Обозначения и формулы

Часто в статистических массивах числа приходится обозначать буквами. Очевидно, что использовать отдельную букву для каждого числа невозможно, поэтому для чисел одного массива используют одну и ту же букву с индексами – номерами.

Например, если некоторый набор состоит из 5 чисел, то каждое число в этом наборе можно обозначить буквой с соответствующим индексом (номером). Иногда, чтобы подчеркнуть, что числа образуют один набор, их записывают в фигурных скобках. Такой набор можно обозначить буквой .

Также, например, каждое число в некотором наборе из 10 чисел можно обозначить буквой с соответствующим индексом. Чтобы подчеркнуть, что эти числа образуют один набор, их записывают в фигурных скобках. Весь набор можно обозначить буквой .

Конечно же, можно использовать и другие буквы латинского алфавита.

Давайте обозначим набор чисел буквой .

Тогда:

Если чисел в наборе много, то вместо слов «и так далее до» используют многоточие.

Напомним, что среднее арифметическое чисел набора принято обозначать .

Тогда среднее арифметическое набора, в котором 5 чисел, можно записать так:

Среднее арифметическое набора, в котором чисел, можно записать, используя многоточие, так:

Дисперсию числового набора обозначают . Символ возведения в квадрат подчёркивает, что дисперсия является многочленом второй степени от величин .

Если нужно указать, что дисперсия относится к набору , то будем .

Формула дисперсии:

Может показаться, что дисперсию сложно вычислить. В таком случае необязательно это делать вручную. В калькуляторах и электронных таблицах есть специальные функции, которые делают это мгновенно.

Для вычисления дисперсии числового массива в электронной таблице можно использовать одну из функций:

Например, на следующем рисунке с помощью одной из формул найдена дисперсия данного числового набора:

Следует отметить, что у дисперсии есть свойства, которые позволяют упростить вычисления. Например, есть более простая формула:

Чтобы понять эту формулу, напомним, что с помощью черты сверху мы обозначаем среднее арифметическое. Тогда символ  означает средний квадрат, для вычисления которого нужно сначала все значения набора возвести в квадрат, а затем найти среднее арифметическое получившихся квадратов. Символ означает квадрат среднего значения, для вычисления которого сначала нужно найти среднее арифметическое чисел, а потом возвести его в квадрат.

Таким образом, данную формулу можно прочитать так: «дисперсия равна среднему квадрату без квадрата среднего».

Пример. Возьмём числовой набор и найдём его дисперсию, воспользовавшись формулой .

Запишем числа набора в первый столбец таблицы.

Найдём среднее арифметическое чисел.

Запишем найденное значение в нижней ячейке первого столбца. Затем будем находить квадраты чисел и записывать их во второй столбец таблицы.

Чтобы найти средний квадрат, запишем среднее арифметическое получившихся квадратов.

Подставим полученные значение в формулу для нахождения дисперсии и выполним вычисления.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Сумма пяти чисел равна 25, сумма их квадратов равна 135. Найдите дисперсию.

Решение.

Задание второе. Дан числовой набор , , , , . Найдите его дисперсию, воспользовавшись формулой .

Решение.

До встречи на следующих занятиях!