Абсолютные отклонения

Напомним, что раздел статистики, который занимается сбором, обработкой, анализом и представлением данных в удобной форме, называется описательной статистикой.

Чтобы одним числом охарактеризовать весь числовой массив, используют различные средние значения. Какое именно среднее лучше выбрать для описания того или иного набора данных, зависит от природы данных, целей исследования и сложившихся традиций.

Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения описывают положение массива данных на числовой прямой. Для более полного описания данных нужно уметь измерять рассеивание данных относительно своего среднего.

Самой простой характеристикой, описывающей рассеивание данных, является размах. Размах легко найти, но у него есть недостаток: он учитывает лишь два значения – наибольшее и наименьшее, которые неустойчивы (они могут быть нетипичными или даже ошибочными). Для того чтобы лучше описать рассеивание данных, обычно используются другие меры. Например, отклонения.

В массиве чисел отклонением числа от среднего арифметического или просто отклонением называется разность между этим числом и средним арифметическим набора.

Если не все числа в наборе совпадают друг с другом, то часть отклонений будет положительна, а часть – отрицательна. Если число совпало со средним арифметическим, то его отклонение будет равно 0.

Напомним свойство отклонений. Сумма отклонений от среднего арифметического равна 0.

Это свойство удобно использовать для самопроверки при вычислении отклонений.

Но всё же чаще важны не сами отклонения, а их модули, то есть абсолютные значения.

Модуль отклонения называют абсолютным отклонением.

Абсолютное отклонение показывает, как далеко число отстоит от среднего арифметического, но не показывает, в какую сторону – вправо или влево.

Пример. Дан числовой набор 9, 3, 2, 7, 4.

Изобразим его на числовой прямой.

Найдём среднее арифметическое чисел набора.

Число 3 расположено на числовой прямой левее числа 5 на 2 единицы, а число 7 расположено на числовой прямой правее числа 5 на 2 единицы.

Получается, что абсолютные отклонения у чисел 3 и 7 одинаковы.

Чем меньше значение абсолютного отклонения, тем ближе число расположено к среднему арифметическому. И наоборот, чем дальше число расположено от среднего арифметического, тем больше будет значение абсолютного отклонения.

По абсолютным отклонениям можно судить о том, велико ли рассеивание чисел на числовой прямой.

Абсолютные отклонения находят широкое применение в различных областях, где требуется оценить разницу между фактическими и эталонными значениями. Например, в статистике при оценке разброса данных, в экономике для анализа выполнения планов и оценки рисков, в управлении качеством для контроля качества продукции и анализа производственных процессов, в социальных и гуманитарных науках для анализа данных. Также абсолютные отклонения используются для оценки точности прогнозов.

Преимущества абсолютных отклонений заключаются в простоте расчёта и интерпретации, а также в устойчивости к выбросам.

Таким образом, можно сказать, что абсолютные отклонения – это универсальный инструмент для анализа и оценки различий между фактическими и эталонными значениями в различных областях.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Для числового набора найдите абсолютные отклонения чисел.

Решение.

Задание второе. В числовом наборе , , , , ,  найдите два числа, которые имеют одинаковое абсолютное отклонение от среднего арифметического.

Решение.

До встречи на следующих занятиях!