет AC является противолежащим для угла B, катет BC является прилежащим для угла B.

А теперь давайте подумаем, а можно ли связать между собой стороны и углы прямоугольного треугольника?

Давайте, посмотрим на два прямоугольных треугольника с острыми углами 30º и 60º.

И давайте, попробуем найти отношение катета, противолежащего углу в тридцать градусов к гипотенузе одного и второго треугольника.

Мы видим, что это отношение одинаково в обоих треугольниках.

Теперь давайте найдем отношение катета, прилежащего к углу в тридцать градусов. И опять получили одинаковые отношения.

;

Теперь давайте найдем отношение противолежащего катета к прилежащему. И снова у нас получились одинаковые отношения.

;

Теперь давайте, рассмотрим два прямоугольных равнобедренных треугольника. Острые углы этих треугольников равны по 45º. Находя для них такие же отношения, получим, что и в этом случае эти отношения для обоих треугольников равны.

= ;

 = ;

;

Учеными было сделано предположение, что эти отношения не зависят от величины сторон прямоугольного треугольника, а зависят от величины острых углов прямоугольного треугольника. Для этих отношений были введены специальные названия и обозначения.

Определение: синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение: косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение: тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Теперь давайте попробуем найти отношение синуса угла α к косинусу того же угла.

; ;

Сравним полученную формулу с формулой тангенса угла α и увидим, что можно записать, что тангенс угла альфа равен отношению синуса угла альфа к косинусу угла альфа.;

Задача. Найти  треугольника  с прямым углом , если  см,  см.

Решение.

 (см)       

Ответ:      .

Из определения синуса,  

Из определения тангенса угла А можно получить формулу, которая связывает два катета прямоугольного треугольника. Получим, что катет a равен произведению катета b на тангенс противолежащего угла.

Задача. Пусть в прямоугольном треугольнике, один из катетов равен  см, а противолежащий угол равен . Выразить второй катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через известный катет и угол, и найти их значение.

Решение.

Ответ: .

Теперь давайте докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Пусть нам даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁ с прямыми углами C и C₁ и равными острыми углами А и A₁. Очевидно, что углы B и B₁ также будут равны. То есть наши треугольники подобны по первому признаку подобия (если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны).

Значит, справедливы равенства

Из этих равенств несложно вывести равенство отношения  а эти отношения есть ничто иное как синус угла А и синус угла A₁. То есть можно записать, что .

Аналогично, можно вывести равенство отношения  то есть равенство . А раз равны синусы и косинусы, то из формулы , получим, что . Таким образом, наше утверждение доказано.

Теперь, давайте попробуем доказать справедливость равенства:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Таким образом, справедливость равенства доказана.

Это равенство называют основным тригонометрическим тождеством. Синус, косинус, тангенс – тригонометрические функции.

Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов «треугольники» и «измеряю». «Тригонометрия» - раздел математики, в котором изучают тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Задача. Найти  если .

Решение

 или

Ответ: .

Повторим главное:

синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе;

косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе;

тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему;

Синус и косинус одного и того же угла связаны между собой основным тригонометрическим тождеством.