Дисперсия числового набора

Напомним, что среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения описывают положение массива данных на числовой прямой. Для более полного описания данных нужно уметь измерять рассеивание данных относительно своего среднего.

Самой простой характеристикой, описывающей рассеивание данных, является размах.

Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями. Его легко найти, но он имеет недостатки, так как опирается только на наибольшее и наименьшее значения.

Наиболее полной характеристикой рассеивания чисел в массиве данных является набор отклонений.

Напомним, что в массиве чисел отклонением числа от среднего арифметического, или просто отклонением, называется разность между этим числом и средним арифметическим набора.

Если не все числа в наборе совпадают друг с другом, то часть отклонений будет положительна, а часть – отрицательна. Если число совпало со средним арифметическим, то его отклонение будет равно 0.

Свойство отклонений. Сумма отклонений от среднего арифметического равна 0.

Но чаще важны не сами отклонения, а их модули, то есть абсолютные значения.

Модуль отклонения называют абсолютным отклонением.

Абсолютное отклонение показывает, как далеко число отстоит от среднего арифметического, но не показывает, в какую сторону – вправо или влево.

Чем меньше значение абсолютного отклонения, тем ближе число расположено к среднему арифметическому. И наоборот, чем дальше число расположено от среднего арифметического, тем больше будет значение абсолютного отклонения.

Когда набор отклонений очень велик, рассматривать все отклонения неудобно. В таком случае нужно взять какое-то среднее отклонение. Среднее арифметическое отклонений не подходит, так как у любого набора оно равно 0. Поэтому чтобы судить о рассеивании, принято усреднять квадраты отклонений.

Квадраты отклонений неотрицательны. Чем больше отклонения по модулю, тем больше будет средний квадрат отклонений.

Среднее арифметическое квадратов отклонений чисел от их среднего арифметического называется дисперсией набора чисел.

Дисперсия – это средний квадрат отклонений.

Слово «дисперсия» в переводе с латинского языка означает «рассеивание, разброс».

Пример. Дан числовой набор 1, 6, 7, 9, 12. Найдём его дисперсию.

Запишем числа данного набора в первый столбец таблицы.

В нижней ячейке первого столбца найдём среднее арифметическое чисел данного набора.

Во второй столбец будем записывать отклонения.

В нижней ячейке второго столбца подсчитаем сумму отклонений.

Сумма равна 0. А значит, отклонения найдены верно.

Теперь будем находить квадраты отклонений и записывать их в третий столбец таблицы.

В нижней ячейке третьего столбца найдём дисперсию, вычислив среднее арифметическое квадратов отклонений.

Вот таким образом, мы нашли дисперсию данного числового набора.

Пример. Найдём дисперсию набора чисел 5, 6, 7, 8, 9.

Давайте сравним набор чисел 5, 6, 7, 8, 9 с набором из первого примера.

Средние арифметические значения этих наборов равны. А вот дисперсии у них разные. Причём дисперсия второго набора меньше. Всё потому, что числа во втором наборе расположены кучнее, то есть ближе друг к другу и к среднему значению.

Чем больше дисперсия, тем сильнее значения отклоняются от среднего. Если дисперсия мала, данные более сконцентрированы вокруг среднего.

Чтобы перейти к следующему примеру, поговорим о климате.

Климат – это многолетний режим погоды, характерный для определённой местности. Тип климата устанавливается в результате анализа метеорологических данных за длительный период времени (обычно 30 лет и более). Он определяется на основе разных показателей. Главным показателем является дисперсия средних месячных температур. Так, например, для морского климата характерна невысокая дисперсия температур. Умеренный климат характеризуется более высокой дисперсией месячных температур, а континентальный климат – очень высокой. В районах с континентальным климатом жаркое лето и очень холодная зима.

Следует отметить, что климат отражает общие закономерности погодных условий в регионе и отличается от понятия «погода», которое описывает краткосрочные изменения атмосферных условий.

Рассмотрим таблицу, в которой приведена средняя месячная температура за 80 лет в Москве, Пензе, Новосибирске и Хабаровске, и сравним изменение температур в течение года в Москве и Пензе, где климат умеренный, с изменениями температур в Новосибирске и Хабаровске, где климат континентальный.

Средняя температура связана с широтой местности: чем севернее, тем ниже средняя годовая температура. Дисперсии температур различаются очень сильно. Для Москвы и Пензы они составляют 98,9 и 105,7 соответственно, для Новосибирска и Хабаровска – 185,2 и 228,8 соответственно. Обратите внимание, что единица измерения дисперсии в данном случае – ºС².

Выполним задание.

Даны два набора чисел: , , ,  и , , , . Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Дисперсия какого набора меньше?

Получается, что дисперсия набора чисел , , ,  меньше. А всё потому, что числа этого набора на числовой прямой расположены кучнее, то есть ближе друг к другу и к среднему значению.

До встречи на следующих занятиях!