Викторина «Карусель задач»

Друзья, сегодня на занятии вам предоставляется возможность поучаствовать в викторине, которая поможет усовершенствовать ваши навыки решения задач. Обратите внимание, что будут предложены задачи на движение, задачи на совместную работу, задачи на взвешивание и комбинаторные задачи.

Начнём с задач на движение.

Паша и Маша одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке длиной 550 м. Встретились они через 50 с. Паша бежал со скоростью 6 м/с. С какой скоростью бежала Маша?

Правильный ответ: 5 м/с.

Давайте убедимся в этом. Итак, Паша и Маша побежали навстречу друг другу, а значит, эта задача на встречное движение. Известно, что длина спортивной дорожки равна 550 м. Также известно время, через которое Паша и Маша встретились, и скорость, с которой бежал Паша.

Чтобы ответить на вопрос задачи, сначала найдём расстояние, которое пробежал мальчик. Так как его скорость равна 6 м/с, и бежал он до встречи с девочкой 50 с, то это расстояние равно 300 м.

Теперь от длины спортивной дорожки вычтем расстояние, которое пробежал Паша, и узнаем, что Маша пробежала 250 м. Чтобы найти скорость девочки, разделим это расстояние не время, которое она бежала до встречи с Пашей, и в результате получим 5 м/с.

Из двух городов, расстояние между которыми 50 км, одновременно в одном направлении выехали легковой автомобиль и автобус так, что автобус едет впереди. Легковой автомобиль едет со скоростью 90 км/ч, а автобус – со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов легковой автомобиль догонит автобус?

Правильный ответ: через 5 ч.

Проверим. Легковой автомобиль и автобус одновременно выехали из двух городов, расстояние между которыми 50 км. Едут они в одном направлении. При этом автобус едет впереди.

Так как скорость легкового автомобиля, который едет позади, больше скорости автобуса, который едет впереди, то расстояние между ними будет уменьшаться. То есть автомобиль и автобус будут сближаться друг с другом. Найдём скорость их сближения. Для этого из большей скорости вычтем меньшую и получим 10 км/ч. То есть за каждый час расстояние между автомобилем и автобусом будет уменьшаться на 10 км.

Теперь разделим расстояние, которое было между автомобилем и автобусом перед началом движения, на скорость их сближения и получим, что легковой автомобиль догонит автобус через 5 ч.

Из посёлка одновременно в противоположных направлениях вышли два лыжника. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью шёл второй лыжник, если через 2 ч между ними было 44 км?

Правильный ответ: 10 км/ч.

Убедимся в правильности ответа. В задаче сказано, что из посёлка одновременно в противоположных направлениях вышли два лыжника. Известно, что через 2 ч расстояние между ними было равно 44 км. Также известна скорость одного из лыжников. Она равна 12 км/ч. А вот скорость второго лыжника неизвестна. Её надо найти.

Сначала найдём расстояние, которое прошёл первый лыжник. Для этого умножим его скорость на время, которое он был в пути, и получим 24 км.

Теперь мы знаем всё расстояние и ту его часть, которую прошёл первый лыжник. Тогда вычтем 24 из 44 и получим, что второй лыжник прошёл 20 км. А так как в пути он был 2 ч, то его скорость равна частному 20 и 2, то есть 10 км/ч.

Задачи на движение решены. Перейдём к задачам на совместную работу.

Библиотеке надо переплести 300 книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 15 дней, а вторая – за 10. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе?

Правильный ответ: за 6 дней.

Действительно так, ведь первая мастерская может переплести триста книг за 15 дней. А значит, за 1 день она может переплести 300 разделить на 15, то есть 20 книг.

Вторая мастерская может переплести 300 книг за 10 дней. А значит, за 1 день она может переплести 300 разделить на 10, то есть 30 книг.

Тогда обе мастерские за 1 день могут переплести 20 плюс 30, то есть 50 книг.

Чтобы узнать, за сколько дней переплетут 300 книг обе мастерские, надо 300 разделить на 50. А это равно 6.

Столяр может изготовить 36 деревянных деталей за 4 ч. Его ученику для изготовления этого же количества деталей понадобится в 3 раза больше времени. За сколько часов столяр и его ученик изготовят 96 деталей, если будут работать вместе?

Правильный ответ: за 8 ч.

Убедимся в этом. Итак, столяр может изготовить 36 деревянных деталей за 4 ч, а значит, за 1 ч он изготовит 36 разделить на 4, то есть 9 деталей.

Ученик столяра работает в 3 раза медленнее, а значит, он за 1 ч изготовит 9 разделить на 3, то есть 3 детали.

Тогда, работая вместе, столяр и его ученик за 1 ч изготовят 9 плюс 3, то есть 12 деталей. Зная это, можно найти, за сколько часов столяр и его ученик изготовят 96 деталей, если будут работать вместе. Для этого разделим 96 на 12 и получим 8.

Бак, вмещающий 60 л воды, наполняется из кранов с холодной и горячей водой за 10 мин, а из крана с холодной водой – за 15 мин. За сколько минут наполнится бак из крана с горячей водой?

Правильный ответ: за 30 мин.

