Отклонения

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним, что раздел статистики, который занимается сбором, обработкой, анализом и представлением данных в удобной форме, называется описательной статистикой.

Чтобы одним числом охарактеризовать весь числовой массив, используют различные средние значения. Какое именно среднее лучше выбрать для описания того или иного набора данных, зависит от природы данных, целей исследования и сложившихся традиций.

Часто бывает нужно иметь представление о том, насколько числа в наборе отличаются друг от друга или от среднего значения. Самой простой характеристикой, описывающей рассеивание данных, является размах.

Напомним, что размах числового массива – это разность между наибольшим и наименьшим значениями.

Размах легко найти, но у него есть серьёзный недостаток: он учитывает лишь два значения – наибольшее и наименьшее, которые неустойчивы. В таком случае нам нужны другие меры рассеивания, которые учитывают все значения в массиве и поэтому меньше подвержены влиянию отдельных значений.

Давайте поговорим об отклонениях.

Отклонения в статистике играют ключевую роль в анализе данных, так как они позволяют оценить, насколько отдельные значения в наборе данных отличаются от среднего значения. Понимание отклонений помогает определить степень изменчивости данных, что важно для интерпретации результатов, прогнозирования и принятия решений.

Предположим, у нас есть данные о доходах двух групп людей. Средний доход в обеих группах одинаков, но в одной группе отклонения доходов небольшие, а в другой – значительные. Это означает, что в первой группе доходы более стабильны, а во второй есть как очень низкие, так и очень высокие доходы.

В массиве чисел отклонением числа от среднего арифметического, или просто отклонением, называется разность между этим числом и средним арифметическим набора.

Пример. На числовой прямой изобразим набор чисел 2, 3, 7, 10, 11.

Найдём среднее арифметическое данного набора чисел.

Найдём отклонение числа 7 от среднего.

Обратите внимание на знак «+» перед найденным значением. Его можно не писать. Мы же его записали, чтобы подчеркнуть, что отклонение положительно.

Найдём отклонение от среднего числа 3, которое находится левее среднего арифметического на числовой прямой.

Пример. Рассмотрим числовой набор 1, 5, 7, 9, 12, 14, 15.

Найдём среднее арифметическое данного набора.

Теперь найдём отклонение каждого числа набора от найденного среднего значения.

Внимательно посмотрев на полученные значения, убедимся, что если число меньше среднего, то его отклонение отрицательно, если число больше среднего, то его отклонение положительно. При этом знак «+», как мы и сказали выше, можно не писать.

Обратите внимание, что для числа 9, которое совпало со средним арифметическим, отклонение равно 0.

Получается, что если не все числа в наборе совпадают друг с другом, то часть отклонений положительна, а часть – отрицательна. Причём сумма всех отклонений у любого набора равна 0. Давайте убедимся в этом на нашем примере. Сложим найденные значения отклонений. В результате получим 0.

Свойство отклонений. Сумма отклонений от среднего арифметического равна 0.

Данное свойство удобно использовать для самопроверки при вычислении отклонений.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите отклонения от среднего арифметического чисел набора , , , , .

Решение.

Задание второе. Дан некоторый набор чисел. Известно, что сумма отклонений от среднего арифметического всех чисел, кроме последнего, равна 33. Чему равно отклонение последнего числа?

Чтобы ответить на этот вопрос, напомним свойство отклонений: сумма отклонений от среднего арифметического равна 0.

Задание третье. Для числового набора , , , ,  найдите сумму квадратов всех отклонений.

Решение.

До встречи на следующих занятиях!