Известно, что бак, вмещающий 60 л воды, наполняется из кранов с холодной и горячей водой за 10 мин, а значит, за 1 мин из обоих кранов в бак нальётся 60 разделить на 10, то есть 6 л.

Также известно, что из крана с холодной водой бак наполняется за 15 мин, а значит, за 1 мин из крана с холодной водой в бак нальётся 60 разделить на 15, то есть 4 л.

Чтобы найти, сколько воды нальётся в бак за 1 мин из крана с горячей водой, из 6 вычтем 4 и получим 2 л.

Бак вмещает 60 л воды. Тогда разделим 60 на 2 и получим, что из крана с горячей водой он наполнится за 30 мин.

Задачи на совместную работу решены. Перейдём к задачам на взвешивание.

Пирамидку, кубик и мячик уравновешивают 1 кубик и 2 мячика. Мячик весит 200 г, а кубик – 100 г. Сколько весит пирамидка?

Правильный ответ: 200 г.

На одной чаше весов лежат пирамидка, кубик и мячик, а на другой – 1 кубик и 2 мячика. Весы находятся в равновесии.

Уберём кубик с одной чаши весов и с другой. Весы остались в равновесии. Затем уберём мячик с одной чаши весов и с другой. Весы по-прежнему в равновесии.

На одной их чаше осталась пирамидка, а на другой – остался мячик, а значит, пирамидка весит столько же, сколько и мячик, то есть 200 г.

Дыня весит столько же, сколько 5 яблок, а 1 яблоко – как 2 огурца. Сколько понадобится огурцов, чтобы уравновесить 1 дыню?

Правильный ответ: 10 огурцов.

На одной чаше весов лежит дыня, на другой – 5 яблок. Весы находятся в равновесии.

Известно, что 1 яблоко весит, как 2 огурца. Тогда на весах заменим каждое яблоко 2 огурцами. В результате получим, что уравновесить дыню можно 10 огурцами.

2 груши и 1 яблоко весят столько, сколько 11 абрикосов. 5 абрикосов и 1 груша весят столько, сколько 1 яблоко. Сколько абрикосов нужно взять, чтобы уравновесить 1 яблоко?

Правильный ответ: 7 абрикосов.

Убедимся, что ответ действительно верный. Весы, на одной чаше которых лежат 2 груши и 1 яблоко, а на другой – 11 абрикосов находятся в равновесии.

Известно, что 5 абрикосов и 1 груша весят столько же, сколько 1 яблоко. Тогда давайте заменим на весах 1 яблоко 5 абрикосами и 1 грушей. Видим, что 3 груши и 5 абрикосов весят столько же, сколько 11 абрикосов.

Уберём с каждой чаши весов по 5 абрикосов и получим, что 3 груши и 6 абрикосов весят одинаково.

Значит, 1 груша по весу равна 2 абрикосам.

Так как 1 яблоко весит столько же, сколько 5 абрикосов и 1 груша, а 1 груша весит столько же, сколько 2 абрикоса, то 1 яблоко весит столько же, сколько 7 абрикосов.

Перейдём к комбинаторным задачам.

Даны три цифры – 2, 6 и 8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя в каждом числе все три цифры?

Правильный ответ: 6.

Прежде чем убедиться в этом, обратите внимание, что в каждом числе должны быть использованы все три цифры, а значит, одна и та же цифра не должна повторяться.

Давайте сначала составим числа с четвёркой в разряде сотен. Это числа 468 и 486. Затем составим числа с 6 в разряде сотен. Это будут числа 648 и 684. Осталось составить числа с 8 в разряде сотен. Это будут числа 846 и 864.

Получилось 6 различных трёхзначных чисел.

Даны три цифры – 0, 7 и 9. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя в каждом числе все три цифры?

Правильный ответ: 4.

В задаче сказано, что в каждом числе должны быть использованы все три цифры, а значит, одна и та же цифра не должна повторяться.

Цифра 0 не может стоять в наибольшем разряде числа. Тогда остаётся составить числа с 7 в разряде сотен. Это будут числа 709 и 790. А также числа с 9 в разряде сотен: 907 и 970.

Получилось 4 различных трёхзначных числа.

Даны четыре цифры – 3, 5, 6 и 9. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя в каждом числе три разные цифры?

Правильный ответ: 24.

Обратите внимание, что одна и та же цифра в числе не должна повторяться.

Итак, сначала составим все возможные трёхзначные числа с 3 в разряде сотен. Таких чисел 6 (356, 365, 359, 395, 369, 396)

Затем составим все возможные трёхзначные числа с 5 в разряде сотен. Таких чисел тоже 6 (536, 563, 539, 593, 569, 596).

Теперь составим все возможные трёхзначные числа с цифрой 6 в разряде сотен. Их 6 (635, 653, 639, 693, 659, 695).

И осталось составить все возможные трёхзначные числа с цифрой 9 в разряде сотен. Их тоже получилось 6 (935, 953, 936, 963, 956, 965).

Таким образом, с каждой из четырёх цифр в разряде сотен, мы составили по 6 трёхзначных чисел. Всего получилось 6 умножить на 4, то есть 24 трёхзначных числа.

Ребята, наше занятие подошло к концу. Вы отлично справились со всеми задачами викторины. Вы просто молодцы! До новых встреч!